一道俄罗斯竞赛题的速解

已知x,y是锐角,且sin(x+y)=sin²x+sin²y,则有x+y=π/2.

这是一道俄罗斯数学竞赛题,昨天发了一个解答,但考虑到也未见得简便,就删除了,下面提供一种速解:

设△ABC中,外心为O(半径为R),A=x,B=y,C=π-(x+y),取AB的中点D,则D关于△ABC的重心坐标为D(1,1,0),由平面两点的距离公式

(林根等,中等数学,1998,4,p.18)

如果取Q为O,则有

(Σλ₁)²R²=Σλ₁λ₂c²+(Σλ₁)²OP²,①

则有

(1+1+0)²R²=c²+(1+1+0)²OD²,

4R²=c²+4OD²,②

由已知易见

2Rc=a²+b²,③

把③代入②即见

由题意A,B是锐角,则C≥π/2,则余弦定理知,a²+b²≤c²,

此代入④知,OD²≤0,所以O与D重合,则知C为Rt∠.

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