从零开始学Python数据分析【26】--Logistic回归（理论部分）

作者：刘顺祥

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在《从零开始学Python【20】--线性回归（理论部分）》和《从零开始学Python【24】--岭回归及LASSO回归（理论部分）》我们已经详细介绍了线性回归及带惩罚项的岭回归、LASSO回归的理论知识，但这些线性回归一般用来解决类似房价、身高、GDP、学生成绩等连续数值的建模和预测。如果你的因变量并非是这些连续的数值型，而是类似于成功或失败、流失或不流失、涨或跌等二元问题，那就不能使用线性回归了。

所以，我们接着线性回归，再跟大家聊聊Logistic回归。它是一个非线性的回归模型，其最大的好处恰恰是可以解决二元类问题，目前在金融行业，基本都是使用Logistic回归来预判一个用户是否为好客户，因为它还弥补了其他黑盒模型（SVM、神经网络、随机森林等）不具解释性的缺点。接下来，我们先从理论的角度，好好剖析一下这个神奇而强大的回归模型。

对于Logistic回归来说，它的思想就是依赖已知的X变量，去构造Y变量（某个事件发生）的概率值，说白了就是一个条件概率：P=P(y=1|X)。我们都知道，概率的范围是0~1，而且还是连续值，那接下来是不是就可以往线性回归这个思路去延伸了呢。那问题来了，如何根据X的值，去构造一个属于0~1之间的概率值呢？聪明的统计学家们，构造了一个Logit函数，其函数形式为：

如果把这个函数以图形的方式展示的话，将会是：

从图形上来看，确实y值是落在0~1之间的。假设线性回归写成如下表达式：

再将g(x)套入到Logit函数，再来看看某个事件发生的概率表达式：

OK，请睁大眼睛，接下来就要开始变魔术了，通过详细的推导就能将上面的非线性函数变成一个线性回归模型啦：

上面得到的exp(g(x))，一般称为事件的发生比，即某个事件发生概率与不发生概率的比值。如果将上式的两边取一下对数，那么不就演变成了一个线性回归模型了嘛：

问题又来了，只要能够通过X数据集，找到对应的beta系数，就能够计算出某个感兴趣事件发生的概率P，那这个beta系数该如何求解呢？对于聪明的统计学家兼数学家来说，他们构造了极大似然函数，作为一个搬运工的我来说，就简单说说这个似然函数是怎么实现beta系数求解的。

对于每一个观测样本（不妨有n个样本），某个事件发生的概率（y变量不妨用1表示）和不发生（y变量用0表示）的概率可以表示成：

其中概率pi就是关于beta系数的Logit函数。那么，将上面两种情况合起来，就是一个简单的二元分布，可以表示为：

二元分布是一种常用的离散型分布，接下来我们就可以应用这个二元分布构造似然函数。在Logistic回归中，一般会假设样本之间是相互独立的，那么 它们的联合分布就可以表示为各边缘分布的乘积。可以通过下面这个式子来表达这个似然函数：

要想求得beta系数，可以根据上面这个似然函数计算它的极大值，具体求解的推导步骤如下：

为了求解上式的极大值，我们可以对每一个beta进行偏导，并将求导结果设置为0，最后就可以得到n+1个方程组，再根据这么多的方程组求出每一个beta系数值。下面不妨对beta1求偏导作为演示：

为了能够让大家理解上面式子的进一步求解，我们再来回顾一下大学里学习的微分知识点：

OK，有了上面的理论铺垫，你再看下面这个式子就一定很轻松了：

上面理论知识的推导过程是不是比较容易理解呢？小编特别希望各位看官能够推导一遍，这对数学知识的提升有一定的帮助，反过来，也会促进你理解模型的结果。

OK，关于Logistic回归模型的理论部分我们就分享到这里，下一期我们将针对该回归模型进行使用Python和R语言进行实战分析。如果你有任何问题，欢迎在公众号的留言区域表达你的疑问。同时，也欢迎各位朋友继续转发与分享文中的内容，让更多的人学习和进步。

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