冰山一角 | 人教社教材称爱因斯坦用相对论证勾股定理
事件回顾
最近网络在热批人教社教材辅导书出错的事件。
我们简述如下。
人民教育出版社出版有一套教辅读物名为《数学自读课本》。根据书店有售部分图书显示，应该是针对对初中各个学期的。
这次是有人发现八年级下这本书的第17、18页有关勾股定理的内容出错。据说最初是一个自学初中数学的10岁的小学生提出来的。
书中说勾股定理曾经引起爱因斯坦的浓厚兴趣，“爱因斯坦用相对论来证明勾股定理”。还说“爱因斯坦的这个证明发表后，震惊了国际数学界，大家发现原来相对论有这么大的威力，后来德国著名数学刊物Mathematische Annalen聘请爱因斯坦做了多年的主编。”
看到这些文字叙述，根本不用看具体的证明，明白人都知道这个错误太荒谬。
传说爱因斯坦是在幼年时独自（重新）发现过一个勾股定理的证明。但他不可能用后来发现的相对论去证明勾股定理。而且两者之间没有关系。
我们看看书中是如何用质能公式煞有介事地证明的吧。
“证明”思路如下。
过直角顶点向斜边作垂线段，将边长分别为（为斜边）的直角三角形分割为两个小的直角三角形。”根据相对论“，大的直角三角形的面积为
而两个小的直角三角形的面积分别为
因为，所以
在相对论中，表示质量，表示光速，在直角三角形中，是斜边长。
错在哪里？如何修正与推广
人教社书中的推理错在哪里呢？主要是宣称“根据相对论”得到直角三角形的面积为斜边平方的某个倍数。实际上，如果设为某个与该直角三角形相似的斜边长为1的直角三角形的面积，则根据形似三角形知识，整个推理就没问题了。
勾股定理的证明方法有很多，这种将原直角三角形分割为两个直角三角形的证明方法也是经典的证明。例如，有人用量纲分析原理，说明形似直角三角形的面积与斜边的平方有倍数关系，也可以类似地证明勾股定理。
从这里出发，我们实际可以看到勾股定理的一个有趣推广。
我们知道勾股定理说的是，以直角三角形的三条边为边，分别作正方形，则大的正方形的面积等于两个小的正方形的面积。
现在，我们可以考虑在直角三角形的三条边上分别作相似的平面图形，如多边形（直角三角形的三条边为相似图形的对应边），则大的图形的面积等于两个小的图形的面积。这里用到的原理就是这些图形的面积是直角三角形对应边的平方的倍数，且这个倍数是一样的。
匪夷所思的错误
令网友震惊的是这个错误之离谱。
一是错误长时间没被发现。该套教材至少自2013年就开始出版发行了，至今已有7年。
编者阵容听起来很强大，为人民教育出版社、课程教材研究所、中学数学课程教材研究开发中心。
此外，图书要经过层层审批。
但凡只要真正认真思考过就不会出错。
但据知乎网友评论：（初版）的责编去美国享受美好生活去了，再版的责编只是换了个颜色：没仔细看内容。
我猜测这种编撰的图书容易出错的一个原因是没有具体的责任人。干活的是下面的人，可能是研究生之类的，没有积极性，挂名的人又不干活。
爱因斯坦的证明
据网友考证，有一本书确实声称爱因斯坦用相似性证明过勾股定理。
在《分形、混沌、幂次定律》（“Fractals,Chaos,Power Laws”）一书中，物理学家曼菲尔德·施罗德（Manfred Schroeder）展示了一个极为简单的毕达哥拉斯定理证明，他认为该证明来自于爱因斯坦。施罗德写道，这个证明是他的一个朋友展示给他的，他的朋友名叫施奈尔·李福森（Shneior Lifson），是一个在以色列魏兹曼科学院（the Weizmann Institute）工作的化学物理学家，而李福森又是从爱因斯坦的前助手之一物理学家恩斯特·斯特劳斯（Ernst Straus）那里听说的。最终，是爱因斯坦本人把他的证明过程告诉给斯特劳斯的。尽管我们不能确定下面的证明一定出自爱因斯坦，但任何一个熟悉他论文的人都能从中看出，这个证明符合他的风格。
作者：Hourglass 链接：https://www.zhihu.com/question/402000557/answer/1289088229
民科钓鱼？
有人爆料说人教社的资料是抄自南大教授郭学军十五年前在新语丝上的钓鱼贴。看文章编号可以推测出该文提交自2005年。
一个类似的问题
近年来，类似的问题出现了不少。
我们曾撰文《这个角不是角？——不要擅自加戏固化限制小学生的思维》讨论小学课文习题中的一个问题。
小学二年级下有学习角、直角、长方形、正方形等内容。教学方法是采用直观的形式，并没有什么问题。但学校配套的课外习题册上的习题，却值得讨论、深思。
课本中讲的角其实是平面直线角——同一平面上两条直线（射线）相交得到的角。这里就有一个直接的问题，曲线相交得到的显而易见的角算不算角？（我们仅限于平面上讨论）
课外习题上就有这样的题：请学生判断一条曲线与直线相交所得的角算不算角。
从出题人的意图，教师的批改，学生的做法来看，大多人认为这不是角。
实际上，两条曲线相交也是角，角的大小仍然用直线角来衡量：过交点的两条曲线各自的切线形成的夹角的大小。
这部分内容要放到课堂教，是不宜的。所以课本也没有涉及这部分内容。课本说了平面直线角是角，但没有说曲线角不是角。课外习题编写者，擅自“加戏”，诱导学生认为曲线角不是角就不对了，因为这样限制了学生的思维。
当然，习题编写者，教师可以在轻松的氛围里（比如，家长和小孩散步的氛围里）讨论下这个问题。这样可以使学生初步接触即使在中学也会要接触到的相切等概念，也会拓宽学生思维。
我们能纠正教材错误吗？
我们曾在《金坛除了华罗庚，还有个段玉裁》有如下文字
刘洋博士近年来以科幻作家出名，曾在高中任教，现在在南科大任职。我们曾撰文《数学能力不强导致的妄想|评南科大刘洋博士科幻作品《勾股》》批评他的一篇“名作”——《勾股：2.013》。刘洋博士在这篇文章中，以为在别的世界中，勾股定理不再成立，指数2应该为2.013。刘洋博士就是没有明白，数学中的定理犹如钢铁一般坚硬，在逻辑的辅助下，结果不随人的意志而更改。勾股定理也是如此，在如刘的小说中的框架下（比如假设面积在刚性运动下不变），这个指数只能是2。
其实我们曾经批评过刘洋的小说。旧事重提的另一个原因最近刘洋博士在推介自己的新作《火星孤儿》时的谈话，他介绍写作缘由：
小说的核心设定其实来自一个简单的想法：如果教材上的知识全是刻意编造的，世界会怎么样？学生会发现吗？我想，很可能不会有人质疑。在读研之前，我曾在一所中学教过两年高中物理。从我的教学体验来看，目前中学的科学教育仍然是以知识为导向的（直白一点说，就是以高考为导向），教师只是简单传授知识本身，并不关注知识的发现过程和科学精神的培养。因此，对于课本上罗列的科学结论，学生们都习惯于毫不怀疑地吸收，而不会去探究它的产生过程，更不会去质疑结论的合理性。
“如果教材上的知识全是刻意编造的”？Excuse me，刘洋以为教师、学生没有一点理性精神？初中的数学，尤其是几何，不就是在培养学生的逻辑思维吗？在基本的公理假设下，哪个结论不是证明出来的？能有错吗?
我以为刘洋这样的论调是对广大教师、学生的逻辑思维能力的极大侮辱。刘洋博士借着对国人缺乏思维能力的批判，对饱受诟病的教育的批判，推广自己的小说，我看是有点偏了。欲加之罪，何患无辞。刘洋博士写《火星孤儿》的缘由，也可能也如他有关勾股的小说一样，基本观点都错了。
我们说数学证明的错误是可以发现的。这次一个10岁小朋友的质疑就是明证。
“专家”请自重
我们曾经在《是谁在为民科站台》 中呼吁，专家们要爱惜羽毛，不要为各种错误站台。看来是很有必要的。
如其中曾举例提到
我们还想起我们曾经介绍过深圳市儒家文化研究会专家罗莫，《他说他破解了‘哥德巴赫猜想’》。有读者认为我们不应该介绍这样十足的不该相信的材料（《是正确认识哥德巴赫猜想的时候了》）。但就是有一些专家，有一些大学与罗莫等同流合污。
据介绍，罗莫是深圳数学科普协会的秘书长。据深圳新闻网报道，今年7月，深圳市数学科普学会在南科大举行揭牌仪式，正式成立。据介绍深圳市数学科普学会是深圳数学工作者的学术性法人社团，由南方科技大学数学系专家教授联合深圳数学爱好者运营，是深圳市科学技术委员会的组成部分。...... 汪斌老领导在现场表示，深圳市数学科普学会得到了市科协的大力支持，去年支持出版了《深圳基础理论原创文集》一书，今年学会正式运营，市科协将全面主管学会运作。
《深圳基础理论原创文集》就有罗莫的大作。
深刻反思
下面是相关领导的回复：
在《自读课本》中出现这样的失误，说明我们在编辑、审稿过程中不够严谨科学。对于读者提出的批评意见，我们表示衷心地感谢和接受，并向读者表示深深的歉意，我们将在今年本书再版时给予更正。再次感谢各位老师对于我们出版图书的关注。也恳请各位老师在微博、微信中看到这篇文章时能替我们做一些解释工作，并请相熟的朋友撤回或不要再转发。拜托！[抱拳][抱拳][抱拳]
其实这是一个深刻反思教材中问题的好机会。人教社教材的荒谬只是冰山一角我们应该广泛讨论，引起大众和专家的积极思考，而非逃避。
最近数学会的诸多院士们，如田刚，袁亚湘，席南华院士等都不遗余力地在网络进行数学科普讲座。为什么呢？一个原因可能是为了巩固来之不易的数学春天，来之不易的国家领导的重视。
现在人教社的教材出了问题。这表示数学春天之下还有很多乌云。数学家们应该感到羞愧，应该低头看看脚下，“将论文写在中国大地”。
注意：本文曾首发于 和乐数学，后删除。重贴于此。有些链接没再编辑。