非比较排序---计数排序和基数排序

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排序总归来说可分为两大类，比较排序与非比较排序。比较排序就是我们常用到的冒泡排序，插入排序，希尔排序，选择排序，堆排序，快速排序，归并排序。非比较排序不常用，但是在对一些特殊的情况进行处理时，它的速度反而更快。

1、计数排序

排序原理：利用哈希的方法，将每个数据出现的次数都统计下来。哈希表是顺序的，所以我们统计完后直接遍历哈希表，将数据再重写回原数据空间就可以完成排序。

注意事项：

①因为要建立哈希表，计数排序只适用于对数据范围比较集中的数据集合进行排序。范围分散情况太浪费空间。如我有100个数，其中前99个都小于100，最后一个数位是10000，我们总不能开辟10000个数据大小的哈希表来进行排序吧！这样空间就太浪费了。 此时，就得考虑其他的算法了。当然，这个例子也可能不恰当，这里只是想让你们直观的理解。

②除了上面那种情况，还有一个问题，例如我有一千个数，1001~2000，此时我的哈希表该怎么开辟呢？ 开0~2000个？那前面1000个空间就浪费了！直接从1001开始开辟？你想多了！所以这种情况我们就需要遍历一遍数据，找出最大值与最小值，求出数据范围。范围 = 最大值 - 最小值+1。 例如，2000-1001+1 = 1000，这样我们就开辟0~1000个空间，用1代表1001,1000代表2000。节省了大量的空间。

③肯定有同学想到用位图（BitMap）来做，但是位图（BitMap）有局限性，它要求每个数据只能出现一次。算法有些复杂，但是可以尝试。

时间复杂度分析：综上所述，我们总需要两遍遍历，第一遍统计字数据出现次数，遍历原数据，复杂度为O(N)，第二遍遍历哈希表，向原空间写数据,遍历了范围次（range），时间复杂度为O(range)，所以总的时间复杂度为O(N+range)。

空间复杂度分析：开辟了范围（range）大小的辅助哈希表，所以空间复杂度为O(range)。

下面我对一组数据进行排序做出图解：

c++代码实现：

void CountSort(int *a, int n)  
{  
    assert(a);  
    int max = a[0];  
    int min = a[0];  
    //选出最大数与最小数，确定哈希表的大小  
    for (int i = 0; i < n; ++i)  
    {  
        if (a[i] > max)  
        {  
            max = a[i];  
        }  
        if (a[i] < min)  
        {  
            min = a[i];  
        }  
    }  
    int range = max - min + 1;  
    int *count = new int[range];  
    memset(count, 0, sizeof(int)*range);//当初始化成0或-1的时候可以用memset，其他情况均用for循环  
    /*for (int i = 0; i < range; ++i) 
    { 
        count[i] = 0; 
    }*/  
    for (int i = 0; i < n; ++i)  
    {  
        count[a[i] - min]++;  
    }  
    //将数据重新写回数组  
    int j = 0;  
    for (int i = 0; i < range; ++i)  
    {  
        while ((count[i]--) > 0)  
        {  
            a[j] = i + min;  
            j++;  
        }  
    }  
}  

2、基数排序

基数排序是基于数据位数的一种排序算法，什么叫排序位数呢？个，十，百，千，万…明白了吧！。

它有两种算法

①LSD--Least Significant Digit first  从低位（个位）向高位排。

②MSD-- Most Significant Digit first 从高位向低位（个位）排。

排序原理：

因为是按位进行排序，数据可能不统一，有的最大位为十位，有的最大位为百位。我们需要找到最大的位数来进行决定循环的次数。

LSD和MSD的两种算法思想一致，下面以一组数据用LSD进行排序：

在上图中最大的位数为4位，所以我们要对个，十，百，千，四位各进行一次循环排序。下面以个位为例进行示范。

①我们知道无论个十百千万哪个位，都只有10种情况，0-9，所以我们先创建一个大小为10 的哈希表，统计出每个位各有多少数据。例如上图数据中个位为0的出现1次，个位为1的出现2次，个位为2的出现1次，个位为3的出现2次，个位为9的出现1次。所以哈希表创建后得：

②再得出次数之后，我们需要开辟一个辅助空间tmp，并按0~9的顺序将其重新写入辅助空间，但是怎么写呢？这里我们就需要用到矩阵转置的思想了，再开辟一个大小为10 的数组，用来记录每个位（0~9）上的数据重新写入辅助空间时的起始下标。

例如：

• 0位有1个数据，但是0位之前再其他位，所以0位的起始下标就为0。

• 1位有2个数据，1位之前有个0位，并且0位有一个数据，所以1位的起始下标为1。

• 2位有1个数据，2位之前有两个位（0和1），所以2位之前一共有3个数据，所以2位的起始下标就为3。

由上面刻得出，每个位的起始下标就等于每个位之前的总数据个数之和。

所以得出起始下标数组为：

③现在起始下标得到了，我们就可以遍历原数组往辅助空间里写数据了，但是有一点要注意，每写入一个数据，起始下标数组相应位的起始下标就要加1。最后得：

到这里，我们的数据还在辅助空间tmp内，我们需要将其重新写回我们原数据空间。这样我们一趟排序就完成了，其他十位，百位，千位的排序只要在低位排序的基础上进行上面相似的排序即可。

时间复杂度分析：排序最大位数次，每次都要对数组进行一次排序，所以时间复杂度为O(N*最大位数)。

空间复杂度分析：建立与原数组同样大小的辅助空间，再无其他空间开销，所以空间复杂度为O(N)。

实现代码：

//基数排序  
//LSD  先以低位排，再以高位排  
//MSD  先以高位排，再以低位排  
void LSDSort(int *a, int n)  
{  
    assert(a);  
    //求出其最大位数  个 十 百 千 万....  
    int digit = 0;  
    int bash = a[0];  
    for (int i = 0; i < n; ++i)  
    {  
        while (a[i] > (pow(10,digit)))  
        {  
            digit++;  
        }  
    }  
    int flag = 1;  
    for (int j = 1; j <= digit; ++j)  
    {  
        //建立数组统计每个位出现数据次数  
        int Digit[10] = { 0 };  
        for (int i = 0; i < n; ++i)  
        {  
            Digit[(a[i] / flag)%10]++;  
        }  
         //建立数组统计起始下标  
        int BeginIndex[10] = { 0 };  
        for (int i = 1; i < 10; ++i)  
        {  
            BeginIndex[i] = BeginIndex[i - 1] + Digit[i - 1];  
        }  
        //建立辅助空间  
        int *tmp = new int[n];  
        memset(tmp, 0, sizeof(int)*n);//初始化  
        //将数据写入辅助空间  
        for (int i = 0; i < n; ++i)  
        {  
            int index = (a[i] / flag)%10;  
            tmp[BeginIndex[index]++] = a[i];  
        }  
        //将数据重新写回原空间  
        for (int i = 0; i < n; ++i)  
        {  
            a[i] = tmp[i];  
        }  
        flag = flag * 10;  
        delete[] tmp;  
    }  
}  

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