北师大版数学九年级上册全册知识点汇总，学习必备！

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数学九年级上册全册知识点汇总

（北师大版）

第一章 特殊平行四边形

1、菱形的性质与判定

①菱形的定义：

一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

②菱形的性质：

• 具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。
  

• 菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是对称轴。

③菱形的判别方法：

• 一组邻边相等的平行四边形是菱形。

• 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

• 四条边都相等的四边形是菱形。

2、矩形的性质与判定

①矩形的定义：

有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。

②矩形的性质：

具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴）

③矩形的判定：

• 有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。

• 对角线相等的平行四边形是矩形。
  

• 四个角都相等的四边形是矩形。
  

④推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

3、正方形的性质与判定

①正方形的定义：

一组邻边相等的矩形叫做正方形。

②正方形的性质：

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有两条对称轴）

③正方形常用的判定：

• 有一个内角是直角的菱形是正方形；

• 邻边相等的矩形是正方形；
  

• 对角线相等的菱形是正方形；
  

• 对角线互相垂直的矩形是正方形。
  

④正方形、矩形、菱形和平行边形四者之间的关系

⑤梯形定义：

• 一组对边平行且另一组对边不平行的四边形叫做梯形。

• 两条腰相等的梯形叫做等腰梯形。
  

• 一条腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。
  

⑥等腰梯形的性质：

• 等腰梯形同一底上的两个内角相等，对角线相等。

• 同一底上的两个内角相等的梯形是等腰梯形。

• 三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。

• 夹在两条平行线间的平行线段相等。

• 在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半

第二章  一元二次方程

1、认识一元二次方程

• 只含有一个未知数的整式方程，且都可以化为ax²+bx+c=0
  

（a、b、c为常数，a≠0）的形式，这样的方程叫一元二次方程。

• 把ax²+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0）称为一元二次方程的一般形式，a为二次项系数；b为一次项系数；c为常数项。

2、用配方法求解一元二次方程

①配方法 <即将其变为（x+m）²=0的形式>

配方法解一元二次方程的基本步骤：

• 把方程化成一元二次方程的一般形式；

• 将二次项系数化成1；

• 把常数项移到方程的右边；

• 两边加上一次项系数的一半的平方；

• 把方程转化成的形式；

• 两边开方求其根。

3、用公式法求解一元二次方程

②公式法 （注意在找abc时须先把方程化为一般形式）

4、用因式分解法求解一元二次方程

③分解因式法  

把方程的一边变成0，另一边变成两个一次因式的乘积来求解。（主要包括“提公因式”和“十字相乘”）

5、一元二次方程的根与系数的关系

①根与系数的关系：

当b2-4ac>0时，方程有两个不等的实数根；

当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当b2-4ac<0时，方程无实数根。

②如果一元二次方程 ax²+bx+c=0 的两根分别为x₁、x₂，则有：

③一元二次方程的根与系数的关系的作用：

• 已知方程的一根，求另一根；

• 不解方程，求二次方程的根x₁、x₂的对称式的值，特别注意以下公式：

• 已知方程的两根x₁、x₂，可以构造一元二次方程：

  x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂=0

• 已知两数x₁、x₂的和与积，求此两数的问题，可以转化为求一元二次方程x²-（x₁+x₂）x+x₁x₂=0的根

6、应用一元二次方程

①在利用方程来解应用题时，主要分为两个步骤：

• 设未知数（在设未知数时，大多数情况只要设问题为x；但也有时也须根据已知条件及等量关系等诸多方面考虑）；

• 寻找等量关系（一般地，题目中会含有一表述等量关系的句子，只须找到此句话即可根据其列出方程）。

②处理问题的过程可以进一步概括为：

第三章  图形的相似

1、成比例线段

①线段的比

• 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n,或写成
  

• 四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即

• 那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.

②注意点:

• a:b=k,说明a是b的k倍

• 由于线段  a、b的长度都是正数,所以k是正数

• 比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致

• 除了a=b之外,a:b≠b:a

• 比例的基本性质:若


则ad=bc; 若ad=bc, 则

2、平行线分线段成比例

平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例.如图2, l1 // l2 // l3 ,则

3. 黄金分割

如图1,点C把线段AB分成两条线段AC和BC,如果

那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比. 

黄金分割点是最优美、最令人赏心悦目的点.

4.相似多边形

 ① 含义：

• 一般地,形状相同的图形称为相似图形.

• 对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比.

②注意点：

• 在相似多边形中,最为简单的就是相似三角形.

• 对应角相等、对应边成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形对应边的比叫做相似比.

• 全等三角形是相似三角的特例,这时相似比等于1.

  注意:证两个相似三角形,与证两个全等三角形一样,应把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.

• 相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.

• 相似三角形周长的比等于相似比. 

• 相似三角形面积的比等于相似比的平方.

• 相似多边形的周长等于相似比;面积比等于相似比的平方.

5、探索三角形相似的条件

 ①相似三角形的判定方法:

②平行于三角形一边的直线与其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似。

③相似三角形的判定定理的证明

④利用相似三角形测高         

⑤相似三角形的性质       

⑥图形的位似

第四章 投影与视图

1、三视图 

① 主视图——从正面看到的图 

左视图——从左面看到的图 

俯视图——从上面看到的图 

②画物体的三视图时,要符合如下原则:大小：长对正,高平齐,宽相等.

③虚实:在画图时,看的见部分的轮廓通常画成实线,看不见部分的轮廓线通常画成虚线. 

2、投影 

① 物体在光线的照射下,会在地面或墙壁上留下它的影子,这就是投影现象. 

②太阳光线可以看成平行光线,像这样的光线所形成的投影称为平行投影。 

③在同一时刻,物体高度与影子长度成比例. 

④物体的三视图实际上就是该物体在某一平行光线(垂直于投影面的平行光线)下的平行投影. 

⑤探照灯,手电筒,路灯,和台灯的光线可以看成是从一点出发的光线,像这样的光线所形成的投影称

为中心投影 

⑥皮影和手影都是在灯光照射下形成的影子.它们是中心投影。

3、视点、视线、盲区的定义以及在生活中的应用

①眼睛所在的位置称为视点，

②由视点发出的光线称为视线，

③眼睛看不到的地方称为盲区

第五章 反比例函数

1、反比例函数的定义 

2、用待定系数法求反比例函数的解析式

由于反比例函数

只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。

3、反比例函数的图像及画法

• 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称，由于反比例函数中自变量函数中

• 所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。

• 反比例的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。

• 再作反比例函数的图像时应注意以下几点：

①列表时选取的数值宜对称选取；

②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；

③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；

④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。

4、反比例函数的性质

关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表：

第六章 概率的进一步认识

用树状图或表格求概率

相关知识点链接：

①频数与频率

• 频数：在数据统计中，每个对象出现的次数叫做频数，

• 频率：每个对象出现的次数与总次数的比值为频率。

②概率的意义和大小：

  概率就是表示每件事情发生的可能性大小，即一个时间发生的可能性大小的数值。必然事件发生的概率为1；不可能事件发生的概率为0；不确定事件发生的概率在0与1之间。

【知识点1】频率与概率的含义

在试验中，每个对象出现的频繁程度不同，我们称每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值为频率，即

把刻画事件A发生的可能性大小的数值，称为事件A发生的概率。

【知识点2】通过实验运用稳定的频率来估计某一时间的概率

在进行试验的时候，当试验的次数很大时，某个事件发生的频率稳定在相应的概率附近。

我们可以通过多次试验，用一个事件发生的频率来估计这一事件发生的频率。

【知识点3】利用画树状图或列表法求概率（重难点）

写在最后： 

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