最小熵原理：“物以类聚”之从图书馆到词向量
作者丨苏剑林
单位丨广州火焰信息科技有限公司
研究方向丨NLP，神经网络
个人主页丨kexue.fm
从第一篇看下来到这里，我们知道所谓“最小熵原理”就是致力于降低学习成本，试图用最小的成本完成同样的事情。所以整个系列就是一个“偷懒攻略”。那偷懒的秘诀是什么呢？答案是“套路”，所以本系列又称为“套路宝典”。
“最小熵系列”前文回顾：
本篇我们介绍图书馆里边的套路。
先抛出一个问题：词向量出现在什么时候？是 2013 年 Mikolov 的 Word2Vec？还是 2003 年 Bengio 大神的神经语言模型？都不是，其实词向量可以追溯到千年以前，在那古老的图书馆中。
▲ 图书馆一角（图片来源于百度搜索）
走进图书馆
图书馆里有词向量？还是千年以前？在哪本书？我去借来看看。
放书的套路
其实不是哪本书，而是放书的套路。 很明显，图书馆中书的摆放是有“套路”的：它们不是随机摆放的，而是分门别类地放置的，比如数学类放一个区，文学类放一个区，计算机类也放一个区；同一个类也有很多子类，比如数学类中，数学分析放一个子区，代数放一个子区，几何放一个子区，等等。读者是否思考过，为什么要这么分类放置？分类放置有什么好处？跟最小熵又有什么关系？
有的读者可能觉得很简单：不就是为了便于查找吗？这个答案其实不大准确。如果只是为了方便找书，那很简单，只要在数据库上记录好每一本书的坐标，然后在地面上也注明当前坐标，这样需要借哪本书，在数据库一查坐标，然后就可以去找到那本书了，整个过程不需要用到“图书分类”这一点。所以，如果单纯考虑找书的难易程度，是无法很好的解释这个现象。
省力地借书
其实原因的核心在于：我们通常不只是借一本书。
前面说了，只要建好索引，在图书馆里找一本书是不难的，问题是：如果找两本呢？一般情况下，每个人的兴趣和研究是比较集中的，因此，如果我要到图书馆借两本书，那么可以合理地假设你要借的这两本书是相近的，比如借了一本《神经网络》，那么再借一本《深度学习》的概率是挺大的，但再借一本《红楼梦》的概率就很小了。
借助于数据库，我可以很快找到《神经网络》，那么《深度学习》呢？如果这本书在附近，那么我只需要再走几步就可以找到它了，如果图书是随机打乱放置的，我可能要从东南角走到西北角，才找到我想要的另一本书《深度学习》，再多借几本，我不是要在图书馆里跑几圈我才能借齐我要的书？
这样一来，图书分类的作用就很明显了。图书分类就是把相近的书放在一起，而每个人同一次要借的书也会相近的，所以图书分类会让大多数人的找书、借书过程更加省力。这又是一个“偷懒攻略”。
也就是说，将我们要处理的东西分类放好，相近的放在一起，这也是满足最小熵原理的。生活中我们会将常用的东西分类放在触手可及的地方，也是基于同样的原理。
图书馆规划
下面我们再来从数学角度，更仔细地考察这个过程。
简化的借书模型
假如我们到图书馆去借两本书，分别记为 i,j，假设借第一本书的成本是 d(i)，两本书之间的成本函数为 d(i,j)，这也就是说，找到第一本书 i 后，我就要再花 d(i,j) 那么多力气才能找到第二本书 j。我们可以考虑这个过程对所有人的平均，即：
其中 p(i) 是 i 这本书被借的概率，p(j|i) 就是借了 i 之后还会再借 j 的概率。图书馆的要把书放好，那么就要使得 S 最小化。
现在我们以图书馆入口为原点，在图书馆建立一个三维坐标系，那么每本书的位置都可以用一个向量 v 来表示，不失一般性，我们可以简单考虑 d(i) 为这本书到图书馆原点的欧氏距离，d(i,j) 为两本书的欧氏距离，那么 S 的表达式变为：
让我们再来解释一下各项的含义，其中 (i,j) 代表着一种借书习惯，即借了书 i 还借书 j，p(i,j) 代表着这种借书习惯出现的概率，实际生活中可以通过图书馆的借书记录去估算它；‖vi‖＋‖vi−vj‖ 则代表着先借 i 再借 j 的总成本。其中 ‖vi‖ 这一项要尽量小，意味着我们要将热门的书放在靠近出口（原点）的地方；而 ‖vi−vj‖ 要尽量小，则告诉我们要把相近的书放在一起。
约束优化规划
假如我们拿到了图书馆的借书记录，也就是说已知 p(i,j) 了，那么是不是可以通过最小化 (2) 来得到图书馆的“最佳排书方案”了呢？思想对了，但还不完整，因为很显然式 (2) 的最小值是 0，只需要让所有的 v 都等于 0，也就是说，所有的书都挤在出口的位置。
显然这是不可能的，因为实际上书不是无穷小的，两本书之间有一个最小间距 dmin>0，所以完整的提法应该是：
也就是说，这是一个带约束的极值问题，解决了这个问题，我们就可以得到图书馆对图书的最合理安排了（理论上）。当然，如果真的去给图书馆做规划，我们还要根据图书馆的实际情况引入更多的约束，比如图书馆的形状、过道的设置等，但 (3) 已经不妨碍我们理解其中的根本思想了。
一般成本最小化
现在我们再将问题一般化，从更抽象的视角来观察问题，能得到更深刻的认识。
均匀化与去约束
我们先将成本函数 ‖vi‖＋‖vi−vj‖ 代换为一般的 f(vi,vj)，即考虑：
同时 v 可以不再局限为 3 维向量，可以是一般的 n 维向量。我们依旧是希望成本最低，但是我们不喜欢诸如 ‖vi−vj‖≥dmin 的约束条件，因为带约束的优化问题往往不容易求解，所以如果能把这个约束直接体现在 f 的选择中，那么就是一个漂亮的“去约束”方案了。
怎么实现这个目的呢？回到图书馆的问题上，如果没有约束的话，理论最优解就是把所有图书都挤在出口的位置，为了防止这个不合理的解的出现，我们加了个约束“两本书之间有一个最小间距 dmin>0”，防止了解的坍缩。其实有很多其他约束可以考虑，比如可以要求所有图书必须尽量均匀地放满图书馆，在这个希望之下，也能够得到合理的解。
“尽量均匀”其实可以理解为某种归一化约束，因为归一，所以不能全部集中在一点，因为只有一点就不归一了。“归一”启发我们可以往概率的方向想，也就是说，先构造概率分布，然后作为成本函数的度量。在这里就不做太多牵强的引导了，直接给出其中一个选择：
最小熵=最大似然
让我们来分步理解一下这个式子。首先如果不看分母 Zi，那么结果就是：
也就是说，这个 f 相当于成本函数为
所以
对于固定的 i 而言，最小化上式这不就是相当于最大对数似然了吗？所以结果就是 q(j|i) 会尽量接近 p(j|i)，从而全部取 0 不一定就是最优解的，因为全部取 0 对应着均匀分布，而真实的 p(j|i) 却不一定是均匀分布。
现在再来想想，我们从最小成本的思想出发，设计了一个具有概率的负对数形式的 f(vi,vj)，然后发现最后的结果是最大似然。这个结果可以说是意料之外、情理之中，因为 −logq(j|i) 的含义就是熵，我们说要最大似然，就是要最小化式 (8)，其含义就是最小熵了。最大似然跟最小熵其实具有相同的含义。
Word2Vec
只要稍微将对象一转变，Word2Vec 就出来了，甚至 everything2vec。
多样的度量
纯粹形式地看，式 (5) 的选择虽然很直观，但并不是唯一的，可取的选择还有：
这以内积为距离度量，希望相近的对象内积越小越好。
Skip Gram
事实上，如果 i,j 分别代表句子窗口里边的一个词，那么式 (9) 就对应了著名的词向量模型——Word2Vec 的 Skip Gram 模型了，也就是说，最小化：
这正好是 Word2Vec 的 Skip Gram 模型的优化目标。
注：Word2Vec 实际上对上下文向量和中心词向量做了区分，也就是用了两套词向量，但这里为了直观理解其中的思想，我们就不区别这一点。
原理类比分析
等等，怎么突然就出来词向量了？
我们再重新捋一下思路：是这样的，我们把每个词当作一本书，每个句子都可以看成每个人的“借书记录”，这样我们就能知道哪两本“书”经常被一起借了是吧？
按照我们前面讨论了一大通的图书馆最佳放书方案，我们就可以把“书”的最佳位置找出来，理论上用 (3),(5) 或 (9) 都可以，这就是词向量了。如果用式 (9)，就是 Word2Vec 了。
反过来，找出一个最佳放书方案也就简单了，把图书馆的每个人的借书记录都当成一个句子，每本书当成一个词，设置词向量维度为 3，送入 Word2Vec 训练一下，出来的词向量，就是最佳放书方案了。那些 doc2vec、node2vec、everything2vec，基本上都是这样做的。
所以，开始的问题就很清晰了：将图书馆的每本书的三维坐标记录下来，这不就是一个实实在在的“book embedding”？相近的书的向量也相近呀，跟词向量的特性完美对应。所以，自从有了图书馆，就有了 embedding，尽管那时候还没有坐标系，当然也没有计算机。
再来看看t-SNE
有了“借书记录”，也就是 p(j|i),p(i)，我们就可以照搬上述过程，得到一个“最佳位置规划”，这就是向量化的过程。
如果没有呢？
SNE
那就造一个出来呀！比如我们已经有了一堆高维样本 x1,x2,…,xN，它们可以是一堆图像数据集，我们想要得到一个低维表示 z1,z2,…,zN。我们构造一个：
然后还是用式 (5) 作为成本函数（假设 p(i) 是常数，即均匀分布，同时求和不对自身进行），去优化 (4)，即：
这便是称为 SNE 的降维方法了。一般来说它还有一些变种，我们就不细抠了，这也不是本文的重点，我们只需要理解基本思想。
SNE 本质上就是尽量保持相对距离的一种降维方案。因为它保持的是相对距离，保持了基本的形状不变，所以降维效果比 PCA 等方法要好。原因是 PCA 等方法仅仅保留主成分，只适用于比较规则的数据（比如具有中心聚拢特性、各向同性的），SNE 的思想可以适用于任意连通形状。
t-SNE
前面说得 SNE 已经体现出降维思想了。但是它会有一些问题，主要的就是“Crowding 问题”。
这个“Crowding 问题”，简单来看，就是因为低维分布 (5) 也是距离的负指数形式，负指数的问题就是在远处迅速衰减到 0，而 (5) 中的 v 是我们要求解的目标，这样一来优化结果是所有的点几乎都拥挤（Crowding）在某处附近（因为指数衰减，距离较远的点几乎不会出现），效果就不够好了。
为了解决这个问题，我们可以把式 (5) 换成衰减没那么快的函数，比如说简单的分式：
这称为 t 分布。
式 (13)、式 (11) 和式 (4) 结合，就是称为 t-SNE 的降维方法，相比 SNE，它改善了 Crowding 问题。
当然，t-SNE 与 SNE 的差别，其实已经不是本文的重点了，本文的重点是揭示 SNE 这类降维算法与 Word2Vec 的异曲同工之处。
虽然在深度学习中，我们直接用 t-SNE 这类降维手段的场景并不多，哪怕降维、聚类都有很多更漂亮的方案了，比如降维可以看这篇深度学习中的互信息：无监督提取特征、聚类可以看这个变分自编码器VAE：一步到位的聚类方案。但是 t-SNE 的本质思想在很多场景都有体现，所以挖掘并体味其中的原理，并与其它知识点联系起来，融汇成自己的知识体系，是一件值得去做的事情。
本文总结
本文基于最小成本的思想，构建了一个比较理想化的模型来分析图书馆的图书安排原理，进而联系到了最小熵原理，并且思考了它跟 Word2Vec、t-SNE 之间的联系。
就这样，又构成了最小熵原理的一个个鲜活例子：物以类聚、分门别类，都能降低成本。比如我们现在可以理解为什么预训练词向量能够加快 NLP 任务的收敛、有时还能提升最终效果了，因为词向量事先将词摆在了适合的位置，它的构造原理本身就是为了降低成本。
同时，将很多看似没有关联的东西联系在一起，能够相互促进各自的理解，达到尽可能融会贯通的效果，其妙不言而喻。
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