ICLR 2020：从去噪自编码器到生成模型

作者丨苏剑林

单位丨追一科技

研究方向丨NLP，神经网络

个人主页丨kexue.fm

在我看来，几大顶会之中，ICLR 的论文通常是最有意思的，因为它们的选题和风格基本上都比较轻松活泼、天马行空，让人有脑洞大开之感。所以，ICLR 2020 的投稿论文列表出来之后，我也抽时间粗略过了一下这些论文，确实发现了不少有意思的工作。 

其中，我发现了两篇利用去噪自编码器的思想做生成模型的论文，分别是 Learning Generative Models using Denoising Density Estimators [1] 和 Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces [2]。由于常规做生成模型的思路我基本都有所了解，所以这种“别具一格”的思路就引起了我的兴趣。细读之下，发现两者的出发点是一致的，但是具体做法又有所不同，最终的落脚点又是一样的，颇有“一题多解”的美妙，遂将这两篇论文放在一起，对比分析一翻。

去噪自编码

两篇论文的根本出发点都是去噪自编码器，更准确地说，它利用了去噪自编码器的最优解。

基本结果：若，并且 x ∼ p(x) , ε ∼ u(ε)，这里，那么：

其中=[p∗u](x)=∫p(x−ε)u(ε)dε=∫p(ε)u(x−ε)dε 指的是分布 p(x) 和 u(ε) 的卷积运算，具体含义是 x+ε 的概率密度，换言之，如果 p(x) 代表真实图片的分布，那么如果我们能实现从中采样，那么得到的是一批带有高斯噪声的真实图片。

结果 (1) 也就是说加性高斯噪声的最优去噪自编码器是能显式地计算出来，并且结果跟分布的梯度有关。这个结果非常有意思，也非常深刻，值得我们多加回味。比如，式 (1) 告诉我们 r(x)−x 实际上就是对（带噪声的）真实分布梯度的估计，而有了真实分布的梯度，其实可以做很多事情，尤其是生成模型相关的事情。

证明：其实 (1) 的证明并不困难，变分目标得到：

所以 ∫p(x)u(y−x)(r(y)−x)dx=0，即：

代入表达式：

即得：

曲径通幽处

我们首先来介绍一下 Learning Generative Models using Denoising Density Estimators [1] 的思路。按照 GAN 和 VAE 的通常习惯，我们是希望训练一个映射 x=G(z)，使得从先验分布 q(z) 中采样出来的 z 都能被映射为一个真实样本，用概率的话说，那就是希望拉近 p(x) 和下述的 q(x) 的距离：

为此，GAN 常用的优化目标是最小化 KL(q(x)∥p(x))，这个观点可以参考《用变分推断统一理解生成模型和能量视角下的GAN模型（二）：GAN＝“分析”＋“采样”。但是，由于前面估计的是的梯度，我们可以换个目标：最小化。

为了，我们可以进行演算：

这个目标需要我们能得到和的估计。我们可以用神经网络构建两个的模型和，然后分别去最小化：

也就是用和作为去噪自编码器，根据结果 (1)，我们就有：

也就是说在相差一个常数的情况下，正比于，也正比于，而常数不影响优化，所以我们可以将和替换到 (6) 里边去，得到：

这就得到了一个生成模型的流程：

选定先验分布 q(z)，初始化，事先求好。循环执行下面的 3 步直到收敛：

1. 选一批z∼q(z)，选一批噪声，合成一批带噪声的假样本；

2. 利用这批带噪声的假样本训练；

3. 固定 Ep, Eq，用梯度下降根据 (9) 更新若干步。

这篇论文的实验比较简单，只做了 mnist 和 fashion mnist 的实验，证明了它的可行性：

▲ fashion mnist的生成效果

峰回路转间

另外一篇论文 Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces [2] 就更粗暴直接了，它相当于去噪自编码器跟能量视角下的 GAN 模型（三）：生成模型=能量模型 [3] 的结合。

因为 (1) 已经帮我们得到了了，也就是（当然这篇论文的实际做法也不是直接用神经网络拟合 r(x)，而是像 (7) 一样用神经网络拟合一个标量函数的，但这不影响思想），那么我们只需要实现从采样就完成任务了。当然采样出来的图片是有噪声的，我们还需要它采样出来的结果传入 r(x) 去噪一下，即：

问题是怎么从采样呢？Langevin 方程！设，那么下述 Langevin 方程：

当 ε→0 且 t→∞ 时，序列所服从的分布就是从，换句话说，是该 Langevin 方程的静态分布。 

于是，从这个过程，就被 Annealed Denoising Score Matching: Learning Energy-Based Models in High-Dimensional Spaces 用这么一种粗暴直接（但我觉得不优雅）的方法解决了，所以训练完去噪自编码后，就自动地得到了一个生成模型了。

总的过程是：

1. 训练去噪自编码器 r(x)，得到；

2. 用迭代过程 (10) 采样，采样结果是一批带噪声的真实样本；

3. 将第 2 步的采样结果传入 r(x) 去噪，得到无噪声的样本。

当然，论文还有很多细节，论文的核心技巧是用了退火技巧来稳定训练过程，提高生成质量，但笔者对这些并不是很感兴趣，因为我只是想学习一些新奇的生成模型思想，拓宽视野。不过不得不说，虽然做法有点粗暴，这篇论文的生成效果还是有一定的竞争力的，在 fashion mnist、CelebA、cifar10 都有相当不错的生成效果：

▲ fashion mnist、CelebA、cifar10上的生成效果

曲终人散时

本文介绍了投稿 ICLR 2020 的两篇类似的论文，都是利用去噪自编码器来做生成模型的，因为之前我没了解过相关思路，所以就饶有兴致对比阅读了一番。 

且不说生成效果如何，我觉得它们都是颇具启发性的，能引起我的一些思考（不仅是 CV，还包括 NLP 方面的）。比如 Bert 的 MLM 预训练方式本质上也是一个去噪自编码器，那有没有类似 (1) 的结果？或者反过来，类似 (1) 的结果能不能启发我们构造一些新的预训练任务，又或者能不能借此说清楚 pretrain + finetune 这种流程的本质原理？

相关链接

[1] https://openreview.net/forum?id=Skl1HCNKDr[2] https://openreview.net/forum?id=HJeFmkBtvB[3] https://kexue.fm/archives/6612

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