​生成扩散模型漫谈：条件控制生成结果

©PaperWeekly 原创 · 作者 | 苏剑林

单位 | 追一科技

研究方向 | NLP、神经网络

前面的几篇文章都是比较偏理论的结果，这篇文章我们来讨论一个比较有实用价值的主题——条件控制生成。

作为生成模型，扩散模型跟 VAE、GAN、flow 等模型的发展史很相似，都是先出来了无条件生成，然后有条件生成就紧接而来。无条件生成往往是为了探索效果上限，而有条件生成则更多是应用层面的内容，因为它可以实现根据我们的意愿来控制输出结果。从 DDPM 至今，已经出来了很多条件扩散模型的工作，甚至可以说真正带火了扩散模型的就是条件扩散模型，比如脍炙人口的文生图模型 DALL·E 2 [1]、Imagen [2]。

在这篇文章中，我们对条件扩散模型的理论基础做个简单的学习和总结。

技术分析

从方法上来看，条件控制生成的方式分两种：事后修改（Classifier-Guidance）和事前训练（Classifier-Free）。

对于大多数人来说，一个 SOTA 级别的扩散模型训练成本太大了，而分类器（Classifier）的训练还能接受，所以就想着直接复用别人训练好的无条件扩散模型，用一个分类器来调整生成过程以实现控制生成，这就是事后修改的 Classifier-Guidance 方案；而对于“财大气粗”的 Google、OpenAI 等公司来说，它们不缺数据和算力，所以更倾向于往扩散模型的训练过程中就加入条件信号，达到更好的生成效果，这就是事前训练的 Classifier-Free 方案。

Classifier-Guidance 方案最早出自《Diffusion Models Beat GANs on Image Synthesis》[3]，最初就是用来实现按类生成的；后来《More Control for Free! Image Synthesis with Semantic Diffusion Guidance》[4] 推广了“Classifier”的概念，使得它也可以按图、按文来生成。Classifier-Guidance 方案的训练成本比较低（熟悉 NLP 的读者可能还会想起与之很相似的 PPLM 模型），但是推断成本会高些，而且控制细节上通常没那么到位。

至于 Classifier-Free 方案，最早出自《Classifier-Free Diffusion Guidance》[5]，后来的 DALL·E 2 [1]、Imagen [6] 等吸引人眼球的模型基本上都是以它为基础做的，值得一提的是，该论文上个月才放到 Arxiv 上，但事实上去年已经中了 NeurIPS 2021。应该说，Classifier-Free 方案本身没什么理论上的技巧，它是条件扩散模型最朴素的方案，出现得晚只是因为重新训练扩散模型的成本较大吧，在数据和算力都比较充裕的前提下，Classifier-Free 方案变现出了令人惊叹的细节控制能力。

条件输入

说白了，Classifier-Free 方案就是训练成本大，本身“没什么技术含量”，所以接下来的主要篇幅都是 Classifier-Guidance 方案，而 Classifier-Free 方案则是在最后简单介绍一下。

经过前面一系列文章的分析，想必读者已经知道，生成扩散模型最关键的步骤就是生成过程 的构建，而对于以 为输入条件的生成来说，无非就是将 换成 而已，也就是说生成过程中增加输入 。为了重用已经训练好的无条件生成模型 ，我们利用贝叶斯定理得：

在每一项上面补上条件 ，就得到：

注意，在前向过程中， 是由 加噪声得到的，噪声不会对分类有帮助，所以 的加入对分类不会有任何收益，因此有 ，从而：

近似分布

对于已经看过《生成扩散模型漫谈：一般框架之SDE篇》的读者，大概会觉得接下来的过程似曾相识。不过即便没读过也不要紧，下面我们依旧完整推导一下。

当 足够大时， 的方差足够小，也就是说只有 很接近时概率才会明显大于0。反过来也是成立的，即也只有 很接近时 或 才明显大于0，我们只需要重点考虑这个范围内的概率变化。为此，我们用泰勒展开：

严格来讲还有一项关于 的变化项，但是那一项跟 无关，属于不影响 概率的常数项，因此我们没有写出。假设原来有 ，那么此时近似地有：

从这个结果可以看出， 近似于 ，所以只需要把生成过程的采样改为：

这就是 Classifier-Guidance 方案的核心结果。值得注意的是，本文的推导结果跟原论文略有不同，原论文新增项是：

也就是梯度项在 处的结果而非 处，而一般情况下 的零阶近似正是 ，所以两者结果是差不多的。

梯度缩放

原论文（《Diffusion Models Beat GANs on Image Synthesis》[3]）发现，往分类器的梯度中引入一个缩放参数 ，可以更好地调节生成效果：

当 时，生成过程将使用更多的分类器信号，结果将会提高生成结果与输入信号 的相关性，但是会相应地降低生成结果的多样性；反之，则会降低生成结果与输入信号之间的相关性，但增加了多样性。

怎么从理论上理解这个参数呢？原论文提出将它理解为通过幂操作来提高分布的聚焦程度，即定义：

随着 的增加， 的预测会越来越接近 one hot 分布，用它来代替 作为分类器做 Classifier-Guidance，生成过程会倾向于挑出分类置信度很高的样本。

然而，这个角度虽然能提供一定的参考价值，但其实不完全对，因为：

原论文错误地认为 是一个常数，所以 ，但事实上 时， 会显式地依赖于 。笔者也继续思考了一下有没有什么补救方法，但很遗憾没什么结果，仿佛只能很勉强地认为 时（此时 ）的梯度性质能近似地泛化到 的情形。

相似控制

事实上，理解 的最佳方案，就是放弃从贝叶斯定理的式（2）和式（3）来理解 ，而是直接定义：

其中 是生成结果 与条件 的某个相似或相关度量。在这个角度下， 直接融于 的定义中，直接控制结果与条件的相关性，当 越大，模型会倾向于生成跟 越相关的 。

为了进一步得到可采样的近似结果，我们可以在 处（也可以在 ，跟前面类似）展开：

假设此近似程度已经足够，那么除去与 无关的项，我们得到：

跟前面一样，代入 ，配方后得到：

这样一来，我们就不需要纠结 的概率意义，而是只需要直接定义度量函数 ，这里的 也不再是仅限于“类别”，也可以是文本、图像等任意输入信号，通常的处理方式是用各自的编码器将其编码为特征向量，然后用 cos 相似度：

要指出的是，中间过程的 是带高斯噪声的，所以编码器 一般不能直接调用干净数据训练的编码器，而是要用加噪声后的数据对它进行微调才比较好。此外，如果做风格迁移的，通常则是用 Gram 矩阵距离而不是 cos 相似度，这些都看场景发挥了。以上便是论文《More Control for Free! Image Synthesis with Semantic Diffusion Guidance》[4] 的一系列结果，更多细节可以自行参考原论文。

连续情形

经过前面的推倒，我们得到均值的修正项为 或 ，它们都有一个共同特点，就是 时，修正项也等于0，修正就失效了。

那么生成过程的 可以等于 0 吗？肯定可以，比如《生成扩散模型漫谈（四）：DDIM = 高观点DDPM》介绍的 DDIM，就是方差为 0 的生成过程，这种情况下应该怎样做控制生成呢？此时我们需要用到《生成扩散模型漫谈（六）：一般框架之ODE篇》介绍的基于 SDE 的一般结果了，在里边我们介绍到，对于前向 SDE：

对应的最一般的反向 SDE 为：

这里允许我们自由选择反向方差 ，DDPM、DDIM 都可以认为是它的特例，其中 时就是一般化的 DDIM。可以看到，反向 SDE 跟输入有关的就是 ，如果要做条件生成，自然是要将它换成 ，然后利用贝叶斯定理，有：

在一般的参数化下有 ，因此：

这就意味着，不管生成方差是多少，我们只需要用 代替 就可以实现条件控制生成了。因此，在 SDE 的统一视角下，我们可以非常简单而直接地得到 Classifier-Guidance 方案的最一般结果。

无分类器

最后，我们来简单介绍一下 Classifier-Free 方案。其实很简单，它就是直接定义：

沿用前面 DDPM 的几篇文章的结果， 一般参数化为：

训练的损失函数就是：

它的优点是在训练过程中就引入了额外的输入 ，理论上输入信息越多越容易训练；它的缺点也是在训练过程中就引入了额外的输入 ，意味着每做一组信号控制，就要重新训练整个扩散模型。

特别地，Classifier-Free 方案也模仿 Classifier-Guidance 方案加入了 参数的缩放机制来平衡相关性与多样性。具体来说，式（8）的均值可以改写成：

Classifier-Free 方案相当于直接用直接用模型拟合了 ，那么类比上式，我们也可以在 Classifier-Free 方案中引入 参数，用：

代替 来做生成。那无条件的 怎么来呢？我们可以新引入一个特定的输入 ，它对应的目标图像为全体图像，加到了模型的训练中，这样我们就可以认为 了。

文章小结

本文简单介绍了建立条件扩散模型的相关理论结果，主要包含事后修改（Classifier-Guidance）和事前训练（Classifier-Free）两种方案。其中，前者不需要重新训练扩散模型，可以低成本实现简单的控制；后者需要重新训练扩散模型，成本较大，但可以实现比较精细的控制。

参考文献

[1] https://arxiv.org/abs/2204.06125

[2] https://arxiv.org/abs/2205.11487

[3] https://arxiv.org/abs/2105.05233

[4] https://arxiv.org/abs/2112.05744

[5] https://arxiv.org/abs/2207.12598

[6] https://kexue.fm/archives/9257

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