爱因斯坦广义相对论的发现之路
海归学者发起的公益学术平台
分享信息，整合资源
交流学术，偶尔风月
1915年11月，爱因斯坦发表三篇划时代的论文，建立广义相对论。他晚年的时候经常说，他是通过最自然的数学方式得到了广义相对论的场方程。但是他在发展广义相对论期间做的笔记展示的是一个不同的故事。。。
这个月标志着爱因斯坦场方程发表100周年。场方程是广义相对论的顶石，也是爱因斯坦科学生涯中最闪亮的成就。空时曲线通过这些方程与物质的能量和动量联系起来。1915年11月25日爱因斯坦递交给Prusian Academy of Sciences in Berlin一篇四页的论文，这是爱因斯坦场方程的首次亮相。这篇论文收录在《爱因斯坦论文集》的第六卷（CPAE 6; 21）。爱因斯坦是怎么得到这些方程的？他后来坚持说引力方程“只能通过纯粹的正规化的原理（广义不变性）来获得”，这一表述与爱因斯坦后半段职业生涯中探索统一场论时所采用的策略是一致的。但是，如果用这一表述来描述爱因斯坦是如何建立广义相对论场方程的，则是高度误导的。
1915年11月的四个周四，爱因斯坦向柏林普鲁士科学院连续递交了四篇短的通讯文章（CPAE 6; 21, 22, 24, 25）。在11月4日的第一篇论文中，爱因斯坦用一组新的方程来替换他1913年发表的场方程，这组新的方程在更多类型的坐标变换下保持形式不变。在第二篇论文中，爱因斯坦采用了一个对物质属性的相当大胆的假设，这使他能够把第一篇论文中的方程变为一组广义共变的方程 – 即，在任意坐标变换下仍能保持方程形式的不变。在11月25日的第四篇文章中，他通过一个不同的但是更令人信服的方法得到了一组新的场方程，这组方程同样具有广义共变性。在第三篇文章中，依据第二篇文章中的场方程，他给出了关于“丢失的43弧秒”（牛顿理论下的计算与观测相比，水星近日点的进动每100回归年相差43弧秒）的解释。第四篇文章中的场方程的修正并不影响这一解释。
在11月的第一篇文章中，从旧的场方程到新的场方程，爱因斯坦给大家的感觉好像是夷平了一座大教堂然后在废墟上重建了一座风格完全不同的新的。旧的场方程是建立在物理学原理上的。新的场方程，爱因斯坦想让它的读者们相信，依据数学原理，“真正是微分学的胜利”（CPAE 6；21）。仔细地研究爱因斯坦的这四篇文章以及他给过的相关的回应，做个比喻的话，爱因斯坦在1913年场方程的基础上铺陈出了一个框架，进而在其上仔细地摆上了构成爱因斯坦场方程的拱石。
在1913年11月之前的三年里，爱因斯坦与数学家马塞尔·格罗斯曼（Marcel Grossmann）合作的时候就已经在思考第一篇论文里的场方程了。1912年两位当年的同学曾重回母校苏黎世联邦理工（ETH Zürich）。两人合作时的笔记收录在“苏黎世笔记”里。如同在1915年11月的第一篇文章中回顾的，“笔记”里记录了他们“在沉重的心情下”放弃了以黎曼张量为基础的对场方程的寻找。挫败他们的是，对这些方程做出物理解释时发生了问题。1913年6月他们联合发表的一篇文章（CPAE 4；13）采用了特别设计的场方程以绕过那些问题。这篇文章的标题是Entwurf（“草案”，《广义相对论和引力理论纲要》），其中的理论和场方程因而也被命名为“草稿理论”和“草稿场方程”。
“草稿理论”具备了广义相对论的数学形式体系的所有基本元素，但是因为“草稿场方程”非常有限的共变性，爱因斯坦没管它叫“广义相对论”，而是很谨慎地把它称为“广义化的相对论”。
爱因斯坦遇到的部分困难，是从1912年底到1916年底，他把广义共变性和运动的广义相对性混在一起了。打个比方，如果两个城市间的最短路径是大圆上的一段圆弧，但是这条路径在另一种地图上也可以表达为直线，这样的操作相当于“广义共变”。但是不论在什么地图上显示为什么样的形状，那段圆弧总是最短的。类似的，广义共变性也不能把空时中的所有不同的路径变为等同，不能把所有不同的运动状态变为等同。
因此，在某种意义上，1915年11月具有广义共变性的场方程的建立是个没有意义的胜利。虽然广义相对论的名字给人以误导，但它确实是关于引力的强大的、新的理论。在等效原理的基础上，爱因斯坦在1918年给出了这一理论的成熟形式，即，空时几何与引力都应该用度量张量场来表达。
1915年11月文章中的场方程，1912-1913的时候爱因斯坦和格罗斯曼就开始考虑了，爱因斯坦后来为什么放弃了它？很长时间里，历史学家认为他们两人那时不知道“坐标条件”（如何选择坐标系）。如果有两种场方程，其中一种具备广泛的共变性，而另一种只在有限类别的坐标系中具有共变性（比如，牛顿理论下的泊松方程），那么对它们做对比的话，必需在后者保持共变性的坐标中考虑前者。这些坐标要满足四个度量张量场方程，坐标条件给得合适的话，就能够把具有广泛共变性的方程中的很多项消掉，只剩下一项度量张量场的二阶微分，这一项将还原为牛顿理论在弱的静态场下的场方程。亚伯拉罕·派斯（Abraham Pais）在他的著名的爱因斯坦科学传记中写道，“爱因斯坦仍旧需要意识到。。。对坐标的选择只是出于某种习惯或定义，不需要物理的内容。”
派斯没有查看过“苏黎世笔记”。实际上，爱因斯坦设定了度量张量场的四维散度为零，并在11月的第一篇文章中利用这个条件以及他的场方程的二阶微分来消除不需要的项，从而证明他的场方程具有正确的牛顿极限。所以，“苏黎世笔记”似乎无可争议地证明派斯上面那段话是不对的。
但是，到底为什么爱因斯坦放弃了11月第一篇文章中的场方程？约翰·诺顿（John Norton）是第一个对“苏黎世笔记”做出研究的，诺顿在他的《广义相对论的创世纪》（The Genesis of General Relativity）一书中认为，有可能是因为在旋转坐标系中，闵可夫斯基（Minkowski）空时的度量张量场不满足赫兹（Hertz）条件，即度量张量场的四维散度并不为零。令诺顿感到疑惑的是，爱因斯坦为什么认为这会是个问题。所以，派斯所说的也不完全算错。
1915年11月之前，爱因斯坦采用坐标条件的方式与现代方式是有根本区别的。在现代方式中，大家都知道“坐标条件”必须是“规范条件”。具体选择哪一种等效的度量张量取决于是否便于解决问题，不同的坐标适于不同的问题。但是，在“苏黎世笔记”以及“草稿理论”的整个范畴里，爱因斯坦用了个一刀切的方式：用一种坐标条件来解决所有的问题。
在《广义相对论的创世纪》中提到了“坐标的限定”。“坐标的限定”与“坐标条件”不同，“坐标的限定”是理论的组成部分，在理论中使用“坐标的限定”使得基本场方程不再具有广泛的共变性以及广义共变性，而是变成消掉了很多项之后的截断了的方程。“坐标的限定”与“坐标条件”的另一个区别是，爱因斯坦期望“坐标的限定”能够完成双重任务：他希望通过“坐标的限定”使场方程有正确的牛顿极限，同时还保持动量和能量的守恒。
爱因斯坦对“坐标限定”的使用使他遇到了问题：旋转度量张量不满足赫兹条件。他原本期望，在没有物质的情况下，旋转度量张量是场方程的解，由此便能将旋转坐标系里的惯性力解释为引力。“11月张量”本身在旋转度量下是可以消去的，但是，如果旋转度量不满足赫兹限制，那么在赫兹限制下做出截断之后，剩下的张量部分消不掉了。在写11月第一篇文章的时候，爱因斯坦认识到截断这事儿根本就不是个事儿。之后，他运用了赫兹条件，结果证明，建立在“11月张量”基础上的场方程有正确的牛顿极限，也就是说他的场方程允许变换到旋转坐标系。显然，1915年11月的时候爱因斯坦对赫兹条件的运用方式和“坐标条件”的现代运用方式是一样一样的。
在“苏黎世笔记”中，由“坐标限定”产生的截断是否具有共变性，爱因斯坦研究了“11月张量”在截断后获得的目标场方程的共变性。对于赫兹限定来说，似乎没什么可琢磨的。四维度量张量必须为零这一条件，只有在线性变换下才是共变的。按照爱因斯坦的说法，共变性可以有更广泛的范围。在给洛伦兹（Hendrik A. Lorentz）的信中（CAPE 5; 467）爱因斯坦管这些变换叫“非自主变换（nonautonomous transformations）”，在1914年的文章中（CAPE 6; 2, 9）称之为“适应于度量张量的坐标系间的合理变换（justified transformations between adapted coordinates）”。对于普通的（或者自动的）变换，新的坐标只是旧的坐标的函数，而对于非自动的变换，新坐标既是旧坐标的函数，也是旧坐标度量张量的函数。
在爱因斯坦的最终理论中，坐标限定和非自动变换这些概念都滚到一边去了。但是，在“苏黎世笔记”以及“草稿理论”那篇文章里，爱因斯坦关心的核心问题，是确定他的坐标限定在足够多的非自主变换下能够保持共变性，从而实现对任意运动的一个相对论原理。这个目标本身实际上是虚幻的。
根据“苏黎世笔记”的记载，爱因斯坦最终放弃了通过各种坐标限定来截断“11月张量”并进而构建目标场方程，他转而通过缜密的引力场与电磁场间的类比，给出了“草稿场方程”。1913年8月，他撞上了“空穴论证”佯缪 – 广义共变性不能唯一地确定空时中没有物质的区域（空穴）的度量。爱因斯坦跟他的“草稿场方程”的有限共变性讲和了。
很长时间里，历史学家们认为爱因斯坦只是错把两种不同的物理度量弄成了同一度量在两种不同坐标下的表达，而且，“空穴论证”显示的不是非决定论，而是和他放弃广义共变性一样，源于同样的对“坐标条件”的缺乏认识。CPAE的创始编辑John Stachel第一个指出，这种对“空穴论证”的不友好的解读完全对不上爱因斯坦关于“空穴论证”的最谨慎的表述（CPAE 6; 9, 第1067页）。因此，问题的解并不是仅仅需要改正一个低级错误。1915年11月爱因斯坦没说过任何关于“空穴论证”的事，只是其后在共变性问题上受到压迫的时候，才拿出这么个逃开的办法。
1914年初的时候，爱因斯坦和格罗斯曼一起发表了第二篇文章（CAPE 6; 2），主要的想法是通过变分原理来得到“草稿方程”，从而更好地处理共变性的性质。通过变分原理能够从拉格郎日确定场方程，而研究拉格郎日的共变性要比确定多变量场方程的共变性容易。“草稿方程”的拉格郎日与无源麦克斯韦方程的结构是一样的：实质上是引力场的平方定义为度量张量的负梯度。既然度量张量在理论中扮演的是引力势的角色，很自然地，度量张量的负梯度就是引力场。爱因斯坦和格罗斯曼找到了四个对度量张量及其导数的条件，在这些条件下，不仅能够保持动量能量守恒，而且能够确定哪些“非自主变换”能够使得“草稿方程”的拉格郎日保持形式不变。爱因斯坦认为这些“非自主变换”的广泛性足够让所有的运动都具有相对性。但是他错了，比如，在不存在物质的情况下，旋转度量张量不是“草稿场方程”的解。
爱因斯坦移居到了柏林，作为一名谨守义务的新鲜会员，1914年11月他在柏林普鲁士科学院的论文集上发表了一篇评论文章（CPAE 6; 9），“The formal foundation of the gneral theory of relativity”（《相对论的广义理论的正式基础》）。文章的标题反映了爱因斯坦对于这个理论越来越有信心。在这篇长文中，他再一次阐释了“草稿理论”的变分方式。在文章的开头，爱因斯坦没管拉格郎日与度量张量及其一阶导数的关系，但是再次证明了决定拉格郎日共变性的条件同时能够保证能量动量守恒。实际上，他的结论是诺特定理（Emmy Noether）的一个特例。但是爱因斯坦认为，他的1914年的结论说明，能量动量守恒要求场方程的共变性受到限制。爱因斯坦进一步论及的是，这种限制唯一性地选择出拉格郎日，生成“草稿方程”。
1915年6月28日到7月5日，爱因斯坦受Wolfskehl基金会之邀在哥廷根给了一系列讲座（Wolfskehl Lectures）。他讲了“草稿理论”，并且俘获了东道主伟大的数学家大卫·希尔伯特的想象力。这些讲座现存的唯一笔记（CAPE 6; 附录B）并没有提到“草稿场方程”，但是完全可以假定爱因斯坦按照1914那篇评论文章的逻辑给予了讲述。然而几个月之后，他的一些信件表明，他对那些场方程的信心崩溃了。9月的时候，再一次的检查令他沮丧的发现， 旋转度量并不是在没有物质的情况下场方程的解（CPAE 8; 123）。到了10月，他发现，关于“草稿场方程”拉格郎日的唯一性论证是错的（CAPE 8; 129）。
因为知道希尔伯特追得很快，爱因斯坦可能是匆忙地在11月初发表了新的场方程，然后不得不在三个星期内修改了两次。11月20日，希尔伯特把他的新的场方程提交给了哥廷根科学院，比爱因斯坦场方程提交给柏林的时间早了五天。所以看上去似乎希尔伯特采用纯数学的方式抢了爱因斯坦一道。爱因斯坦有点儿恼怒希尔伯特跑来挖他的墙角了，但是他很快意识到这种情绪纯属鸡毛蒜皮。但是这个小插曲对于解释两件事有显著意义，一是爱因斯坦转向采用纯属学方式来寻找统一场论，一是选择性健忘症使得他相信纯数学方式使他找到了广义相对论的场方程。
希尔伯特的文章直到1916年3月才刊印出来，校样在1960年代末也浮出水面。其实爱因斯坦在1915年11月的时候没必要担心希尔伯特，在重要的方面，校样中呈现的理论更相近于“草稿理论”，而不是最终的广义相对论的形式。希尔伯特的理论在结构上与爱因斯坦1914年那篇评论文章中的相同。他确实使用了黎曼数量曲率来做拉格郎日，这也正是爱因斯坦场方程广义共变性中引力部分的拉格郎日。但希尔伯特随即采用了爱因斯坦的“空穴论证”来排除具有广义共变性的场方程，而且还施加了一个坐标限定，他称这个关系为“能量定理”。所以校样中的场方程不具有广义共变性。发行版的文章最终去掉了这个坐标限定。
1915年10月的“草稿”拉格郎日在独特性论证上是崩溃的，这无疑是对爱因斯坦的挫败，但也同时开启了一种新的可能。保持1914年评论文章中的普遍形式不变，但是考虑不同的拉格郎日。一个选择是维持“草稿”拉格郎日，但重新定义引力场。“草稿”拉格郎日是以电磁场的拉格郎日为模型的，静电场是静电势的负梯度，所以似乎应该很自然地定义引力场（用度量张量来表达）是引力势的负梯度。在“草稿理论”的工作中，爱因斯坦严重地依赖于这一类比，但是这一类比也表明引力场与引力势之间的关系要复杂的多。爱因斯坦在11月的第一篇文章中承认，在此之前，虽然绝对微分学的公式表明应该使用克里斯托费尔符号（三项的和），但是能量动量守恒使他认为单一项度量梯度是对引力场构成的自然表达。这是“决定命运的偏见”（“fateful prejudice”, CAPE 6; 21）。
几周后，爱因斯坦写信给索末菲（CPAE 8; 153）说，用克里斯托费尔符号来重新定义引力场是“答案的关键”。在“草稿”拉格郎日中引入克里斯托费尔符号，得到的场方程将包含“11月张量”。同时，如果理论的形式化加上单模变换的限制（一个适度的限制，要求变换的行列式为1），那么得到的场方程刚好就是“11月张量”基础上的场方程。
所以，我们认为爱因斯坦通过物理学上的考虑找到了回到11月第一篇文章中场方程的方法。同时，爱因斯坦在11月的第一篇文章中说，“草稿方程”的让位使他回到“对更广泛的共变性的要求”，所以另一种可能是，爱因斯坦重新采用11月张量是因为它属于黎曼张量谱系。如果是这样的话，他只是在其后重新想起来数学的价值并且给予了最大的重视，然后才找到了新的场方程的拉格郎日。但是，并没有确定性的证据证明，究竟是重新定义引力场在前还是重新回到黎曼张量在先。
重要的是，在新的场方程中，这两者爱因斯坦都需要。“11月张量”与黎曼张量相关，保证了以它为基础的场方程有广泛的共变性；从物理上可信的拉格郎日得到场方程，保证了能量动量守恒。两种途径都能得到相同的场方程。所以写11月第一篇文章的时候，爱因斯坦可以随便选，他选的是简单些的数学途径，并且只是在需要处理能量动量守恒的时候才采用麻烦的物理途径。
物理考虑与数学考虑的精妙合流导致了11月第一篇文章的产生，但是仍然需要更多的工作把二者交织起来。1914年评论文章中的广义共变性形式受限于单模变换，度量张量有四个条件。爱因斯坦希望这些条件既能保证能量动量的守恒，又能确定“非自主变换”从而让新的场方程保持共变性。但是他已经知道，以“11月张量”为基础建立的新的场方程，在广泛得多的单模自主变换下是保持共变性的。并且，在11月的第一篇文章中，经过替换，爱因斯坦把那四个条件变成了一个：度量张量的行列式g的条件。
但是，这个行列式的条件有点儿怪异，它意味着只有当能量动量的迹（T）为零时，g才是个常数。T不为零时，单模坐标系g=-1，单模坐标系会被排除掉。然而，在单模变换下保持共变性的理论，很自然地会选择单模坐标系。同时，11月第一篇文章中的里奇张量在单模坐标系下将约化为“11月张量”，而文章中的场方程可以看作在特殊坐标系下具有广义的共变性。可以证明的是，在单模变换下的共变性保证了在单模坐标系下的能量动量守恒。所以，爱因斯坦有充分的理由去找个办法绕过非零T对单模坐标系的限制。
11月的第二和第四篇文章对场方程用了两种不同的方式去做修正。开始的时候，通过类比电磁场，爱因斯坦认为T应该直接等于零，但是T=0严重损害了广义共变性。爱因斯坦很快意识到，没必要把T设置为零，实际上如果在场方程中加上一个含有T的项，关于行列式g的条件将不再排斥单模坐标系，即单模坐标系可以与非零迹的张量共存。另一方面，能量动量守恒提供了一个强有力的独立的论据来支持加入含有T的一项：能量动量进入场方程的方式与引力场进入场方程的方式是一样的。这时，爱因斯坦确信他已经得到了正确的答案，他找到了那个将永远以他的名字命名的场方程。
现存的1912-1915的文章、笔记和信件让我们能够详细地重建爱因斯坦是如何用“草稿理论”作为脚手架，并且建立起爱因斯坦场方程的拱的。“草稿理论”包含了场方程、四维力、能量动量密度以及引力场拉格郎日的表达式及其之间的关系。所有这些都模仿了狭义相对论四维形式中相应的电磁场的表达式及其关系。“草稿理论”的另一个显著特征是能量动量守恒与共变性之间的紧密联系。1914年那篇评论文章的变分形式下的表达式与关系式，把脚手架绑在了一起。
引力场的定义从度量张量的负梯度变为克里斯托费尔符号的负数，好比替换了一个基本组件但是整个系统仍保持了原来的完整。脚手架的组件变成了拱的组件。脚手架的某些部分被抛弃，比如笨拙的概念：非自主变换；某些部分被移动并重新配置，比如坐标限制变为坐标条件，比如共变性与能量动量守恒之间的关系被翻转 – 从守恒限制共变，变为共变保证守恒。
尽管爱因斯坦努力地隐藏，11月的第一篇文章所展示的拱仍旧显示了脚手架的清晰痕迹。爱因斯坦想展示数学的辉煌，但是他的结构还不够好。为了防止由于违反能量动量守恒以致拱的坍塌，他不得不从“草稿”这个脚手架上弄一根木头按照单模变换的尺寸来量身定做一个支撑梁。可惜这个支撑梁没给脚手架留下足够的空间来容纳另一个关键的部分 – 对单模坐标系的限制。只有这个限制到位了才能让人感受到拱在任何角度下的壮丽，即使在建造的时候只能看到其中一角。为了给单模坐标系腾出地方，爱因斯坦引进了电磁世界观这个大杀器，随即他又意识到他根本不需要这个。他真正需要的是场方程中附加的一项，能量动量张量的迹。这一项，是他的拱心石。
1915年11月之后的几个月里，爱因斯坦扫清了11月头两篇文章留在工地上的瓦砾，1916年5月发表了对新理论的第一个自给的阐释（CPAE 6; 30）。最终，1916年11他完全移除了对单模坐标系的限制（CPAE 6; 41）。拱实现了自支撑，未来几代物理学家所瞩目的奇景。
点击蓝色链接，还可阅读
英文版载于Physics Today，中文版由懂潇洒编译
喝茶聊天心有灵犀，钻研切磋触类旁通
回复“目录”或“分类”，浏览知社更多精华。长按二维码识别，可以关注/进入公众号进行回复。