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SOS—操弄对称的相似原理 (上)

The following article is from 量子材料QuantumMaterials Author 李翔

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对 称


寰宇无形亦有形古来人物若繁星高低美丑芳千万莫不虔诚对称听



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编者按



《吴越春秋》说:天下之愚,莫过于斯,知贪前之利,不睹其后之患也。翻译成白话文就是:只贪图眼前的利益,而看不到身后的祸患,天下没有比这更愚蠢的了。这句话看起来与本文毫无关系,不过,网络作者王鹏先生点评说:物理学讲时间对称性能够推导出能量守恒,这是天理。他继而推广曰:人间的道理也是一种天理。知道当前的利益,而不知之后的祸害,就是对天理的无知,也就是对对称性和守恒的无知。很吓人吧!


我们不知王鹏先生是否是一位物理人、其此类推广是不是有天理,但“对称性是天理”这样的论点让这篇译文有了开始的意涵。这篇译文,乃译者李翔博士根据国际凝聚态物理知名学者 Sang-Wook Cheong 最近发表在 npj Quantum Materials 4, 53 (2019) 上的一篇文章“SOS: symmetry-operational similarity”意译而成,分为上下两篇。全文贯注了译者自身的诸多理解与发挥,因此不仅仅是对原文的直译。


 
图1. 对称性就是天理。
https://i.ytimg.com/vi/X6HobTJ2jnk/maxresdefault.jpg
https://www.youtube.com/watch?v=X6HobTJ2jnk

01

引子



自古以来,人类对自然界中许多事物所展现的对称性痴迷不已。早在公元前的西汉时代,《韩诗外传》就指出:“凡草木花多五出,雪花独六出”。这似乎是有史以来第一次思考雪花对称性之独特的记载。几千年来,人们在各种建筑物、文化符号 (如太极图)、手工艺品及装饰图案等中引入了许多对称性概念,并且人体本身也包含着大量的对称元素和对称美的考量。不过,我们今天要讲的内容,却是要“打破”这种对称性。例如,在忽略一些细节时,左右手实际上是镜面对称的。假如不幸左手食指上出现一道难以恢复的巨大伤疤,此时,就称这一镜面对称性破缺了。或者,我们小心翼翼地除去雪花一角,它的六重旋转对称性也破缺了。虽然这种破缺可能是美学所忌讳的,但对称破缺阐释了生活及物理中最本质的意向:只有对称破缺的,才是丰富多彩的。当某件事、某件物过于对称和美丽时,可能破缺就要降临了。
 
事实上,所谓“对称性破缺”,可以简单理解为原来具有较高对称性的系统,由于出现不对称因素,其对称程度自发降低。这一概念在物理学中意义非凡。在过去的半个多世纪里,夸克、t 中微子以及希格斯玻色子的实验发现,称得上是科学史上的伟大成就。而洞见这些基本粒子存在的标准模型之实质与精髓,便是对局域SU(3) × SU(2) × U(1) 规范对称性及其自发对称性破缺的分析。限于本文篇幅和译者水平,我们将不会、也没必要去讨论这一规范对称性。事实上,不仅仅是粒子物理,在凝聚态物理中,对称性及其破缺更是与众多的物理现象息息相关,诸如和相变相关的极化/磁化现象、强光照射下二次谐波发生、多种非互易二极管效应等等。
 
对称性及其破缺理论,在自然界中比比皆是,与各种物理现象如影随形。本文将不拘一格,从物理学中的对称性破缺出发,引出所谓对称操作相似(symmetry operational similarity, SOS) 原理,作为一柄“拙朴之剑”赠与各位醉心于凝聚态物理而不能自拔的学者,以期帮助读者深入理解各种复杂材料中的物理图像,乃至甄别新材料,抑或发现新奇的物理现象。愿读者循序渐进,细细品尝其中韵味。
 
我们知道,与晶体相关的重要对称性共有五类,即平移、旋转、镜面反映、空间反转和时间反演。不过,这些对称性之间并非完全独立。如空间反转,相当于在绕垂直轴进行180 度旋转操作之后,再进行一次关于水平面的镜面反映 (即R⊕ M,符号的定义将在下文给出)。这种不同对称性操作的等价性对本文论述十分重要,故提前提示于此。事实上,文献 [1-9] 对几乎所有晶体材料的对称性进行了详细的理论分析并加以分类。如若有兴趣,读者可自行前往查阅。不过需要指出的是,这些对称性分析通常极其复杂,并且只适用于一些特定的材料。有鉴于此,本文将避繁就简,只将讨论限定于若干具有代表性的系统 (通常是一维体系)。这些系统简洁直观,却能够适用于众多不同的材料,并且与诸多可观测量或可观察的物理现象之间有很强关联。


02

非互易性与SOS原理



2.1  非互易性

想必大家对 p-结中的二极管效应非常熟悉。它最基本的功能就是对电流的“正向通过,反向阻断”。其实,二极管效应还有一个更“高大上”的名字——非互易性电荷输运。电荷输运容易理解,就是电子 (或空穴) 在电场下的流动。
 

非互易性在物理学中的解释是:对于一个对象,如果沿一个方向的运动行为与其沿反方向的运动行为有所不同,这一过程称为非互易方向二色性,或简称为非互易效应 [7-9] [译者:为了简化描述,后文将称这两种相反的运动行为是相互对立的,无论其互易与否。同时,由于这些运动行为通常由实验所观测,也可称之为不同的实验情况]。这里,所谓的对象,不仅可以是上述二极管效应中的电子,也可以是声子、自旋波、晶体中的光。

 
本文所要论述的是:这种非互易性,本质上由对称性及其操作决定。而如果能够从不同途径实现类似的对称性及其操作,则这些不同方案均可以产生相似的互易性效应。所以,本文的主题具有广泛的普适性和可实施性。
 
从对称性的角度来看,p-结中之所以有这样的二极管效应,主要是其中的内电场 破坏了方向对称性 [10]。研究发现,在一些铁电体 (如 BiFeO3) 或极性半导体 (如 BiTeBr)中,极化 亦可以扮演着与内电场 相同的角色。因此,我们也能够在这些材料中观察到体二极管效应 [11, 12]。极化 之所以能够等效为内电场 E,是因为二者均为极矢量 (polar vector),而极矢量在各种对称操作下会表现出完全一致的行为。
 
同理,磁场 和磁化 均为赝矢量 (pseudo-vector),故 亦可等效为 H。[注:在物理学中,有极矢量和赝矢量之分。赝矢量可以表示为两个极矢量的外积。由于经常用于描述旋转,赝矢量也称轴矢量。极矢量与赝矢量在特定对称操作下有不同的行为:(1) 在镜面反映下,极矢量垂直反映面 (镜面) 的分量反向、平行反映面的分量不变。相反,赝矢量垂直反映面的分量不变、平行反映面的分量反向。(2) 在空间反转下,极矢量反向,赝矢量不变。这些特性在本文中至关重要]。除了 p-结之外,诸如光隔离器、自旋电流二极管以及超材料 (meta-materials) 的许多原型器件都确实地利用了非互易效应。
 
另外,多铁性材料,作为原著作者和译者多年来的关注课题之一,也是实现非互易效应的优良候选体系。多铁性材料,通常指的是系统中同时存在铁电序和 (反) 铁磁序的化合物。其中,多种铁性之间相互依存、相互耦合。近年来,因其在磁电相互调控方面表现出的潜在可能性,多铁性材料受到世界范围的关注 [13-15]。一方面,磁有序破坏了时间反演对称性;另一方面,当磁晶格与结构晶格相结合时 (可以理解为自旋排列是空间不均匀的),将破坏系统的空间反转对称性。这一共同作用的结果最终导致多铁性的出现,也被称为磁致多铁。多铁性材料由于要求空间反转和时间反演两种对称性同时破缺,将会是下文中的“明星选手”。
 
2.2. SOS原理
 
首先,我们通过讨论速度矢量的对称性来进一步理解非互易性,并由此正式引入对称操作相似原理—— SOS
 
众所周知,速度矢量(或线性动量,或波矢) 表示为 dx/d(其中 为位移,为时间)。这一矢量在空间反转 (→ -) 或时间反演 (→ -) 操作下将会改变其方向 (即符号),故具备这两种对称性的破缺。注意到,可以描述任意 (准) 粒子的运动,如电子、自旋波、声子和光子。在这里,基于简单起见,我们仅处理一维情形下的问题,以便将其中的物理阐述清楚明白。向高维的推广和演绎直截了当,虽然较为繁琐。兹作如下符号约定,用于表示相应的对称操作:
 
R,绕垂直于矢量的轴旋转180 度;
R,绕沿矢量的轴旋转180 度;
I,空间反转;
M,以垂直于矢量的平面作镜面反映;
M,以包含矢量的平面作镜面反映;
T,时间反演。
 
根据以上符号约定,显而易见,+在 对称操作下将变为 -k,即 具备破缺的 对称性。事实上,+I中任何一个对称操作下均变为 -k,因此,{RIMT} 便称为的所有对称性破缺操作的集合。这一表达在本文中屡屡现身、至关重要。
 
那么,如何理解其中的非互易性呢?首先引入一个概念,构成量 (specimen constituent)。可以把构成量理解为材料或系统中的一种物理环境,如电子在电/磁场中运动时,这个电/磁场环境即是一种构成量。光在晶体中传播时,能够与光发生相互作用的晶格结构也是一种构成量。
 
简单而言,如果用一个代表状态的矢量 来描述这个构成量,那么系统就可以用 [+k] 来表示。如果用另一个状态矢量 来描述经过对称操作后的构成量,那么经过变化后的系统就是 [-k]。因此,若要讨论其中的互易性,只需要知道在通过对称操作使 [+k] 变为 [-k] 的过程中,构成量是否发生了变化。
 
从上面的分析可知,若想把 +k  变为 -k,必然要进行 {RIMT} 对称操作。此时,如果构成量不发生变化 (即 B ),那么由于 +和–所处的物理环境 (构成量) 相同,运动行为将不会发生改变,实验结果是互易的。这里,将这一过程表述为对称操作前后是可以关联的,即 [+k] 在{RIMT} 对称操作 (只要有一个对称操作即可) 之后变成了 [-k]。
 
反之,若构成量发生变化( ≠ ),即 {RIMT} 中的任意一个对称操作均无法关联 [+k] 和 [-k],则由于 +和–所处的物理环境 (构成量) 不同,运动行为必将改变,也就是会展现出非互易性。换言之,如果构成量也是{RIMT} 对称性破缺的,那么 和 必将不相等,即实验结果一定是非互易的。


因缺乏更好的术语表述,我们姑且把这些具备 {RIMT} 对称性破缺的构成量,称为具有针对的 SOS (symmetry operational similarity)。
 
很显然,SOS 并非只是针对互易性这一物理,如上所述只是局限于非互易性有关的 SOS 原理而已。
 
图2. 具有针对的 SOS之多种构成量。其中,红色箭头表示极化 或者外电场 E,蓝色箭头表示磁化 或外磁场 H。(a) 铁转 (ferro-rotation) [注:铁转表示的是面内的 (电) 偶极子旋转方式,包括顺、逆时针,可以用太极的“阴”、“阳”两种状态作类比。它的序参量可以表示为 × P,在空间反转和时间反演下均不变。具体可参见文献[15]]。(b) & (c) 具有磁性 的结构手性 (螺旋型)。(d) & (e) 磁场 下的螺旋 (helical)自旋序。(f) 磁场 下的面内螺旋 (cycloidal,或称摆线) 自旋序。(g) 由自旋旋转构成的环磁极矩 (toroidal moment)。(h) 由 和 (或 和 ) 构成的环极矩 (toroidal moment) [译者注:虽然原文将 (g) 和 (h) 都称为 toroidal moment,不过它们在本质上是不同的。所谓的环极矩 (或铁性矩) 仅仅是在性质上类似于环磁极矩,这一点在文献[19] 中作了详细说明]。
 
图 2 列出的所有构成量,均具有针对的 SOS (即它们与具备对称操作相似性,在图 2 中用“≈”表示)。根据 SOS 原理,它们均能展现出非互易效应。另外,在图 2 中,我们只考虑了的一维特性,因而可以忽略沿一维方向的平移对称性。同时,也可忽略图 2(e) 所示构成量的R 对称性。
 
这里,建议读者将本文所有图中构成量的对称破缺性质“演练”一遍。事实上,唯一张纸、一支笔、一双手和一个富有空间想象力的大脑足矣。译者在一些不易想通的地方作了提示,希望有所帮助。在分析对称性时,可以简单地参考手性变换、极矢量与赝矢量的对称变换特性。虽则简朴,其效无量!
 
例如,在结构手性材料中,当沿手性轴施加磁场时,沿手性轴方向传播的自旋波或光波将展现出非互易效应,即所谓的磁 - 手性效应,对应于图 2(b)。实验上,在立方手性结构 Cu2OSeO中已经观察到非互易的磁 - 手性自旋波效应 [16]。另外,理论计算预测,在单轴手性Ba3NbFe3Si2O14 也存在类似的磁 - 手性效应,并且得到实验观测证实 [17, 18]。当手性轴与磁场垂直时,非互易效应依然存在,此即横向磁 - 手性效应,对应于图 2(c) [译者注:结构手性具备{IMM} 对称性破缺,如右手手征在 {I, M} 操作下将变为左手手征。赝矢量 (或 ) 具备 {RTM} 对称性破缺,故结构手性和磁性共同作用将具备{RIMT} 对称性破缺]。
 
另一个非互易自旋波的例子是磁场沿螺旋轴方向的螺旋自旋构型 (或锥形自旋构型),对应于图2(d)。这一现象在铒金属中被观察到 [7] [译者注:自旋螺旋构型和结构手性具备 SOS,即二者均破坏了{IMM} 对称性。这里,为了更方便理解螺旋自旋序的对称性,在讨论其对称操作时,读者只需要关注自旋序旋转方向的对称性,无需考虑每一个自旋]。
 
图2 (h) 描述了一种环极矩的情形。在极性磁体 FeZnMo3O8中观测到的非互易 THz 光学效应,即属于这一情形。其中,沿 轴,(或) 处于 ab 面,传播光沿着垂直于 和 (或) 的第三个方向 [19, 20]。另外,图 2(a) 描绘了一种具备 和 (或在电场 和磁场 中) 的铁性 - 旋转。文献 [15] 详细地讨论了其中的结构手性和铁转特征,在此不再赘述。
 
图3. 准平衡过程中电子输运的非互易效应。其中,左右两种相互对立的实验情况可以通过{RIM} 对称操作关联。
 
注意到,上面所讨论的对称性考虑,或多或少地也适用于一些准平衡过程,如电子输运实验。其中,表示电子云的漂移速度,与电流矢量直接相关。不过,我们需要施加一外电场才能得到相应的 或 J。由于 {RIM} 对称操作能够将图 3 所示的左右两种实验情况联系起来,因此,那些具有 {RIM} 破缺对称性的电极化 (或电场) 构成量,以及图 3 所示的具有 {RIM} + {T} 破缺对称性的非互易情形,将都能展现出非互易电子输运特性。
 
以上描述也可以作如下概括:
 

在准平衡过程中,如果相互关联的两种运动行为 (实验状态) 可以通过某一对称操作集合而联系起来,则当某一构成量在该对称操作集合下发生破缺时,这两种实验状态下所观测到的该构成量将是非互易的。

 
这是与非互易性有关的SOS 原理之另一种表述方式。事实上,通常 p-结和铁电 BiFeO中所展示的二极管效应,正是这里所提到的非互易电子输运特性 [10, 11]。手性碳纳米管中的磁电阻也可以是非互易的,对应于上文图 2(b) 中所提到的磁 - 手性效应 [21]。在 BiTeBr 材料中,当在 ab 面内施加一磁场H并且极化 沿 轴方向时,沿第三方向 (垂直于 和 ) 的电导率将是非互易的,即同样会表现出如图 2(h) 所示的非互易环极矩效应 [12]。
 

03

多铁与线性磁电材料



3.1. 针对极化与磁化的SOS
 
多铁性,尤其是磁致多铁性,也可以用针对极化 的 SOS 来理解 [22]。在这里,“R, RIM和 T”将是关于方向而定义的对称操作,不再是前文中针对的对称操作。类似地,{RIM} 便称为的所有对称性破缺操作的集合。我们把所有 (准) 一维下具备 {RIM} 破缺的构成量示于图 4(a) - (d) 中。它们都具有针对的 SOS。同样地,沿一维方向的平移对称性和如图 4(a) 所示的 R 对称性也可忽略。
 
需要强调一点:众所周知,极化 在 操作下并不存在对称性破缺,故针对极化 的 SOS 中并不要求 对称性破缺。
 
图4. (准) 一维构成量,它们均具有针对 或 的SOS。红色箭头表示 P,蓝色箭头表示自旋或 M。(a) 面内螺旋 (cycloidal,或称摆线) 自旋序。(b) 具有铁转结构的螺旋 (helical) 自旋序。(c) 两种不同自旋交替排列的上 - 上 - 下 - 下 (↑↑↓↓) 型自旋序。(d) 常规反铁磁有序,其中实心圆表示处于纸面之下的氧原子,空心圆表示处于纸面之上的氧原子。(e) & (f) 处于磁场 下的常规反铁磁有序,其中氧原子交替出现在链间,用虚线空心圆表示。(g) 结构手性晶格中外电场驱动下的电流。(h) 随时间旋转的极化。
 
接下来,我们举一些实例,以便更好理解:
 
(1) 在 TbMnO和 LiCu2O体系中,多铁性来源于 (面内) 螺旋自旋序 (cycloidal spin order),对应于图 4(a) [23, 24]。
(2) 在 RbFe(MoO4)和 CaMn7O12 体系中,多铁性来源于铁转 (ferro-rotational) 形式的螺旋自旋有序 (helical spin order),对应于图 4(b) [25, 26]。
(3) 在 Ca3CoMnO6、TbMn2O和正交 HoMnO中,多铁性来源于两个或两个以上不同磁性位置 (离子) 的交互作用,对应于图 4(c) [27 - 29]。
(4) 在Ba2CoGe2O7中,多铁性来源于所谓的 p-轨道杂化作用,对应于图 4(d) [30]。
 
接着,我们来看图 4(e) 和 (f) 所示的构成量:当外磁场 = 0时,在 {RIM} 破缺集合中,构成量仅分别对 {IM} 和 {RI} 操作发生对称性破缺。当 非零时,才会发生 {RIM}的对称性破缺,即具有针对 的 SOS,如 Cr2O3等材料中的线性磁电耦合效应。图 4(e) 所示的情形对应于低磁场下对角的线性磁电耦合,图 4(f) 所示的情形则对应于磁场 高于自旋翻转临界场下非对角的线性磁电耦合 [31]。如果在图 4(e) 和 (f) 中将磁场 反向 (比如通过 或 操作),相应地 将发生翻转。这与线性磁电耦合的基本物理性质相吻合。
 
最后,再来讨论磁化 M。{RMT} 是 的所有对称性破缺操作的集合。当图 4(e) & (f) 中施加的外场不再是磁场 而是电场 时,它们将发生 {RMT} 的对称性破缺,即具有针对 的 SOS,出现磁性。这反映了线性磁电耦合材料 (如 Cr2O3) 中电场诱导磁化和磁场诱导极化之间的相互关系。事实上,我们也注意到,当把替换为梯度应变矢量(即应变是非均匀的) 时,它同样具有针对的 SOS ——也就是说,所有的线性磁电材料均能在梯度应变的作用下出现净磁矩,即所谓的挠曲磁性(flexomagnetism)。另外,在后文的图 5(b) - (f) 中,倘若把替换为梯度应变矢量,亦将展现出挠曲磁性。
 

接下来,可以考虑一件非常有趣的事:如果在材料中通过某些非平凡的手段,使得相应的对称性发生破缺,那么根据SOS 原理,是否就能获得一些新奇的物理现象呢?

 
答案是肯定的。现以图 4(g) 所示的构成量为例。当在具有螺旋型的结构手性晶体中注入电流时,相当于人为地引入了电流矢量 J。根据对称操作原则,具备破缺的 {RT},而结构手性具备破缺的 {M},二者结合将使得该构成量发生 {RMT} 对称性破缺,即出现针对 的 SOS。这正是在非磁性材料中引入磁性的重要方法,并且已经在结构手性的碲晶体中观察到了线性诱导出的 [32, 33]。另外,在图 4(h) 中,当 Neel 型铁电畴壁在垂直于壁的方向上移动时,同样应当具有磁性 [34]。不过这种情况尚未通过实验证实,但参考文献 [35] 中关于动态多铁性的讨论即是关于这一问题。
 

3.2. 预测未知的磁电效应
 
对预测磁致铁电和线性磁电耦合新材料,上文提出的 SOS 原理,将会是非常有力的工具。例如,在图 5(a) 中,同时存在两种磁性离子 (AAB 型) 的离子有序和上 - 上 - 上 - 下 - 下 - 下(↑↑↑↓↓↓)型磁有序。它们具有针对的SOS,因此应当表现出磁致铁电性。再如,图 5(b) 中,前两种用于表示磁单极子 [译者注:此处的磁单极子并非是理论物理学中假设的基本粒子,而是存在于某些凝聚态物质系统中非孤立的磁单极准粒子,如自旋冰 (spin ice)],第三个用于表示环磁极矩,第四个用于表示磁四极子。它们在零磁场下并不具有针对 的 SOS [译者注:前两个不具备 {R} 破缺,后两个不具备 {M} 破缺],不过却会在磁场 下出现针对 的 SOS,故能表现出线性磁电耦合效应。图 5(c) - (f) 所示的 (翘曲) 蜂窝晶格自旋构型也非常类似,仅当施加了非零磁场 时,它们才会具有针对 的SOS,从而表现出线性磁电耦合效应。
 
需要指出的是,上述多数构成量尚未得以有具体实验证实。不过,若未来能够在实际材料中对这些源自对称性的预测加以验证,那必将是极具意义的 [36]。
 
图5. 具有针对 的 SOS 的构成量。红色箭头表示 P,蓝色箭头表示自旋或 M。(a)AAB 型离子有序结合上 - 上 - 上 - 下 - 下 - 下型自旋有序。(b) 与垂直的磁单极子,与 共面的磁单级子,与 共面的环磁极矩,与 共面的磁四极子。(c)- (e) 磁场 下蜂窝晶格中不同的面内反铁磁有序构型。(f)翘曲蜂窝晶格中的伊辛反铁磁有序 [译者注:翘曲指的是该蜂窝晶格的六个格点不在同一平面内],其中,磁场垂直纸面向外,实心圆表示处于纸面之下的自旋,空心圆表示处于纸面之上的自旋,“+,-”符号分别表示自旋垂直纸面向外或向内。需要指出的是,当 (f) 中磁场 的方向变为纸面内水平向右时,相应的构成量将具有针对“纸面内水平向右的”的 SOS。(g) 处于均匀应力下的螺旋型手性结构,其中绿色双箭头表示均匀应力场。(h) 处于剪切应力 (纸面内) 下的螺旋型手性结构,绿色箭头表示剪切应力。
 
我们举一个相关的例子来佐证:六角晶系的R(Mn, Fe)O(R为稀土离子)。
 
这一体系属于反常 (improper) 铁电体,它在 ab 面内存在自发的Mn/Fe三聚体(trimerization),铁电极化沿c轴方向。已经在六角 R(Mn, Fe)O体系中发现了多种面内 Mn 自旋的磁有序。其中,Mn 三聚体与所谓的 A1 型磁有序共同作用,能够诱导出净环磁极矩。而所谓的 A2 型磁有序可以为系统引入磁单极子 [37, 38]。线性磁电耦合效应以及与这些磁单极子、环磁极矩相关的非互易性,将会是未来研究的主题。


04

压电效应


 
一般来讲,压电效应存在于非中心对称的晶格结构中。然而,3 行 6 列的压电张量处理起来非常复杂,并且即使在非中心对称系统中,有些压电系数也有可能是零。我们知道,在 32 种晶体点群中,有 11 种是中心对称的,不具有压电性;同时,属于点群 432 的晶体虽无对称中心,但其对称性较高,也没有压电性,压电晶体只可能属于 20 个非中心对称的点群 [1, 2]。接下来,我们将利用 SOS 原理从对称性的角度来理解压电性的起源。
 
所谓压电,指的是晶体在受到应力作用时能够在某些表面上产生电荷,也就是诱导出 P。因此,在考虑压电的构成量时,有两个要素:一是应力场 (均匀应力或者剪切应力),二是能否具备针对 的 SOS。例如,在图 5(g) 的螺旋手性结构中,沿任意主方向上的均匀应力都无法使这个构成量具备针对 的 SOS,因此压电系数dij (i, j = 1, 2, 3) = 0。也就是说,均匀应力无法带来压电性。
 
然而,当这一螺旋手性结构中存在如图 5(h) 所示的剪切应力时,由于螺旋手性结构本身具备 {IM} 对称性破缺,而引入的应力场具备 {R} 对称性破缺,这一构成量将具备针对 的 SOS,即 d14、d25 和 d36 非零,因此具有压电性 [译者注:当手性材料施加了如图所示纸面内的剪切应力后,除了垂直于纸面方向的二次旋转轴外,其它方向的旋转对称性全部消失。根据二次轴的对称性要求,材料中的电偶极矩只可能沿着该二次轴方向,故 只能垂直于纸面,即 d14 非零,d24 = d34 = 0。同理,d25 和 d36 非零,d15 = d35 = d16 = d26 =0 ]。事实上,图 5(g) & (h) 所描绘的情景,正对应着点群 2122 和 222 中的压电性。


(未完待续,请见SOS——操弄对称的相似原理 (下))


参考文献




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备注:

(1) 题头小诗有故弄玄虚之嫌,以示对称性在物理中的崇高地位。由此,所有与对称性相关的动作均具有不俗的意义和价值。

(2) 封面图片来自http://kidminds.org/wp-content/uploads/2016/08/Symmetry-in-Nature-PHOTO.png。

(3) 本文翻译得到作者授权并经Nature出版集团同意。


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