光谱定量分析的基石 —— Lambert - Beer 定律

前言：

光谱技术，特别是分子光谱学，被广泛用于化学定量分析和化学反应动力学研究中。定量分析与动力学研究中一个极其重要物理量是浓度；光谱技术得到是光强的变化。Lambert - Beer定律是将光谱信号（强度）转化为分子浓度的翻译官。在科研中，我们常常在不知不觉中就运用了该定律。提及Lambert - Beer定律，浮现在脑海的是那个著名等式、是UV-Vis等表征手段。本期内容我们将从物理与化学两个角度来分析Lambert - Beer定律，让我们能够更好理解该定律以及一些参数的含义，从而可以在科研中正确使用它（不用担心，我们不会单纯的堆砌推导公式，而是从光的吸收历程来理解。）。

图 1

图1中，一束强度为 I₀的平行单色光照射到某溶液。在该单色平行光穿过溶液的过程中，其有可能被吸收、反射、衍射和散射，导致光强减弱为I_T 。如果不考虑反射、衍射和散射（Lambert - Beer定量的条件之一），光强的损失将全部归因于溶液对光的吸收。对于吸收过程的理解可以有两种方式，分别是物理法和化学法。我们将分别从两种方法来分析吸收过程。在介绍两种方法之前，必须介绍两个定义：透过率和吸光度，公式如下：

从上式可见，吸光度（Absorbance）并不是样品对入射光吸收的百分比，而是一个对数关系（很多人理解错）。

1. 物理分析（如图2）：

图 2

图 2 非常重要，请仔细分析

假设光程为b（cm），容器截面积为S（cm²）, 溶液中溶质分子的浓度为N 个/ cm³，每个分子的有效吸光截面为σ 。那么在图2中一个极小的光程（dz）上溶质数为: NSdz。同时，每个分子所占面积比为：σ/S。所以截面内所有溶质分子所占面积比为：（NSdz）（σ/S）。不难想象光通过极小光程dz，光强的损失比应该等于截面内所有溶质分子的所占面积比。若假设光程z处的入射光强为Iz，吸收光强为dI，则有下式成立：

dI / I_z =  – σ × N × dz

注意：式中负号表示吸光过程，光强在逐渐减小。

在上式中，针对整个光程b积分可得：

– ln ( I_T / I₀) = σ × N × b

其中I_T为透过光强。将浓度N转换为物质的量浓度 ( c )，同时进行对数底变换：

log (I₀ / I_T) = [ ( σ × 6.023 × 10²⁰)/2.303 ] × c × b

此时，对比你所熟知的那个Beer公式，不难发现摩尔消光系数 ε = ( σ × 6.023 × 10²⁰)/2.303。

提示：在Lambert - beer定律的物理分析中，主要看图，理清光的历程。然后再看这些公式和推导就方便很多。

该方法的特点是思路清晰，理解起来也比较方便，不需要多少专业的知识也能理解。但其中消光系数的物理意义不清晰。下面介绍Beer定律的化学分析方法：

2. 化学分析：

分子吸收光的过程可是视为一个基态分子吸收光子被激发到激发态的基元反应过程，方程式如下：

i  +  hν  =  i*

假设根据质量作用有下式成立：

其中，nhv为光子浓度、[ i ]为基态分子浓度。取一个极小的光程dz,设该光程内的体积为△V。所以dz处的光子浓度为nhv/(NA △V)。在激发波长固定的情况下，光强正比于光子数。所以有：

积分结果如下：

式中，t是入射光穿过样品所用的时间，等于入射光穿过样品的距离（b）除以光在溶液中的速率。而光在溶液中的速率等于光在真空中的速率（c）除以溶液的折射率（λ）。同时进行对数底的转化可得公式如下：

比如你所熟知的Lambert- Beer定律，发现摩尔消光系数ε等于:

从该式我们得知摩尔消光系数不只是和吸收过程的本身性质有关，还与分子所在介质对光的折射率有关。化学法的优点是参数的物理意义明确，思路清晰。但推导过程理解起来不是很容易，特别是对于非化学专业的学生。（化学法主要参考彭笑刚教授的《物理化学》，p634）

3. Lambert - Beer定律的适用范围：

理解了光的吸收过程，就能轻松理解定律的适用范围：

1. 适用于稀溶液（< 0.01 M）。因为分子浓度过大，分子间的相互作用增强，其对光的吸收能力也会变化。

2. 两种推导中，前提都是平行单色光。如果不是单色光，激发波长不同，光强的变化和光子数的关系就不是成正比了。所以反应仪器能否发出平行单色光很重要。

3. 如果你测量的是粒子，比如各种纳米晶。浓度太大、或者有聚集，还必须考虑散射的作用。因为测试中，都是通过测试入射光强和透射光强之差来计算吸收光强。如果有散射的参与，计算会有偏差。

4. 如果样品发出强荧光或者磷光，必然对结果造成一定的影响。

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