理发师悖论是什么？

“我说的是假话”看似平淡无奇，但是在数学上却称得上是一个悖论。因为如果这句话是真的，按照字面意思它就是一句假话；如果这句话是假的，那么就会得到和字面意思相反的结论：这是一句真话。悖论就是一个论述却可以得到两个互相矛盾的结论。

英国数学家罗素提出了与之相似的著名悖论：理发师悖论。这也是第三次数学危机的导火索。具体怎么回事？点开视频看看吧！

以下为我的科普书《十分钟智商运动》中相关内容的文章。

1理发师悖论

从前有一个村子，村子里只有一名理发师。这个理发师有点怪，他的理发店门口立了一个牌子，上面写着：我给且只给自己不刮胡子的人刮胡子。

也就是说，村子里的人分为两类，第一类人会给自己刮胡子，第二类人从不给自己刮胡子。而这名理发师不给第一类人刮胡子，只给第二类人刮胡子。

有一天一名顾客来到店里看到了这块牌子，他就问理发师：“你给自己刮胡子吗？”

理发师突然发现自己非常尴尬。因为他如果回答给自己刮胡子，他就是第一类人，按照他的规矩就不应该给自己刮胡子；如果他不给自己刮胡子，他就是第二类人，按照规矩他又应该给自己刮胡子。

这个悖论是罗素提出的，叫做罗素悖论，或者叫理发师悖论。

2罗素悖论与集合的关系

当然，这只是罗素悖论的通俗说法。罗素悖论是关于数学中集合论的一个矛盾而提出的。

什么是集合呢？所谓集合，是由某些确定的元素构成的整体。例如：

A={1,2,3}是一个集合，里面有三个元素，分别是1、2、3；

B={x|x是偶数}是一个集合，包含所有的偶数，有无限多个元素；

C={x|x是拖拉机}是一个集合，任何一台拖拉机都是这个集合的元素。

...

但是集合的元素必须是确定的。所以有些概念不能构成集合，例如”美女的集合”就是一种错误的说法，因为一个人美不美会因为其他人的感受而异，不具有确定性。

元素与集合的关系有“属于∈”和“不属于∉”两种，比如“1”这个元素，它是集合A的元素，但是不是集合B的元素，写作1∈A,1∉B

明白了这些，我们就可以讨论罗素悖论的数学表达了。罗素说：设集合S是所有不属于自身的集合构成的集合，即S={x|x∉S}。那么，S是否属于自身呢？

若S属于自身，那么S就不满足集合规定的元素性质，它不应该属于自身S；

若S不属于自身，那么S就满足集合所规定的元素性质，它应该属于自身S。

这样一来，这个集合就得到了自相矛盾的结果，与理发师悖论如出一辙。

3第三次数学危机

罗素是一个哲学家、逻辑学家、教育学家和文学家，并且获得了诺贝尔文学奖。罗素为什么要提出这个数学悖论呢？

二十世纪初，数学界笼罩在一片喜悦祥和的气氛之中。法国大数学家彭加莱在1900年的国际数学家大会上公开宣称：数学的严格性，现在看来可以说是实现了。他说这句话是有依据的，那就是德国数学家康托尔所创立的集合论。

2000多年以来，人类一直没有弄清楚无穷的概念。比如全体正整数1、2、3、4…和全体正偶数2、4、6、8…，都是无穷多个，那么它们谁更多呢？

也许有人会说：那一定是正整数多啊！多了3、5、7…这些奇数！但是实际上两个无穷大这样比较是不行的。

康托尔利用集合论向人类指出：如果两个集合中的元素可以建立一一对应的关系，那么这两个集合的元素个数就是一样多的。比如正整数集合就可以和正偶数集合建立一一对应关系：每个整数的两倍刚好对应一个偶数，即x∈{整数}，y∈{偶数}，y=2x，所以正整数集合和正偶数集合元素个数是一样多的。

集合论为数学奠定了坚实的基础，许多概念不清的问题利用集合论得到了完美的解释。数学家希尔伯特度赞誉康托尔的集合论是“数学天才最优秀的作品”，是“人类纯粹智力活动的最高成就之一”。

但是，从集合论诞生的那一天起，针对集合论的诘难和各种悖论的出现就没有停止过。尤其以1902年罗素悖论最为有名。数学家们只享受了集合论带来的短暂的祥和，就又陷入了一种无法解决的危机之中，这就是第三次数学危机。因为集合论已经成为了现代数学的基础，渗透到数学的各个分支之中，因此集合论的这个悖论才会引发这么多的关注。

由于这几个悖论迟迟得不到解决，康托尔承受着巨大的精神压力，最终精神失常，死在了哈勒大学精神病院里。时至今日，第三次数学危机依然没有完美解决。数学家们只是通过人为添加一些限制条件以回避悖论的出现。

康托尔作为最伟大的数学家之一，会永远被人类铭记。

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李永乐

李永乐老师：北京大学物理与经济双学士，清华大学电子工程硕士；北京市中学物理教师/物理竞赛教练。从教十年，培养清华北大学生200余人，国际奥赛、亚洲奥赛、国家奥赛金牌十余名。

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