数学王子高斯和他的正17边形

Original 永乐老师李永乐老师 2020-11-08

在初中的数学课上，我们都学习过尺规作图，就是用直尺和圆规画出各种各样的几何图形。古希腊时期，数学家们认为直线和圆是最基本的图形，利用直线和圆应该能够组成各种各样的几何图形。可是，在2000多年的时间里，有些作图问题却一直困扰着数学家，直到十九世纪，这些问题才一一被人们攻克。今天我们就要讲其中一个精彩的例子：正17边形的尺规作图。

点开视频，了解一下

1尺规作图的基本操作

尺规作图有三种基本操作：

经过两点可以画一条直线。
以某点为圆心，某两点之间距离为半径，可以画一个圆。
可以取直线-直线，直线-圆，圆-圆的交点。

尺规作图

但是要注意：直尺上不能有刻度，也不能在直尺上画刻度，而且所有图形的操作次数必须是有限次。

在这样的规则下，我们可以很方便的做出一些基本图形。以下内容是尺规作图的典型例子，如果你还记得初中学过的内容，或者你对复杂的数学操作感到抵触，那也完全可以跳过，直接阅读第二部分就好。

我们可以做线段AB的垂直平分线：只要分别以A、B为圆心，以大于AB一半的长度为半径做两个等大的圆，两个圆相交于C和D，再把CD连接起来即可。

尺规作垂直平分线

我们可以平分任意角。只需要以角的顶点O为圆心，任意半径作圆，交边于A、B，再以AB为圆心作等大的圆相交于C，连接OC即可。

尺规作角分线

我们再来说个复杂一点的：可以通过尺规作图复制一个角，这需要利用三角形全等的知识：当一个三角形的三条边长度分别等于另一个三角形的三条边时，两个三角形全等，它们对应的角也相等。

具体步骤是：以原来的角顶点O为圆心、任意长度为半径做圆，交角的两边于A和B，任作一条射线，以射线的端点O’为圆心，OA为半径作圆交射线于A’，再以A’为圆心，AB为半径作圆交圆O’于B ’，连接O’ B’，就获得了等角。

尺规作等角

有了等角，我们可以利用“同位角相等，两直线平行”的知识做出平行线。具体来讲：要过直线外一点A做已知直线L的平行线，只要过A任意作一条直线AB交直线L于B，获得一个角α，再过A点作等角，就获得了平行线L’.

尺规作平行线

2尺规作图的代数应用

也许有同学很奇怪：能做这些有什么了不起？我们为什么要学习尺规作图呢？

其实，使用尺规作图，可以方便的计算加法、减法、乘法、除法，甚至可以计算开平方根，这样，几何就与代数联系到一起了。

首先，利用尺规作图可以计算任意两个数的和与差。这里的两个数需要用几何方式表现为两条线段的长度，只要把两条线段画在一起就可以了。

尺规作加法

有了和与差，我们从一个单位线段1开始，就能做出所有的整数。

同时，尺规作图还可以计算乘法。例如我们想计算两个数字a和b相乘，只需要按照下面的方法：在一个角的两边上分别作线段OA=a，OB=1，BC=b，连接AB。过C作AB的平行线交OA延长线于D，根据平行线分线段成比例定理，AD：OA=BC：OB，所以AD=ab.

尺规作乘法

如果要计算除法，只需要求出一个数的倒数，再利用乘法计算即可。取倒数的方法与乘法类似，只是各段长度略有不同，如下图所示。

尺规作图取倒数

有了加减乘除，我们就可以从单位长度1开始，获得所有长度为有理数的线段，因为所有的有理数都能写作两个整数的比。

尺规作图最神奇的地方在于：它能够计算一个数开平方。方法是：在直线上连续取AB=1，BC=a，以AC为直径作圆。同时过B点作AC的垂线与圆相交于D，则BD的长度就是√a. 这个证明需要使用相似形，对初中的小朋友难度不大，留给大家自己练习。

尺规作图开平方根

利用尺规作图，可以计算有理数的平方根，以及有理数平方根的平方根…。所以，尺规作图不光是一个几何问题，它也同代数有着千丝万缕的联系。

3正十七边形的尺规作图

关于正17边形的做法，有一个流传甚广的故事。1796年的一天，哥廷根大学有一名19岁的大二学生，他在放学后拿到了老师留的三道习题。前两道题很快就做完了，第三题却让他百思不得其解，这个题目是：如何用尺规方法做出正17边形。

不过，越是困难的问题，越能激发这个年轻学生的斗志。他反复演算、思考，在一次次的失败之后，终于看到了胜利的曙光。在第二天的第一缕晨光出现时，他终于完成了这道习题。

在上课时，他把自己的解答交给了老师，并向老师惭愧的说：我数学的功底不够扎实，昨天的第三个习题我花了一个晚上才做完。

老师不相信，他说自己昨天错把自己的研究课题当作作业留下去了。正17边形的尺规作图是流传2000年的数学难题，柏拉图、阿基米德、欧几里得、牛顿都没有做出来，他不相信一个大二的学生能花一个晚上的时间解决这个问题。

可是当他看到了学生交上来的证明时，不得不接受了这令人震惊的事实：这个年轻人是一个真正的数学天才，他就是后来被誉为数学王子的高斯。

高斯

关于高斯的传说还有很多，例如高斯9岁的时候，就曾经得到过1+2+3+…+100的快速算法。这些细节到底是真是假，其实已不重要。千真万确的是，高斯的确在自己19岁的时候就发表了论文：《正十七边形尺规作图之理论与方法》，成为第一个解决这一千古难题的人。

高斯的思路是：首先作一个半径为1的圆，作它的内接正17边形。设A是正十七边形的一个顶点，只要找到相邻的顶点B，就可以利用AB之间的距离做出正17边形。只要找到了B点在OA上的投影点C，就可以通过做垂线的方法找到B，问题解决。

找到B的投影点C

要找到C点，就要确定OC的长度。由于这个圆心角大小很容易得到：

根据三角函数关系有

于是，问题就转化为: 如何计算这个三角函数了。

高斯采用了十分巧妙的方法，求出了这个三角函数值。至于具体方法是什么？由于篇幅问题，就不在这里详述，在我相关的视频版本里有介绍。

尽管这个表达式非常的复杂，但是我们会发现它都是由有理数加减乘除以及开平方根组成的。由于这些计算都是尺规作图可以完成的，所以正17边形可作。

17边形的尺规作图

其实，最初高斯并没有真的给出作图方法，也许在高斯看来，相比于证明可行性，提出一种简单有效的作图方法无关紧要，这不过是一种重复性的劳动而已。高斯的工作相比于后来做出正17边形的数学家，就像一个伟大的建筑设计师和一个优秀的建筑工人一样。

虽然高斯一生有许许多多伟大的成就，但是他一直对正17边形情有独钟，甚至希望自己的墓碑上能够雕刻正17边形的图案。

1801年，24岁的高斯出版了著作《算数研究》，这部书在数学史上的地位宛如牛顿的《原理》那样崇高。在这本书的最后一章，高斯隆重推出了正17边形问题，并给出了正n边形可尺规作图的条件：

如果一个正n边形的边数进行质因数分解，因子只有2以及互不相同的费马素数，那么这个正n边形是可尺规作图的。

我们首先回顾一下什么是费马素数。在《十分钟智商运动》这本书里，我们谈到过民科之王费马的一个猜想：形如

的数字，在i取0，1，2…等非负整数时，都是素数。而实际上，只有在i=0,1,2,3,4这五种情况时，p才是素数，如：

i	0	1	2	3	4
p	3	5	17	257	65537

可是，从i=5开始，费马数连续都是合数。人们猜测，也许费马素数就只有5个。

回到高斯的结论，如果正n边形的边数n满足

其中k是非负整数，pi是不同的费马素数，那么这个正n边形就是可作的。后人完善了高斯的结论，指出这一条件是充要的，即不满足这个条件的正n边形一定不可作。

这样，我们就可以判断一个正n边形是不是尺规可作的了。方法是：把边数n进行质因数分解，如果因子不是2就是费马素数，而且费马素数彼此不同，那么这个n边形就一定是可作的。如果除了2和费马素数有其他质因数，或者有相同的费马素数因子，那就是不可作的。例如：

边数	3	4	5	6	7	8	9
质因数	3	2	5	2，3	7	2	3
作图	可作	可作	可作	可作	不可	可作	不可

正三角形是可作的，因为n=3是费马素数。
正四边形是可作的，因为n=4=2^2，因子只有2。
正六边形是可作的，因为n=6=2×3, 一个因子是2，一个因子是费马素数。
正七边形是不可作的，因为n=7，既不是2，也不是费马素数。
正九边形是不可作的，因为n=9=3^2,因子是相同的费马素数。

…

高斯做出了正17边形后，1832年，数学家们做出了正257边形。1894年，数学家们完成了正65537边形的尺规作图。整个草稿有200多页，装满了一个手提箱。

在历史上有许许多多的数学家，比如古希腊的毕达哥拉斯、欧几里得、柏拉图，近代的莱布尼茨、柯西、勒让德、希尔伯特…这些数学家犹如黑夜中的繁星，点亮了人类前进的道路。但是如果把他们比作繁星，高斯就应该比皓月——他是前无古人后无来者的数学家，他的贡献不仅仅在数学方法，在物理学、天文学、测地学都有他独特的建树，纵观历史，也只有牛顿和阿基米德能与之媲美。

数学家战力排名

其实，历史上还有一个人和高斯很像，在十几岁的时候就解决了历史上几千年无法解决的难题。可惜的是，他在21岁的时候就死于一场决斗。这个人就是伽罗瓦——他也许是最悲情的数学家了，这将是我们下一回讨论的问题。

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