二维空间的封闭是圆，三维空间的封闭是球，四维空间的封闭是什么？

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这是一个很严肃正经的数学问题。

我这里给出严格数学意义上的归纳。你看完之后，会发现其实四维空间没有你想象中的复杂，要理解四维的球形并不是不可能。

你看不到不代表它不存在，更不代表我们想象不到；18世纪被提出时就被认为无稽之谈的四维几何在爱因斯坦提出相对论之后，越来越有实际应用价值。

在这里并没有引入除公设公理之外任何的假设，整个数学大厦的构建依靠的基础就是如此简单，高维空间也不例外。如果你能够在一张二维纸上具象三维物体，我就能引导你在一本三维“书”上具象四维。

某维空间的球(Hypersphere)可以看成该维度空间内所有到某一固定点小于等于相同距离的点的集合。

空间内的封闭可以是不规则图形，如果用最简单的圆形封闭，本句可作为该问题的答案，但要如何理解呢？四维空间里，就算是最简单的图形，解释起来也要花点功夫。

开始前，首先要明确四维空间的定义。

少数人认为“第四维就是时间”，是的，这是四维时空的第四维，但不是四维空间的第四维。

Part 1：关于四维球

为方便记述，记该点为原点，建立欧氏几何直角坐标系（其实建立球坐标系描述要简单得多，但为更多人所理解，此处用大家熟悉的欧几里得空间建系）。相同距离设为1。在n维空间就有n个任意两个互相垂直的坐标轴。

所以在一维空间，球的边缘只有两个点，-1和1。

没错，一维球在我们三维空间来看就是一个线段，虽然可能感觉很奇怪，但从定义上（x²<=1的实解）讨论，就是这样， 一维世界的图形除了点还有什么呢？

在二维空间，我们可依勾股定理公式得出所有到原点相同距离的点的集合，x²+y²=1²，得到的是无数个实数解，这些点形成二维空间的封闭图形，图形内的点在二维空间内无法不通过此图形而越到外面。

在三维空间，相同道理，x²+y²+z²<=1，也得到无数个实数解，这些解的集合是一个三维球，是很易理解，每个点都是上述方程的解。看起来这三段话都是废话，但是这些都是作为理解四维球的铺垫，为了方便理解概括这些规律与对应关系。

那么请看下图，点P在三维坐标系的位置，屏幕里图形的8条棱实际在一个平面的六边形上。但这时候你的想象力已经把这个图形勾勒成一个立方体了，相信所有生活在三维空间的我们都可以做到这一点。现在请把你的手指垂直立在下图原点，你的手指与屏幕垂直，也与该三维膜垂直。

在四维空间，为了找出在四维空间内所有到原点相同距离的集合，我们要建立一个方程来确定这些点的集合，这个方程为x²+y²+z²+w²=1。推理方式和三维球体相同，可以轻易理解此方程的可以直接跳过下面的推理。

因为三维空间在第四维（你手指的方向）没有厚度，我们把它看成在屏幕上，所以我们也把它叫做三维膜。

假设新维度的坐标轴为w轴，一般习惯叫它w轴（别问我，我也不知道为什么，只知道笛卡尔在建立坐标系的时候，如果坐标轴的顺序如果是z y x w v …的话，我们研究四维的强迫症就不会犯了）。假设将上图点P向w轴方向平移w，记为P'，则其位置为（x,y,z,w）。P'离xyz空间的距离为w，现在我们得到一个三角形，直角边之一为PP'，另一个直角边为OP，斜边为半径OP'。此时斜边长即为P到原点的距离，也是四维球的半径。

已知半径为1，则通过勾股定理可以得到d²+w²=1²。

我们又知道d²=x²+y²+z²，所以x²+y²+z²+w²=1

注意w轴在这里并不特殊，因为任意两个坐标轴都是相互垂直的。我们也可以把x轴或者y，z轴单独提取出来，得到相同的结论，因为不管从哪个轴的方向看，欧几里得四维空间的坐标轴结构都是相同的，所以此公式也是如此，xyzw可以随意替换。

通过这个方程我们得到一个庞大的集合，也就是一个四维球体(4-sphere)，更高维球体也是如此推理得到。

可能有些同学会问，就算你这么说，我还是想象不出来高维球到底是什么样子啊。

1.2 关于如何在脑中想象四维空间

又是一个新的问题了。各位请打开你们的脑洞，最好换张显卡，我们没有关于四维空间的任何实际经验，这很可能是我们一生中最难想象的东西。建议你在想象四维球之前先想象超立方体，这很重要，因为就算你能想象超立方体，想象四维球也是困难的。

相信大家感觉最困难的是如何想象出一条坐标轴与现有三维空间的三个维度相垂直，这也是第一步。因为在我们想象的时候，总是有意无意地把这条第四维坐标轴放进了我们的三维空间里面，我在刚学的时候也是这样，这是个很容易或者必定会走入的误区，然后建出个斜角坐标系。

我先列举几条关于这条坐标轴的几何属性，避免大家把这条直线禁锢在自己熟悉的三维空间内。

1: w坐标轴与原有xyz空间仅有一个交点

2: w坐标轴垂直于xyz空间（一条线垂直于一个空间是指，这条线垂直于这个空间里的每条线，每个面）

3: w坐标轴可与xy平面构成一个三维空间，一个垂直于z轴的空间。

4: 经过任意一点，必定可找到4条相互垂直的直线，这四条直线必定可经过xyzw轴旋转平移得到。

5: wxyz 可以任意互换，所有描述依然成立

当w=1，函数解为x=y=z=0，就是说这个四维球体在w=1的三维膜上只有一个点(0,0,0,1)

当w稍小于1时，xyz的函数解开始形成一个三维球。

…

当w=1/√2，函数解为x²+y²+z²=1/2，即一个半径为1/√2的三维球体，在十六个象限中的第一象限的其中一个点可以表示为（1/√8，1√8，1/2，1/√2）
…

当w=0，函数解为一个半径为1的三维球体

…

w为负时偶函数对称。

在四维空间，三维空间也叫三维膜。

这个膜的意思指无厚度，而不是指三维空间里的一个平面切片。三维空间是四维空间的一个切片。一个三维物体只有长宽高，不管你在四维空间中如何摆放，总有一个方向，它是没有厚度的。

如果你把眼前的屏幕想象成一个三维膜（实际上是二维膜，所以需要靠你想象），那么以下两种方法可以帮助你想象w轴，但前提是你想象力必须大到可以同时在脑中印象大量的立方体。如果要想象四维球，必须同时印象大量的三维球；就好像你想象三维球的时候，你脑中印象大量的圆形。

一：四维空间很难想象，但是我们已经生活在了一个四维时空，我们想象三维空间+一维时间是没有问题的。我们也可以先把时间当成w方向处理。把每个三维图像在w轴方向发生的变化从脑中过一遍。然后再把时间当成x方向处理，想象图像在x轴的变化，描绘出每个yzw三维膜内的图像。

yzw三维膜是指，二维空间平面和一维时间组成的三维时空，因为也是三个维度，完全可以放在我们熟悉的三维空间内想象。举个例子比较好理解。比如一个苹果 ，xyz空间下是我们最熟悉的一个近似球体，而它在yzw空间里，是一片苹果切片跟随时间发展的变化，由长大成熟到腐烂，形状近似圆柱。如果这个苹果被吃了，那么每一口都相当于销去圆锥的一大块，形状看起来比较像迪拜塔。

如果对yzw三维膜想象有困难，可以具体观察下面这三个时空图：

时间取帧叠在三维空间的跑步：

三维空间加时间形成的四维球：

螺旋看起来是三维的，那是因为太阳系接近平面，可以看成是二维空间加时间形成的三维

二：想象你有透明的200张纸，每张纸厚度是0.01，如果在每张纸上面画每张纸代表不同的w值，从-1，-0.99，-0.98一直到1为止，按w对应的值画出不断变化大小的200个球在这些纸上。这时便在一本三维书上画出了一个四维球。熟练之后请你把所有时间发生的200个三维图像同时在脑中印象，你就能体会到四个互垂直的方向。

还记得之前说的经过任意一点必定有四条相互垂直的直线吗，没错，根据这本三维书的四条坐标轴。经过任意一点，你都能找到这四条直线的位置。你发现你打开一个新的世界，一个由无限个本身就是无限的三维空间构成的四维空间。

你要不断的琢磨并想明白每条线的垂直关系。当你脑中有一个三维球时，里面已经包含了无限的圆，而一个圆里有无限条线和无限无限的点，你的想象力早已超越无限，要做的，只是突破下一个无限。

而映在你脑海中的，是一个四维球。你在脑海中，拥有了四维的视野。

如果没有理解，没有关系，这不是一时半会儿能搞定的。想一个住在平面国的人，永远也接触不到第三维空间，你会怎么和他解释？请用相同的办法向自己解释。

我下面简要的画一个四维球，把这个球在所有坐标轴形成的平面上重叠的部分（也就是圆，四条轴交错形成6个面）也画出来。

为什么要这么做呢？

因为当我们简要的画一个三维球时，通常把这个球在坐标轴形成的平面上重叠的部分（也就是圆，三条轴交错形成3个面，用这个方法表示球很形象，因为在平行于这个圆的所有圆里面，这个圆是最大的）也画出来：

请把你的手指竖立在上面图的圆心上，这时你的手指与纸面上的三维空间相互垂直。

我们已经可以很好想象在在纸面上的三维球，这时垂直于这个纸面的新坐标轴就可以看成是第四维度。每张纸都是一个三维空间，每张纸里的三维空间都相互平行，w轴垂直与纸，你脑海中应该深刻印象出3个圆：xw面上的圆，yw面上的圆，zw面上的圆。加上xyz的三个圆，于是我们便很容易地得到了我们想简要画的六个圆以及他们在球面上的平行圆。他的表面大概像这样：

此图只画出了你5张纸上的球，因为画太多画面就看不清了。四维球拥有6个互相垂直的二维球（圆）和4个互相垂直的三维球。

一个四维球体是由连续的规律变化半径的无限个三维球的集合，当然，他们各自在相互平行的三维空间，也被称为：平行空间。

三维球的表面有经线与纬线，四维球也类似：一个四维球的表面可以看成是无数个纬“球”和经“球”构成，每个纬“球”互相平行，半径在南北极方向按公式±√(r²-x²)不断变化：在南极是一个点，在赤道到达最大半径，再缩小至北极。

这张图是四维球的表面，在四维空间没有内外之分。如果你在分清四个方向前以三维视角看此投影，很可能出现误区，觉得存在内外：

• 经“球”不止存在图中投影的表面，而是充满整个四维球表面（图画就是一个四维球表面投影）图中每个纬“球”的每个几何相似点的连线都是经线，每个纬“球”的每个几何相似圆的连线都是经“球”。看到图中密密麻麻的左右方向的线了吗，它们都是经线，构成了无数个球体，最外层的经“球”可以通过内层的经“球”旋转得到，它们是完全对称的。四维球的经线除东西方向外有另一个方向，这个方向区别于已知的东西方向，当然也区别于南北和内外方向。

• 图中的纬“球”看起来被一个经“球”包裹，其实不是的，图中赤道的纬“球”可以通过旋转变为任意一层的经“球”。

• 每个纬“球”上的任意一个圆都是纬线，通过南北极方向的每条每条纬线的经线与其连接都能形成一个三维球。

• 图中的每个三维球都是标准的正球体，不存在扁球，看上去是扁的只是因为投影。你看到的那些比较大个的三维球，只是因为你视角垂直它而已，而那些在你侧面方向的三维球，因为非正交投影，就变扁了。这些描述有违常识，因为在三维空间内，这种情况不会发生，因为你永远与你所观测的三维球同处一个三维空间，于是你必定与这个球的一个圆正交。但是你可以避免与独立的一个圆正交：你从侧面方向看一个圆便投影出一个椭圆。

当你把不断变化的w替换成不断变化的x，结果亦是相同。若仍觉的困难，想象一下一个三维球是怎么用不断变化半径的圆积分组成的。注意要想象成功，无论如何，请做到这点：勿试图在三维空间内想象第四维方向（废话）。

Part 2：为什么四维球可以封闭三维空间？

很高兴能不以降维比喻而用微分解释这件事情：我们继续动用刚才画出的四维球，在 (1,0,0,0)处做一个点，通过这个点，有一个垂直于x轴的空间。接下来我们在每个x²+y²+z²+w²=1 成立的位置（即四维球的表面）作无数点，与球心连线，我们可以经过该点作无数个与连线垂直的空间。因为点是连续的，所以在球表的空间也是连续的。

我们也可以用拓补解释：均匀内裹三维空间，使其与其空间外一点保持相等距离，每条测地线都围绕该点一周后闭合。我们不难发现，在四维球的表面，存在一个有限但是无边界的三维空间。有限是因为这个空间没有在四维空间上无限延伸；无边界是因为这个空间均匀的散布在四维球表面，你找不到这个空间的任何断层或裂缝。

如果你是这个表面空间的一个三维生物，你永远都无法逃脱这个封闭，你会发现一个三角形的内角和永远大于180；即空间存在曲率，因为这个空间的曲率导致其永远与球心保持相同距离；任何一条无限延伸的直线都能闭合；往空间的任意一个方向走都会回到原点。除非你能把你的腿沿着不属于你空间的位置弯曲，产生在半径方向的行动力。

那么有限无边界的空间该怎么理解呢？或者说身处这样一个空间是什么体验？如果这个空间很小，你可以很贴切的感受到。

你就是那个站在自己后面看自己的人；不管你看向那个方向都能看到自己的后脑勺；你可以追着自己的像前进，但是你永远也追不到，会看到你追的自己也在往前面跑；如果你的手够长可以往前伸够到自己的后背，或者够到前面第n个自己的后背。如果你是这个空间的一条贪吃蛇，你最后一定会撞上自己的身体。

注意你在各个方向上看到的无数的像不是自己的镜像，他不和你镜面对称，而是和自己一模一样的像。

找不到有这种图。为了让你们体会一下无边界，还是画一个给你们看吧~

2.2 克莱因瓶

三维封闭图形都必定存在内外之分，而在四维空间中，并不成立。任何封闭的拓补平面，不管是你的篮球还是饮料瓶还是你住着的房间，都有内侧和外侧。一只苍蝇不可能从外面飞到内部而不穿过其边界。

但在四维空间中存在例外：

克莱因瓶无法在平坦三维空间中存在。他的内部和外部通过在四维空间的折叠连到了一起，没有内外之分。而在三维空间内，瓶身不得不穿过自己的瓶壁，导致上图的水并不会漏出来。

而当你现在理解四维空间后，我可以很简单的向你解释你之前想不通的疑惑，它到底是怎么折叠的？

观察下图，假设这张图在zy平面，假设水面在xy平面开始流动（红），x轴垂直于屏幕，y轴平行于屏幕，水面之后可以绕着瓶子走回到自己原来的位置。水面首先沿着y方向前进，向右弯折，沿着x轴旋转180度回到-y方向（黄），然后“神奇”的穿过瓶壁，到达瓶子外部（绿），再沿着瓶壁走一圈重新回到瓶内（紫）。

很显然，最难理解的部分就是瓶口是如何不碰到自己而到达自己内部。而剩下的部分和三维空间内的表示完全一致。

我相信大家都能迅速理解下面这句话了：瓶口在将要碰到瓶壁时沿xy面垂直弯折，向w轴弯曲，最后沿着w方向前进，再按原来-z方向继续前进，在一个平行于我们的另一个三维空间越过瓶壁，再向着w轴折回，回到原来瓶子所在的三维空间，这时候，瓶口就已经越过了瓶壁把自己的内侧和外侧相连。

如果有困难，请在刚才教给你的三维书上面作画便可，这个图形画起来比四维球简单得多，仅需要几张纸足够。

要注意克莱因瓶并不是莫比乌斯带的升维版，虽然一个克莱因瓶可以用2个莫比乌斯带拼接而成。可能有很多人不解。稍微科普一下。

1.通过上面对方向的分析可以看出，当物体通过克莱因瓶回到原来地方时，并没有成为自己的镜像。

2.克莱因瓶不分内外，而莫比乌斯带是有内外的，被两条封闭的曲线封闭。

3.二维的克莱因瓶可以叫做克莱因带，至于长什么样，就和上面的图一样。

4.三维的莫比乌斯带可以叫做莫比乌斯甜甜圈，我敢打赌你没有听过（因为我也没有）。那他长什么样呢？

他长的就跟甜甜圈的表面一样。他是个分内外的曲面拓扑图形。

为什么被咬了一口呢，这就是普通甜甜圈与莫比乌斯甜甜圈的区别了，其实它仍然是个连通的圆环，但是部分被折叠进了四维。

在此处，甜甜圈被切断，沿着前进的一个方向的一个面[注6]在四维空间被旋转180°，然后再将两个断口连接。

当然，沿着面旋转在三维空间无法实现。

你从这个被重新连接的断口上去的时候。你的上下方向没变，你的左右方向没变，但是你的前后方向倒过来了，从此你变成了自己的镜像。你好像穿过了一枚镜子来到了里面的世界。

以上都是纯几何，那么四维空间有什么实际应用呢，宇宙学，广义相对论，弦理论，M理论都会用到，具体请看以下。

Part 3：宇宙存在空间上的第四维吗

我们最经常用到的是用来解释空间的曲率，我们知道空间的曲率来自于物体的质量。类似下面这样的图你一定看过很多遍了，这次我们用四维几何把他仔细研究一下。

首先是横纵交错的两分方向的线，这两个方向的线在我们空间内。接着是一串的同心圆，这些也是曲率的等高线。对于同一条等高线，空间的曲率是相等的。

我们可以用以上数学公式算出来空间任意一处曲率的大小。这时候我们发现物体在空间中的运动可以有很形象的解释。

1.任何物体总是会沿着曲率更大的方向产生加速度。如果空间平直没有曲率，就会沿着直线前进或静止。

2.相同状态下的物体运动速度越慢，轨迹往大曲率方向偏移越明显。运动速度越快，轨迹越直。

3.物体的运动速度有限，非平直空间轨迹永远不可能变成直线。当物体的速度为光速时，将其运动轨迹称为测地线。

4.时空作为整体；在曲率的作用下，时间的度量也被拉伸。

看起来我们可以用其解释时空在质量各种分布下的运动了，和四维没啥关系。但是，如果在三维空间内看待这个问题。只能解释某个平面内物体的运动。而我们空间的质量分布是三维的，物体运动的方向也是三维的。这时候我们再回来看这个问题，我们应该把弯曲放在哪个方向呢？

相信说了那么多，答案已经不言而喻。这个方向区别于我们空间的三个方向，也区别于时间的方向。

3.2 我们现在所生活的宇宙，是不是就是一个四维的封闭？

我们目前还不知道，这要取决于宇宙的四维形状。广义相对论认为我们的时空都被质量弯曲，是一个有曲率的时空，相对于牛顿的平直时空，如果要将空间的曲率在直角坐标系中画出，必须需要多一个方向的坐标轴。我们把这个弯曲的三维空间称为三维曲面；我们把这个三维曲面在四维空间的形状称为宇宙的形状。

我们目前不知道宇宙在四维空间是否无限延伸。宇宙的形状是大体上空间的曲率决定的，曲率小但是范围广，不同于质量星体所造成的小范围大曲率。

测量空间曲率就是测量测底线的弯曲程度。找个一个由测底线连成的三角形，然后测量它们的内角和。

如果内角和大于180度，那宇宙是个三维球面；如果内角和等于180度，那宇宙是个三维平面；如果内角和小于180度，那宇宙是个三维双曲面；只有第一种情况，宇宙可以有限无界。

另一条垂直于此屏幕的空间轴没有被画出来

根据我们目前的测量结果，看起来仍是平直的，但是物理学家仍未下结论。因为这个参照的三角形的大小要与四维球体具有可比性才能发现空间的不平坦。很可能原因是我们所取的三角形不够大。当半径相对无限大时，球体的表面可以看成平直空间。

3.3 如何在四维空间理解虫洞？

如果你能接受以上的理论，而且对曲率和曲率的极限奇点也有充分认识。我可以在四维空间帮助你理解虫洞。希望你在理解四维之后，更了解虫洞。

虫洞是因为质量，能量和暗物质带来的或宇宙自身的曲率弯曲形成的时空与自身连接的拓补结构。虫洞并不是你在别的地方看到的示意图那样，虫洞的三维示意图不能直接按照他所展示的理解。

有很多类似这样的图片，来展示虫洞，这些图片的错误之处在于把飞行器放到了虫洞的中间。真实情况是，虫洞的“墙壁”就是我们生活的空间，图片没有画出其中一根我们的空间坐标轴，用之前加维的方法想象出少掉的坐标轴。画中虫洞的墙壁就是我们所在的三维空间。飞行器应该在这个墙壁中运动。

大家很可能有个误区，虽能明确知道虫洞是一个洞，但洞的结构在四维，你在下落过程中，你周围仍是无限延伸的空间，不可能看到任何三维形状的的洞。如果虫洞稳定，我们也可以在洞壁上停留，除了额外的曲率我们看不出和原来空间的区别。

因为不是这个洞属于我们的三维空间，而是我们三维空间的弯曲产生了这个洞。刚才探讨过宇宙的形状，可以发现，一个Ω0=1的宇宙，虫洞很难连接这个宇宙的两个位置，空间需要弯折超过垂直。虫洞更容易在一个Ω0不等于1的宇宙可以把两个空间的距离拉近。虫洞的形状不一定规则，它可以是复杂的拓补学结构。

如果宇宙是个三维曲面，三维曲面有两个点曲率无限向垂直曲面弯曲（奇点），则这两点的空间有可能相连。但这个时候出现的虫洞，是两个黑洞。即使你能从一边进去，但不能从另一边出来，因为另一边的光锥向内，不允许你往外走。

如果要让时空穿梭实现可行性，时空弯折不可以太剧烈，至少光锥不能偏向时空的一侧，需要将小部分的高曲率分摊到周围的空间，使物体至少在虫洞另一端可以离开。如果宇宙有类似这样的在连接自身的四维拓补结构，理论上时空穿梭是可行的。

注：

1、物理上的平行空间一般指时间方向上的平行

2、四维空间不存在没有厚度的三维物体，这里假想克莱因瓶在第四维方向上的厚度为无限小。

3、实际上并没有瓶外瓶内之分，暂且把图内“三维封闭”的空间称为瓶内。

4、如果把克莱因瓶放入四维空间，水会直接沿着w轴方向撒完（即使水在三维意义上的瓶内），因为在w轴方向没有任何物体阻拦着水，这里假设水面流动时一直“粘”着瓶壁。一个能装住水的四维“水瓶”是一个三维球壳沿着第四维方向运动形成的连续“球柱”，再以一个实心三维球封底。能否将此三维球柱的内外连接？不可以，这种“超克莱因瓶”连接只能在五维空间进行。

5、6、四维空间中的弯折或旋转必须绕着一个面进行。可以通过数学方法证明。

假设一个四维物体在旋转。而且该旋转与x轴对称，则此物体上面的每个点必定绕着x轴作圆周运动；而此物体作为一个整体，所有在他上面的点的运动只能朝向同一个方向。则这个点运动时必定在以下平面中的其中一个之中：yz平面，yw平面，zw平面。假设此点在yz平面运动，则此四维物体在xw平面上的点不发生位移，即围绕xw平面旋转。要想象四维旋转也很容易，比如说想象绕xw面的旋转，只需要保持w轴方向不变，同时想象很多张三维膜上的物体绕着x轴旋转即可。

7、我们在讨论物体运动的时候，其实已经把时间一维算进去了。

来源：超级数学建模（整理自视眼（知乎），版权归原作者和刊载媒体所有）

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编辑：蔡丽华

审核：王怡波

指导：万剑华教授(微信号wjh18266613129)