人教版九年级数学教案（二）

23．3　课题学习　图案设计

利用平移、轴对称和旋转的这些图形变换中的一种或组合进行图案设计，设计出称心如意的图案．

通过复习平移、轴对称、旋转的知识，然后利用这些知识让学生开动脑筋，敝开胸怀大胆联想，设计出

一幅幅美丽的图案．

1、设计图案．

2、如何利用平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或它们的组合得出图案．

一、复习引入

1．如图，已知线段CD是线段AB平移后的图形，D是B点的对称点，作出线段AB，并回答AB与CD有什

么位置关系．

第1题图(INCLUDEPICTURE64.TIF),第2题图)　　　　,第3题图)

2．如图，已知线段CD，作出线段CD关于对称轴l的对称线段C′D′，并说明CD与对称线段C′D′之间

有什么关系？

3．如图，已知线段CD，作出线段CD关于D点旋转90°的旋转后的图形，并说明这两条线段之间有什么

关系？

    1．AB与CD平行且相等；

2．过D点作DE⊥l，垂足为E并延长，使ED′＝ED，同理作出C′点，连接C′D′，则C′D′即为所求．

CD的延长线与C′D′的延长线相交于一点，这一点在l上并且CD＝C′D′.

3．以D点为旋转中心，旋转后CD⊥C′D，垂足为D，并且CD＝C′D.

二、探索新知

请用以上所讲的平移、轴对称、旋转等图形变换中的一种或几种组合完成下面的图案设计．

例1　(学生活动)学生亲自动手操作题．

按下面的步骤，请每一位同学完成一个别致的图案．

(1)准备一张正三角形纸片(课前准备)(如图a)；

(2)把纸片任意撕成两部分(如图b，如图c)；

(3)将撕好的如图b沿正三角形的一边作轴对称，得到新的图形；

(4)将(3)得到的图形以正三角形的一个顶点作为旋转中心旋转，得到如图(d)(如图c保持不动)；

(5)把如图(d)平移到如图(c)的右边，得到如图(e)；

(6)对如图(e)进行适当的修饰，使得到一个别致美丽的如图(f)的图案．

老师必要时可以给予一定的指导．

三、课堂小结

本节课应掌握：

利用平移、轴对称和旋转的图形变换中的一种或组合设计图案．

第二十四章　圆

24．1　圆的有关性质

24．1.1　圆

经历圆的概念的形成过程，理解圆、弧、弦等与圆有关的概念，了解等圆、等弧的概念．

重点

经历形成圆的概念的过程，理解圆及其有关概念．

难点

理解圆的概念的形成过程和圆的集合性定义．

活动1　创设情境，引出课题

1．多媒体展示生活中常见的给我们以圆的形象的物体．

2．提出问题：我们看到的物体给我们什么样的形象？

活动2　动手操作，形成概念

在没有圆规的情况下，让学生用铅笔和细线画一个圆．

教师巡视，展示学生的作品，提出问题：我们画的圆的位置和大小一样吗？画的圆的位置和大小分别由什么决

定？

教师强调指出：位置由固定的一个端点决定，大小由固定端点到铅笔尖的细线的长度决定．

1．从以上圆的形成过程，总结概念：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所

2．形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆

O”．

2．小组讨论下面的两个问题：

问题1：圆上各点到定点(圆心O)的距离有什么规律？

问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？

3．小组代表发言，教师点评总结，形成新概念．

(1)圆上各点到定点(圆心O)的距离都等于定长(半径r)；

(2)到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．

因此，我们可以得到圆的新概念：圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点的集

合．(一个图形看成是满足条件的点的集合，必须符合两点：在图形上的每个点，都满足这个条件；满足这个条

件的每个点，都在这个图形上．)

活动3　学以致用，巩固概念

1．教材第81页　练习第1题．

2．教材第80页　例1.

多媒体展示例1，引导学生分析要证明四个点在同一圆上，实际是要证明到定点的距离等于定长，即四个点到O

的距离相等．

活动4　自学教材，辨析概念

1．自学教材第80页例1后面的内容，判断下列问题正确与否：

(1)直径是弦，弦是直径；半圆是弧，弧是半圆．

(2)圆上任意两点间的线段叫做弧．

(3)在同圆中，半径相等，直径是半径的2倍．

(4)长度相等的两条弧是等弧．(教师强调：长度相等的弧不一定是等弧，等弧必须是在同圆或等圆中的弧．)

(5)大于半圆的弧是劣弧，小于半圆的弧是优弧．

2．指出图中所有的弦和弧．

活动5　达标检测，反馈新知

教材第81页　练习第2，3题．

活动6　课堂小结，作业布置

课堂小结

1．圆、弦、弧、等圆、等弧的概念．要特别注意“直径和弦”“弧和半圆”以及“同圆、等圆”这些概念的区

2．别和联系．等圆和等弧的概念是建立在“能够完全重合”这一前提条件下的，它将作为今后判断两圆或两弧

相等的依据．

2．证明几点在同一圆上的方法．

3．集合思想．

作业布置

1．以定点O为圆心，作半径等于2厘米的圆．

2．如图，在Rt△ABC和Rt△ABD中，∠C＝90°，∠D＝90°，点O是AB的中点．

求证：A，B，C，D四个点在以点O为圆心的同一圆上．

答案：1.略；2.证明OA＝OB＝OC＝OD即可．

24．1.2　垂直于弦的直径

理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．

通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．

重点

垂径定理及其运用．

难点

探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．

一、复习引入

①在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫

做圆心，线段OA叫做半径．

以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．

②连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；

③经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；

④圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，以A，C为端点的弧记作“︵(AC)”，读作“圆弧AC”或“弧AC”．大

于半圆的弧(如图所示︵(ABC))叫做优弧，小于半圆的弧(如图所示︵(AC)或︵(BC))叫做劣弧．

⑤圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．

⑥圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．

二、探索新知

(学生活动)请同学按要求完成下题：

如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M.

(1)如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？

(2)你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．

(老师点评)(1)是轴对称图形，其对称轴是CD.

(2)AM＝BM，︵(AC)＝︵(BC)，︵(AD)＝︵(BD)，即直径CD平分弦AB，并且平分︵(AB)及︵(ADB).

这样，我们就得到下面的定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．

下面我们用逻辑思维给它证明一下：

已知：直径CD、弦AB，且CD⊥AB垂足为M.

求证：AM＝BM，︵(AC)＝︵(BC)，︵(AD)＝︵(BD).

分析：要证AM＝BM，只要证AM，BM构成的两个三角形全等．因此，只要连接OA，OB或AC，BC即可．

证明：如图，连接OA，OB，则OA＝OB，

在Rt△OAM和Rt△OBM中，

∴Rt△OAM≌Rt△OBM，

∴AM＝BM，

∴点A和点B关于CD对称，

∵⊙O关于直径CD对称，

∴当圆沿着直线CD对折时，点A与点B重合，︵(AC)与︵(BC)重合，︵(AD)与︵(BD)重合．

∴︵(AC)＝︵(BC)，︵(AD)＝︵(BD).

进一步，我们还可以得到结论：

平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．

(本题的证明作为课后练习)

例1　有一石拱桥的桥拱是圆弧形，如图所示，正常水位下水面宽AB＝60 m，水面到拱顶距离CD＝18 m，当洪

水泛滥时，水面宽MN＝32 m时是否需要采取紧急措施？请说明理由．

分析：要求当洪水到来时，水面宽MN＝32 m是否需要采取紧急措施，只要求出DE的长，因此只要求半径R，然

后运用几何代数解求R.

解：不需要采取紧急措施，

设OA＝R，在Rt△AOC中，AC＝30，CD＝18，

R²＝30²＋(R－18)²，

R²＝900＋R²－36R＋324，

解得R＝34(m)，

连接OM，设DE＝x，在Rt△MOE中，ME＝16，

34²＝16²＋(34－x)²，

16²＋34²－68x＋x²＝34²，x²－68x＋256＝0，

解得x₁＝4，x₂＝64(不合题意，舍去)，

∴DE＝4，

∴不需采取紧急措施．

三、课堂小结(学生归纳，老师点评)

垂径定理及其推论以及它们的应用．

四、作业布置

1．垂径定理推论的证明．

2．教材第89，90页　习题第8，9，10题．

24．1.3　弧、弦、圆心角

1．理解圆心角的概念和圆的旋转不变性，会辨析圆心角．

2．掌握在同圆或等圆中，圆心角与其所对的弦、弧之间的关系，并能应用此关系进行相关的证明和计算．

重点

圆心角、弦、弧之间的相等关系及其理解应用．

难点

从圆的旋转不变性出发，发现并论证圆心角、弦、弧之间的相等关系．

活动1　动手操作，得出性质及概念

1．在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O和⊙O′.

2．将⊙O绕圆心旋转任意角度后会出现什么情况？圆是中心对称图形吗？

3．在⊙O中画出两条不在同一条直线上的半径，构成一个角，这个角叫什么角？学生先说，教师补充完善圆心

角的概念．

如图，∠AOB的顶点在圆心，像这样的角叫做圆心角．

4．判断图中的角是否是圆心角，说明理由．

活动2　继续操作，探索定理及推论

1．在⊙O′中，作与圆心角∠AOB相等的圆心角∠A′O′B′，连接AB，A′B′，将两张纸片叠在一起，使⊙O

与⊙O′重合，固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA与O′A′重合，在操作的过程中，你能发现哪些等量关系，理由是什么？请与小组同学交流．

2．学生会出现多对等量关系，教师给予鼓励，然后，老师小结：在等圆中相等的圆心角所对的弧相等，所对的

弦也相等．

3．在同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等吗？所对的弦相等吗？

4．综合2，3，我们可以得到关于圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相

等，所对的弦也相等．请用符号语言把定理表示出来．

5．分析定理：去掉“在同圆或等圆中”这个条件，行吗？

6．定理拓展：教师引导学生类比定理，独立用类似的方法进行探究：

(1)在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角，所对的弦也分别相等吗？

(2)在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角，所对的弧也分别相等吗？

综上所述，在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，就可以推出它们所对应的其余各

组量也相等．

活动3　学以致用，巩固定理

1．教材第84页　例3.

多媒体展示例3，引导学生分析要证明三个圆心角相等，可转化为证明所对的弧或弦相等．鼓励学生用多种方法

解决本题，培养学生解决问题的意识和能力，感悟转化与化归的数学思想．

活动4　达标检测，反馈新知

教材第85页　练习第1，2题．

活动5　课堂小结，作业布置

课堂小结

1．圆心角概念及圆的旋转不变性和对称性．

2．在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别

相等，以及其应用．

3．数学思想方法：类比的数学方法，转化与化归的数学思想．

作业布置

1．如果两个圆心角相等，那么(　　)

A．这两个圆心角所对的弦相等

B．这两个圆心角所对的弧相等

C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等

D．以上说法都不对

2．如图，AB和DE是⊙O的直径，弦AC∥DE，若弦BE＝3，求弦CE的长．

3．如图，在⊙O中，C，D是直径AB上两点，且AC＝BD，MC⊥AB，ND⊥AB，M，N在⊙O上．

(1)求证：︵(AM)＝︵(BN)；

(2)若C，D分别为OA，OB中点，则︵(AM)＝︵(MN)＝︵(BN)成立吗？

答案：1.D；2.3；3.(1)连接OM，ON，证明△MCO≌△NDO，得出∠MOA＝∠NOB，得出︵(AM)＝︵(BN)；(2)成立．

24.1.4　圆周角(2课时)

第1课时　圆周角的概念和圆周角定理

1．理解圆周角的概念，会识别圆周角．

2．掌握圆周角定理，并会用此定理进行简单的论证和计算．

重点

圆周角的概念和圆周角定理．

难点

用分类讨论的思想证明圆周角定理，尤其是分类标准的确定．

活动1　复习类比，引入概念

1．用几何画板显示圆心角．

2．教师将圆心角的顶点进行移动，如图1.

(1)当角的顶点在圆心时，我们知道这样的角叫圆心角，如∠AOB.

(2)当角的顶点运动到圆周时，如∠ACB这样的角叫什么角呢？

学生会马上猜出：圆周角．教师给予鼓励，引出课题．

3．总结圆周角概念．

(1)鼓励学生尝试自己给圆周角下定义．估计学生能类比圆心角给圆周角下定义，顶点在圆周上的角叫圆周角，

可能对角的两边没有要求．

(2)教师提问：是不是顶点在圆周上的角就是圆周角呢？带着问题，教师出示下图．

学生通过观察，会发现形成圆周角必须具备两个条件：①顶点在圆周上；②角的两边都与圆相交．最后让学生

再给圆周角下一个准确的定义：顶点在圆周上，两边都与圆相交的角叫圆周角．

(3)比较概念：圆心角定义中为什么没有提到“两边都与圆相交”呢？

学生讨论后得出：凡是顶点在圆心的角，两边一定与圆相交，而顶点在圆周上的角则不然，因此，学习圆周角

的概念，一定要注意角的两边“都与圆相交”这一条件．

活动2　观察猜想，寻找规律

1．教师出示同一条弧所对圆周角为90°，圆心角为180°和同一条弧所对圆周角为45°，圆心角为90°的特

殊情况的图形．

提出问题：在这两个图形中，对着同一条弧的圆周角和圆心角，它们之间有什么数量关系．由于情况特殊，学

生观察、测量后，容易得出：对着同一条弧的圆周角是圆心角的一半．

2．教师提出：在一般情况下，对着同一条弧的圆周角还是圆心角的一半吗？通过上面的特例，学生猜想，得出

命题：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

活动3　动手画图，证明定理

1．猜想是否正确，还有待证明．教师引导学生结合命题，画出图形，写出已知、求证．

2．先分小组交流画出的图形，议一议：所画图形是否相同？所画图形是否合理？

3．利用实物投影在全班交流，得到三种情况．若三种位置关系未出现全，教师利用电脑演示同一条弧所对圆周

角的顶点在圆周上运动的过程，得出同一条弧所对的圆心角和圆周角之间可能出现的不同位置关系，得到圆心

角的顶点在圆周角的一边上、内部、外部三种情况．

4．引导学生选一种最特殊、最容易证明的“圆心角的顶点在圆周角的一边上”进行证明，写出证明过程，教师

点评．

5．引导学生通过添加辅助线，把“圆心角的顶点在圆周角的内部、外部”转化成“圆心角的顶点在圆周角的一

边上”的情形，进行证明，若学生不能构造过圆周角和圆心角顶点的直径，教师给予提示．然后小组交流讨

论，上台展示证明过程，教师点评证明过程．

6．将“命题”改为“定理”，即“圆周角定理”．

活动4　达标检测，反馈新知

1．教材第88页　练习第1题．

2．如图，∠BAC和∠BOC分别是⊙O中的弧BC所对的圆周角和圆心角，若∠BAC＝60°，那么∠BOC＝________.

3．如图，AB，AC为⊙O的两条弦，延长CA到D，使AD＝AB，如果∠ADB＝30°，那么∠BOC＝________.

答案：1.略；2.120°；3.120°.

活动5　课堂小结，作业布置

课堂小结

1．圆周角概念及定理．

2．类比从一般到特殊的数学方法及分类讨论、转化与化归的数学思想．

作业布置

教材第88页　练习第4题，教材第89页　习题第5题．

第2课时　圆周角定理推论和圆内接多边形

1．能推导和理解圆周角定理的两个推论，并能利用这两个推论解决相关的计算和证明．

2．知道圆内接多边形和多边形外接圆的概念，明确不是所有多边形都有外接圆．

3．能证明圆内接四边形的性质，并能应用这个性质解决简单的计算和证明等问题．

重点

圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的性质的运用．

难点

圆内接四边形性质定理的准确、灵活应用以及如何添加辅助线．

活动1　温习旧知

1．圆周角定理的内容是什么？

2．如图，若︵(BC)的度数为100°，则∠BOC＝________，∠A＝________.

3．如图，四边形ABCD中，∠B与∠1互补，AD的延长线与DC所夹的∠

2＝60°，则∠1＝________，∠B＝________.

4．判断正误：

(1)圆心角的度数等于它所对的弧的度数；(　　)

(2)圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半．(　　)

答案：1.略；2.100°，50°；3.120°，60°；4.略

活动2　探索圆周角定理的“推论”

1．请同学们在练习本上画一个⊙O.想一想，以A，C为端点的弧所对的圆周角有多少个？

试着画几个．然后教师引导学生：观察下图，∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小关系如何？为什么？

让学生得出结论后，教师继续追问：如果把这个结论中的“同弧”改为“等弧”，结论正确吗？

2．教师引导学生观察下图，BC是⊙O的直径．请问：BC所对的圆周角∠BAC是锐角、直角还是钝角？

让学生交流、讨论，得出结论：∠BAC是直角．教师追问理由．

3．如图，若圆周角∠BAC＝90°，那么它所对的弦BC经过圆心吗？为什么？由此能得出什么结论？

4．师生共同解决教材第87页例4.

活动3　探索圆内接四边形的性质1．教师给学生介绍以下基本概念：

圆内接多边形与多边形的外接圆；圆内接四边形与四边形的外接圆．

2．要求学生画一画，想一想：

在⊙O上任作它的一个内接四边形ABCD，∠A是圆周角吗？∠B，∠C，∠D呢？进一步思考，圆内接四边形的四

个角之间有什么关系？

3．先打开几何画板，验证学生的猜想，然后再引导学生证明，最后得出结论：圆内接四边形对角互补．

4．课件展示练习：

(1)如图，四边形ABCD内接于⊙O，则∠A＋∠C＝________，∠B＋∠ADC＝________

；若∠B＝80°，则∠ADC＝________，∠CDE＝________；

(2)如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠AOC＝100°，则∠D＝________，∠B＝________；

(3)四边形ABCD内接于⊙O，∠A∶∠C＝1∶3，则∠A＝________；

(4)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，∠B＝75°，则∠C＝________.

(5)想一想对于圆的任意内接四边形都有这样的关系吗？

答案：(1)180°，180°，100°，80°；(2)130°，50°；(3)45°；(4)75°；(5)都有．

活动4　巩固练习

1．教材第88页　练习第5题．

活动5　课堂小结与作业布置

课堂小结

本节课我们学习了圆周角定理的两个推论和圆内接四边形的重要性质，要求同学们理解圆内接四边形和四边形

的外接圆的概念，理解圆内接四边形的性质定理；并初步应用性质定理进行有关问题的证明和计算．

作业布置

教材第89～91页　习题第5，6，13，14，17题．

24.2　点和圆、直线和圆的位置关系

24．2.1　点和圆的位置关系

1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d，则有：点P在圆外⇔d>r；点P在圆上⇔d＝r；点P在圆内⇔d<r及其运用．

2．理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用．

3．了解三角形的外接圆和三角形外心的概念．

4．了解反证法的证明思想．

复习圆的两种定理和形成过程，并经历探究一个点、两个点、三个点能作圆的结论及作图方法，给出不在同一直线上的三个点确定一个圆的结论．接着从这三点到圆心的距离逐渐引入点P到圆心距离与点和圆位置关系的结论，并运用它们解决一些实际问题．

重点

点和圆的位置关系的结论：不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用．

难点

讲授反证法的证明思路．

一、复习引入

(学生活动)请同学们口答下面的问题．

1．圆的两种定义是什么？

2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？

3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？

4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．

(老师点评)(1)在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．

(2)圆规：一个定点，一个定长画圆．

(3)都等于半径．

(4)经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．

二、探索新知

由上面的画图以及所学知识，我们可知：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP＝d，

则有：点P在圆外⇒d>r；

点P在圆上⇒d＝r；

点P在圆内⇒d<r；

反过来，也十分明显，如果d>r⇒点P在圆外；如果d＝r⇒点P在圆上；如果d<r⇒点P在圆内．

因此，我们可以得到：

设⊙O的半径为r，点P到圆的距离为d，

则有：点P在圆外⇔d>r；

点P在圆上⇔d＝r；

点P在圆内⇔d<r.

这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．

下面，我们接着研究确定圆的条件：

(学生活动)经过一点可以作无数条直线，经过二点只能作一条直线，那么，经过一点能作几个圆？经过二点、三点呢？请同学们按下面要求作圆．

(1)作圆，使该圆经过已知点A，你能作出几个这样的圆？

(2)作圆，使该圆经过已知点A，B，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？

(3)作圆，使该圆经过已知点A，B，C三点(其中A，B，C三点不在同一直线上)，你是如何做的？你能作出几个这样的圆？

(老师在黑板上演示)

(1)无数多个圆，如图(1)所示．

(2)连接A，B，作AB的垂直平分线，则垂直平分线上的点到A，B的距离都相等，都满足条件，作出无数个．

其圆心分布在AB的中垂线上，与线段AB互相垂直，如图(2)所示．

(3)作法：①连接AB，BC；

②分别作线段AB，BC的中垂线DE和FG，DE与FG相交于点O；

③以O为圆心，以OA为半径作圆，⊙O就是所要求作的圆，如图(3)所示．在上面的作图过程中，因为直线DE与FG只有一个交点O，并且点O到A，B，C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两端点的距离相等)，所以经过A，B，C三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

即不在同一直线上的三个点确定一个圆．

也就是，经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆．

外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做这个三角形的外心．

下面我们来证明：经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆．

证明：如图，假设过同一直线l上的A，B，C三点可以作一个圆，设这个圆的圆心为P，那么点P既在线段AB的垂直平分线l₁，又在线段BC的垂直平分线l₂，即点P为l₁与l₂交点，而l₁⊥l，l₂⊥l，这与我们以前所学的“过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”矛盾．

所以，过同一直线上的三点不能作圆．

上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同，它不是直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆)，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到命题成立．这种证明方法叫做反证法．

在某些情景下，反证法是很有效的证明方法．

例1　某地出土一明代残破圆形瓷盘，如图所示．为复制该瓷盘确定其圆心和半径，请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心．

分析：圆心是一个点，一个点可以由两条直线交点而成，因此，只要在残缺的圆盘上任取两条线段，作线段的中垂线，交点就是我们所求的圆心．

作法：(1)在残缺的圆盘上任取三点连接成两条线段；

(2)作两线段的中垂线，相交于一点O.

则O就为所求的圆心．图略．

三、巩固练习

教材第95页　练习1，2，3.

四、课堂小结

(学生总结，老师点评)

本节课应掌握：

1．点和圆的位置关系：设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为d，则

点P在圆内⇔d＜r.(点P在圆上⇔d＝r；)

2．不在同一直线上的三个点确定一个圆．

3．三角形外接圆和三角形外心的概念．

4．反证法的证明思想．

5．以上内容的应用．

五、作业布置

教材第101，102页　习题1，7，8.

24．2.2　直线和圆的位置关系(3课时)

第1课时　直线和圆的三种位置关系

(1)了解直线和圆的位置关系的有关概念．

(2)理解设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d，则有：

直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r.

重点

理解直线和圆的三种位置关系．

难点

由上节课点和圆的位置关系迁移并运动直线导出直线和圆的位置关系的三个对应等价．

一、复习引入

(老师口问，学生口答，老师并在黑板上板书)同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP＝d.

则有：点P在圆外⇔d>r，如图(a)所示；

点P在圆上⇔d＝r，如图(b)所示；

点P在圆内⇔d<r，如图(c)所示．

二、探索新知

前面我们讲了点和圆有这样的位置关系，如果这个点P改为直线l呢？它是否和圆还有这三种的关系呢？

(学生活动)固定一个圆，把三角尺的边缘移动，如果把这个边缘看成一条直线，那么这条直线和圆有几种位置关系？

(老师口问，学生口答)直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．

(老师板书)如图所示：

如图(a)，直线l和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．

如图(b)，直线l和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．

如图(c)，直线l和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．

我们知道，点到直线l的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到l的距离的三种情况．

(学生分组活动)：设⊙O的半径为r，圆心到直线l的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？

老师点评：直线l和⊙O相交⇔d<r，如图(a)所示；

直线l和⊙O相切⇔d＝r，如图(b)所示；

直线l和⊙O相离⇔d>r，如图(c)所示．

例1　如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝8 cm，AC＝4 cm.

(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？

(2)以点C为圆心，分别以2 cm和4 cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？

解：(1)如图，过C作CD⊥AB，垂足为D.

在Rt△ABC中，

BC＝＝4.

∴CD＝8(3×4)＝2，

因此，当半径为2 cm时，AB与⊙C相切．

(2)由(1)可知，圆心C到直线AB的距离d＝2 cm，所以

当r＝2时，d>r，⊙C与直线AB相离；

当r＝4时，d<r，⊙C与直线AB相交．

三、巩固练习

教材第96页　练习

四、课堂小结

(学生归纳，总结发言，老师点评)

本节课应掌握：

1．直线和圆相交(割线)、直线和圆相切(切线、切点)、直线和圆相离等概念．

2．设⊙O的半径为r，直线l到圆心O的距离为d则有：

直线l和⊙O相交⇔d<r；

直线l和⊙O相切⇔d＝r；

直线l和⊙O相离⇔d>r.

五、作业布置

教材第101页　习题第2题．

第2课时　圆的切线

1．能用“数量关系”确定“位置关系”的方法推导切线的判定定理，能判定一条直线是否为圆的切线；能从逆向思维的角度理解切线的性质定理．

2．掌握切线的判定定理和性质定理，并能运用圆的切线的判定和性质解决相关的计算与证明问题．

重点

探索圆的切线的判定和性质，并能运用它们解决与圆的切线相关的计算和证明等问题．

难点

探索圆的切线的判定方法和解决相关问题时怎样添加辅助线．

活动1　动手操作

要求学生先在纸上画⊙O和圆上一点A，然后思考：根据所学知识，如何画出这个圆过点A的一条切线？能画几条？有几种画法？你怎么确定你所画的这条直线是⊙O的切线？

活动2　探索切线的判定定理

1．如图，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，则圆心O到直线l的距离是多少？

2．思考：如果圆心到直线的距离等于半径，那么直线和圆有何位置关系呢？你能发现此问题和上节课所学内容的联系吗？

3．教师引导学生探索得出切线的判定定理的内容．要求学生尝试用文字语言和几何语言描述：

文字语言描述：经过________并且________的直线是圆的切线．

几何语言描述：如上图，∵OC为半径，且OC⊥AB，∴AB与⊙O相切于点C.

引导学生观察下面两个图形，发现直线l都不是圆的切线．所以，在理解切线的判定定理时，应注意两个条件“经过半径外端”“垂直于半径”缺一不可．

4．讲解教材第98页例1.请学生自己先寻找解题思路，教师引导，然后小结解题基本模式．

活动3　性质定理

1．教师引导学生思考：如图，如果直线l是⊙O的切线，切点为A，那么半径OA与直线l是不是一定垂直呢？

教师提示学生：直接证明切线的性质定理比较困难，可用反证法．假设半径OA与l不垂直，如图，过点O作OM⊥l，垂足为M，根据垂线段最短的性质有________＜________，∴直线l与⊙O________.这就与已知直线l与⊙O相切矛盾，∴假设不正确．因此，半径OA与直线l垂直．

2．学生总结出切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

3．教师引导学生辨别切线的判定定理与性质定理的区别与联系．

切线的判定定理是要在未知相切而要证明相切的情况下使用；切线的性质定理是在已知相切而要推得一些其他的结论时使用．

活动4　巩固练习

1．(1)下列直线是圆的切线的是(　　)

A．与圆有公共点的直线

B．到圆心的距离等于半径的直线

C．垂直于圆的半径的直线

D．过圆的直径外端点的直线

(2)如图，已知直线EF经过⊙O上的点E，且OE＝EF，若∠EOF＝45°，则直线EF和⊙O的位置关系是________．

,第(2)题图)　　　　,第(3)题图)

(3)如图，AB是⊙O的直径，∠PAB＝90°，连接PB交⊙O于点C，D是PA边的中点，连接CD.求证：CD是⊙O的切线．

2．教材第98页　练习第1，2题．

答案：1.(1)B；(2)相切；(3)连接OC，OD；2.略．

活动5　课堂小结与作业布置

课堂小结

1．知识总结：两个定理：切线的判定定理是________；切线的性质定理是________．

2．方法总结：(1)证明切线的性质定理所用的方法是反证法．

(2)证明切线的方法：①当直线和圆有一个公共点时，把圆心和这个公共点连接起来，然后证明直线垂直于这条半径，简称“连半径，证垂直”；②当直线和圆的公共点没有明确时，可过圆心作直线的垂线，再证圆心到直线的距离等于半径，简称“作垂直，证半径”．

(3)在运用切线的性质时，连接圆心和切点是常作的辅助线，这样可以产生半径和垂直条件．

作业布置

教材第101页　习题24.2第4～6题．

第3课时　切线长定理

了解切线长的概念．

理解切线长定理，了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念，熟练掌握它的应用．

复习圆与直线的位置关系和切线的判定定理、性质定理知识迁移到切长线的概念和切线长定理，然后根据所学三角形角平分线的性质给出三角形的内切圆和三角形的内心概念，最后应用它们解决一些实际问题．

重点

切线长定理及其运用．

难点

切线长定理的导出及其证明和运用切线长定理解决一些实际问题．

一、复习引入

1．已知△ABC，作三个内角平分线，说说它具有什么性质？

2．点和圆有几种位置关系？

3．直线和圆有什么位置关系？切线的判定定理和性质定理是什么？

老师点评：(1)在黑板上作出△ABC的三条角平分线，并口述其性质：①三条角平分线相交于一点；②交点到三条边的距离相等．

(2)(口述)点和圆的位置关系有三种，点在圆内⇔d<r；点在圆上⇔d＝r；点在圆外⇔d>r.

(3)(口述)直线和圆的位置关系同样有三种：直线l和⊙O相交⇔d<r；直线l和⊙O相切⇔d＝r；直线l和⊙O相离⇔d>r；切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于半径的直线是圆的切线；切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．

二、探索新知

从上面的复习，我们可以知道，过⊙O上任一点A都可以作一条切线，并且只有一条，根据下面提出的问题操作思考并解决这个问题．

问题：在你手中的纸上画出⊙O，并画出过A点的唯一切线PA，连接PO，沿着直线PO将纸对折，设圆上与点A重合的点为B，这时，OB是⊙O的一条半径吗？PB是⊙O的切线吗？利用图形的轴对称性，说明圆中的PA与PB，∠APO与∠BPO有什么关系？

学生分组讨论，老师抽取3～4位同学回答这个问题．

老师点评：OB与OA重叠，OA是半径，OB也就是半径了．又因为OB是半径，PB为OB的外端，又根据折叠后的角不变，所以PB是⊙O的又一条切线，根据轴对称性质，我们很容易得到PA＝PB，∠APO＝∠BPO.

我们把PA或PB的长，即经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．

从上面的操作我们可以得到：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

下面，我们给予逻辑证明．

例1　如图，已知PA，PB是⊙O的两条切线．

求证：PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.

证明：∵PA，PB是⊙O的两条切线．

∴OA⊥AP，OB⊥BP，

又OA＝OB，OP＝OP，

∴Rt△AOP≌Rt△BOP，

∴PA＝PB，∠OPA＝∠OPB.

因此，我们得到切线长定理：

从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角．

我们刚才已经复习，三角形的三条角平分线交于一点，并且这个点到三条边的距离相等．

(同刚才画的图)设交点为I，那么I到AB，AC，BC的距离相等，如图所示，因此以点I为圆心，点I到BC的距离ID为半径作圆，则⊙I与△ABC的三条边都相切．

与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心．

例2　如图，已知⊙O是△ABC的内切圆，切点为D，E，F，如果AE＝2，CD＝1，BF＝3，且△ABC的面积为6.求内切圆的半径r.

分析：直接求内切圆的半径有困难，由于面积是已知的，因此要转化为面积法来求，就需添加辅助线，如果连接AO，BO，CO，就可把三角形ABC分为三块，那么就可解决．

解：连接AO，BO，CO，

∵⊙O是△ABC的内切圆且D，E，F是切点．

∴AF＝AE＝2，BD＝BF＝3，CE＝CD＝1，

∴AB＝5，BC＝4，AC＝3，

又∵S_△ABC＝6，

∴2(1)(4＋5＋3)r＝6，

∴r＝1.

答：所求的内切圆的半径为1.

三、巩固练习

教材第100页　练习．

四、课堂小结

(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

1．圆的切线长概念；

2．切线长定理；

3．三角形的内切圆及内心的概念．

五、作业布置

教材第102页　综合运用11，12

24．3　正多边形和圆

了解正多边形和圆的有关概念；理解并掌握正多边形半径和边长、边心距、中心角之间的关系，会应用多边形和圆的有关知识画多边形．

复习正多边形概念，让学生尽可能讲出生活中的多边形为引题引入正多边形和圆这一节的内容．

重点

讲清正多边形和圆的关系，正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．

难点

通过例题使学生理解四者：正多边形半径、中心角、弦心距、边长之间的关系．

一、复习引入

请同学们口答下面两个问题．

1．什么叫正多边形？

2．从你身边举出两三个正多边形的实例，正多边形具有轴对称、中心对称吗？其对称轴有几条，对称中心是哪一点？

老师点评：1.各边相等，各角也相等的多边形是正多边形．

2．实例略．正多边形是轴对称图形，对称轴有很多条，但不一定是中心对称图形，正三角形、正五边形就不是中心对称图形．

二、探索新知

如果我们以正多边形对应顶点的交点作为圆心，以点到顶点的连线为半径，能够作一个圆，很明显，这个正多边形的各个顶点都在这个圆上，如图，正六边形ABCDEF，连接AD，CF交于一点，以O为圆心，OA为半径作圆，那么B，C，D，E，F肯定都在这个圆上．

因此，正多边形和圆的关系十分密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆就是这个正多边形的外接圆．

我们以圆内接正六边形为例证明．

如图所示的圆，把⊙O分成相等的6段弧，依次连接各分点得到六边ABCDEF，下面证明，它是正六边形．

∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝AF，

∴︵(AB)＝︵(BC)＝︵(CD)＝︵(DE)＝︵(EF)＝︵(AF)，

又∴∠A＝2(1)︵(BCF)的度数＝2(1)(︵(BC)＋︵(CD)＋︵(DE)＋︵(EF))的度数＝2︵(BC)的度数，

∠B＝2(1)︵(CDA)的度数＝2(1)(︵(CD)＋︵(DE)＋︵(EF)＋︵(FA))的度数＝2︵(CD)的度数，

∴∠A＝∠B，

同理可证：∠B＝∠C＝∠D＝∠E＝∠F＝∠A，

又六边形ABCDEF的顶点都在⊙O上，

∴根据正多边形的定义，各边相等、各角相等，六边形ABCDEF是⊙O的内接正六边形，⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆．

为了今后学习和应用的方便，我们把一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个多边形的中心．

外接圆的半径叫做正多边形的半径．

正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．

中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．

例1　已知正六边形ABCDEF，如图所示，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积．

分析：要求正六边形的周长，只要求AB的长，已知条件是外接圆半径，因此自然而然，边长应与半径挂上钩，很自然应连接OA，过O点作OM⊥AB垂足为M，在Rt△AOM中便可求得AM，又应用垂径定理可求得AB的长．正六边形的面积是由六块正三角形面积组成的．

解：如图所示，由于ABCDEF是正六边形，所以它的中心角等于6(360°)＝60°，△OBC是等边三角形，从而正六边形的边长等于它的半径．

因此，所求的正六边形的周长为6a

在Rt△OAM中，OA＝a，AM＝2(1)AB＝2(1)a

利用勾股定理，可得边心距

OM＝a²－(2(1)a)²＝2(1)a

∴所求正六边形的面积＝6×2(1)×AB×OM＝6×2(1)×a×2(3)a＝2(3)a²

现在我们利用正多边形的概念和性质来画正多边形．

例2　利用你手中的工具画一个边长为3 cm的正五边形．

分析：要画正五边形，首先要画一个圆，然后对圆五等分，因此，应该先求边长为3的正五边形的半径．

解：正五边形的中心角∠AOB＝5(360°)＝72°，

如图，∠AOM＝36°，OA＝2(1)AB÷sin36°＝1.5÷sin36°≈2.55(cm)

画法：(1)以O为圆心，OA＝2.55 cm为半径画圆；

(2)在⊙O上顺次截取边长为3 cm的AB，BC，CD，DE，EA.

(3)分别连接AB，BC，CD，DE，EA.

则正五边形ABCDE就是所要画的正五边形，如图．

三、巩固练习

教材第108页　习题1，2，3

四、课堂小结

(学生小结，老师点评)

本节课应掌握：

1．正多边形和圆的有关概念：正多边形的中心，正多边形的半径，正多边形的中心角，正多边的边心距．

2．正多边形的半径、正多边形的中心角、边长、正多边形的边心距之间的关系．

3．画正多边形的方法．

4．运用以上的知识解决实际问题．

五、作业布置

教材第108－109页　习题4，6，8.

24．4　弧长和扇形面积(2课时)

第1课时　弧长和扇形面积公式

1．理解弧长与圆周长的关系，能用比例的方法推导弧长公式，并能利用弧长公式进行相关计算．

2．类比推导弧长公式的方法推导扇形面积公式，并能利用扇形面积公式进行相关计算．

重点

弧长和扇形面积公式的推导过程以及公式的应用．

难点

类比弧长公式的推导来获得扇形面积公式的推导过程．

活动1　创设情境

这是章前图中的车轮的一部分，如果一只蚂蚁从点O出发，爬到A处，再沿弧AB爬到B处，最后回到点O处，若车轮半径OA长60 cm，∠AOB＝108°，你能算出蚂蚁所走的路程吗？这就涉及到计算弧长的问题，也是本节课要研究的第一问题．

活动2　探究新知

思考：1.弧是圆的一部分，想一想，如何计算圆周长？

2．圆周长可以看作多少度的圆心角所对的弧长？

3．1°的圆心角所对的弧长是多少？2°的圆心角所对的弧长是多少？3°的圆心角所对的弧长是多少？n°的圆心角所对的弧长又是多少呢？

4．推导出弧长公式l＝180(nπR)，强调n表示1°的圆心角的倍数，n不带单位，180也如此．

5．对于公式l＝180(nπR)，当R一定时，你能从函数的角度来理解弧长l和圆心角n的关系吗？

活动3　达标检测1

1．学生运用公式计算活动1中的问题．

2．解决教材第111页的例1.

3．完成教材第113页的练习第1，2题．

4．在半径为12的⊙O中，60°圆心角所对的弧长是(　　)

A．6πB．4πC．2πD．π

答案：4.B

活动4　自主探究

1．观察问题1中蚂蚁所围成的图形是什么？请学生独立阅读教材第112页第1自然段．

2．我们知道弧是圆的一部分，所以我们把弧长的问题转化为圆周长的问题来解决．那么扇形呢？你能类比弧长的推导方式求出扇形的面积公式吗？

3．比较弧长公式和扇形面积公式，请推导出扇形面积和对应弧长的关系．

活动5　反馈新知

1．已知扇形的半径为3 cm，面积为3π cm²，则扇形的圆心角是________°，扇形的弧长是________cm.(结果保留π)(答案：120，2π)

2．师生共同完成教材第112页例2.

3．完成教材第113页练习第3题．

4．如图，已知扇形的圆心角是直角，半径是2，则图中阴影部分的面积是________．(结果不计算近似值)(答案：π－2)

5．方法小结：

问题1：求一个图形的面积，而这个图形是未知图形时，我

们应该把未知图形化为什么图形呢？

问题2：通过以前的学习，我们又是通过什么方式把未知图形化为已知图形的呢？

活动6　达标检测2

1．120°的圆心角所对的弧长是12π cm，则此弧所在的圆的半径是________．

2．如图，在4×4的方格中(共有16个方格)，每个小方格都是边长为1的正方形．O，A，B分别是小正方形的顶点，则扇形OAB的弧长等于________．(结果保留根号及π)

3．如图，矩形ABCD中，AB＝1，AD＝，以AD的长为半径的⊙A交BC边于点E，则图中阴影部分的面积为________．

答案：1.18 cm；2.π；3.－2(1)－4(1)π.

活动7　课堂小结与作业布置

课堂小结

1．弧长公式是什么？扇形的面积公式呢？是怎样推导出来的？如何理解这两个公式？这两个公式有什么作用？这两个公式有什么联系？

2．在解决部分与整体关系的问题时，我们应学会用什么方法去解决？

3．解决不规则图形的面积问题时，我们应用什么数学思想去添加辅助线？

作业布置

教材第115页　习题24.4第1题的(1)，(2)题，第2～8题．

第2课时　圆锥的侧面积和全面积

了解圆锥母线的概念，理解圆锥侧面积计算公式，理解圆锥全面积的计算方法，并会应用公式解决问题．

通过创设情境和复习扇形面积的计算方法探索圆锥侧面积和全面积的计算公式以及应用它解决现实生活中的一些实际问题．

重点

圆锥侧面积和全面积的计算公式．

难点

探索两个公式的由来．

一、复习引入

1．什么是n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式，并请讲讲它们的异同点．

2．问题1：一种太空囊的示意图如图所示，太空囊的外表面须作特别处理，以承受重返地球大气层时与空气摩擦后产生的高热，那么该太空囊要接受防高热处理的面积应由几部分组成的．

老师点评：(1)n°圆心角所对弧长：l＝180(nπR)，S_扇形＝360(nπR2)，公式中没有n°，而是n；弧长公式中是R，分母是180；而扇形面积公式中是R²，分母是360，两者要记清，不能混淆．

(2)太空囊要接受热处理的面积应由三部分组成；圆锥的侧面积，圆柱的侧面积和底圆的面积．这三部分中，第二部分和第三部分我们已经学过，会求出其面积，但圆锥的侧面积，到目前为止，如何求，我们是无能为力，下面我们来探究它．

二、探索新知

我们学过圆柱的侧面积是沿着它的母线展开成长方形，同样道理，我们也把连接圆锥顶点和底面圆上任意一点的线段叫做圆锥的母线．

(学生分组讨论，提问两三位同学)

问题2：与圆柱的侧面积求法一样，沿母锥一条母线将圆锥侧面剪开并展平，容易得到，圆锥的侧面展开图是一个扇形，设圆锥的母线长为l，底面圆的半径为r，如图所示，那么这个扇形的半径为________，扇形的弧长为________，因此圆锥的侧面积为________，圆锥的全面积为________．

老师点评：很显然，扇形的半径就是圆锥的母线，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长．因此，要求圆锥的侧面积就是求展开图扇形面积S＝360(nπl2)，其中n可由2πr＝180(nπl)求得：n＝l(360r)，∴扇形面积S＝360(πl2)＝πrl；全面积是由侧面积和底面圆的面积组成的，所以全面积＝πrl＋πr².

例1　圣诞节将近，某家商店正在制作圣诞节的圆锥形纸帽，已知纸帽的底面周长为58 cm，高为20 cm，要制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸？(结果精确到0.1 cm²)

分析：要计算制作20顶这样的纸帽至少要用多少纸，只要计算纸帽的侧面积即可．

解：设纸帽的底面半径为r cm，母线长为l cm，则

r＝2π(58)，

l＝）2＋202(58)≈22.03，

S_纸帽侧＝πrl≈2(1)×58×22.03＝638.87(cm)，

638．87×20＝12777.4(cm²)，

所以，至少需要12777.4 cm²的纸．

例2　已知扇形的圆心角为120°，面积为300π cm².

(1)求扇形的弧长；

(2)若将此扇形卷成一个圆锥，则这个圆锥的轴截面面积为多少？

分析：(1)由S_扇形＝360(nπR2)求出R，再代入l＝180(nπR)求得．(2)若将此扇形卷成一个圆锥，扇形的弧长就是圆锥底面圆的周长，就可求圆的半径，其截面是一个以直径为底，圆锥母线为腰的等腰三角形．

解：(1)如图所示：

∵300π＝360(120πR2)，

∴R＝30，

∴弧长l＝180(120×π×30)＝20π(cm)，

(2)如图所示：

∵20π＝2πr，

∴r＝10，R＝30，

AD＝＝20，

∴S_轴截面＝2(1)×BC×AD

＝2(1)×2×10×20＝200(cm²)，

因此，扇形的弧长是20π cm，卷成圆锥的轴截面是200 cm².

三、巩固练习

教材第114页　练习1，2.

四、课堂小结

(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

1．什么叫圆锥的母线．

2．会推导圆锥的侧面积和全面积公式并能灵活应用它们解决问题．

五、作业布置

教材第115～116页　习题6，8，10.

第二十五章　概率初步

25．1　随机事件与概率

25．1.1　随机事件

了解必然发生的事件、不可能发生的事件、随机事件的特点．

了解随机事件发生的可能性是有大有小的，不同的随机事件发生的可能性的大小不同．

重点

随机事件的特点．

难点

判断现实生活中哪些事件是随机事件．

一、情境引入

分析说明下列事件能否一定发生：

①今天不上课；②煮熟的鸭子飞了；③明天地球还在转动；④木材燃烧会放出热量；⑤掷一枚硬币，出现正面朝上．

二、自主探究

1．提出问题

教师事先准备的三个袋子中分别装有10个白色的乒乓球；5个白色的乒乓球和5个黄色的乒乓球；10个黄色的乒乓球，分组讨论从这三个袋子里摸出黄色乒乓球的情况．

学生积极参加，通过操作和观察，归纳猜测出在第1个袋子中摸出黄色球是不可能的，在第2个袋子中能否摸出黄色球是不确定的，在第3个袋子中摸出黄色球是必然的．

2．概念得出

从上面的事件可看出，对于任何事件发生的可能性有三种情况：

(1)必然事件：在一定条件下必然要发生的事件；

(2)不可能事件：在一定条件下不可能发生的事件；

(3)随机事件：在一定条件下可能发生也可能不发生的事件．

3．随机事件发生的可能性有大小

袋子中有4个黑球，2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的情况下，随机地从袋子中摸出一个球．

(1)是白球还是黑球？

(2)经过多次试验，摸出的黑球和白球哪个次数多？说明了什么问题？

结论：一般地，随机事件发生的可能性有大小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．

三、巩固练习

教材第128页　练习

四、课堂小结

(学生归纳，老师点评)

本节课应掌握：

(1)必然事件，不可能事件，随机事件的概念．

(2)一般地，随机事件发生的可能性是有大小的，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同．

五、作业布置

教材第129页　练习1，2.

25．1.2　概　率

1．在具体情境中了解概率的意义，体会事件发生的可能性大小与概率的值的关系．

2．理解概率的定义及计算公式P(A)＝n(m)，明确概率的取值范围，能求简单的等可能性事件的概率．

重点

在具体情境中了解概率的意义，理解概率定义及计算公式P(A)＝n(m).

难点

了解概率的定义，理解概率计算的两个前提条件．

活动1　创设情境

(1)事件可以分为哪几类？什么是随机事件？随机事件发生的可能性一样吗？

(2)在同样的条件下，某一随机事件可能发生也可能不发生，那么它发生的可能性究竟有多大？能否用数值进行刻画呢？

这节课我们就来研究这个问题．

活动2　试验活动

试验1：每位学生拿出课前准备好的分别标有1，2，3，4，5号的5根纸签，从中随机地抽取一根，观察上面的数字，看看有几种可能．(如此多次重复)

试验2：教师随意抛掷一枚质地均匀的骰子，请学生观察骰子向上一面的点数，看看有几种不同的可能．(如此可重复多次)

(1)试验1中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？

(2)试验2中共出现了几种可能的结果？你认为这些结果出现的可能性大小相等吗？如果相等，你认为它们的可能性各为多少？

活动3　引出概率

1．从数量上刻画一个随机事件A发生的可能性的大小，我们把它叫做这个随机事件A的概率，记为P(A)．

2．概率计算必须满足的两个前提条件：

(1)每一次试验中，可能出现的结果只有有限个；

(2)每一次试验中，各种结果出现的可能性相等．

3．一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率P(A)＝________.

4．随机事件A发生的概率的取值范围是________，如果A是必然发生的事件，那么P(A)＝________，如果A是不可能发生的事件，那么P(A)＝________.

活动4　精讲例题

例1　下列事件中哪些是等可能性事件，哪些不是？

(1)运动员射击一次中靶心与不中靶心；

(2)随意抛掷一枚硬币反面向上与正面向上；

(3)随意抛掷一只可乐纸杯杯口朝上，或杯底朝上，或横卧；

(4)分别从写有1，3，5，7，9中一个数的五张卡片中任抽1张结果是1，或3，或5，或7，或9.

答案：(1)不是等可能事件；(2)是等可能事件；(3)不是等可能事件；(4)是等可能事件．

例2　学生自己阅读教材第131页～132页例1及解答过程．

例3　教师引导学生分析讲解教材第132页例2.想一想：把此题(1)和(3)两问及答案联系起来，你有什么发现？

例4　教师引导学生分析讲解教材第133页例3.

活动5　过关练习

教材第133页　练习第1～3题．

补充：1.袋子中装有5个红球3个绿球，这些球除了颜色外都相同．从袋子中随机地摸出一个球，它是红色与它是绿色的可能性相等吗？两者的概率分别是多少？

2．一个质地均匀的小正方体骰子，六个面分别标有数字1，2，2，3，4，4，掷骰子后，观察向上一面的数字．

(1)出现数字1的概率是多少？

(2)出现的数字是偶数的概率是多少？

(3)哪两个数字出现的概率相等？分别是多少？

答案：1.摸到红色球与摸到绿色球的可能性不相等，P(摸到红球)＝8(5)，P(摸到绿球)＝8(3)；2.(1)6(1)；(2)3(2)；(3)数字1和3出现的概率相同，都是6(1)，数字2和4出现的概率相同，都是3(1).

活动6　课堂小结与作业布置

课堂小结

1．随机事件概率的意义，等可能性事件的概率计算公式P(A)＝n(m).

2．概率计算的两个前提条件：可能出现的结果只有有限个；各种结果出现的可能性相同．

作业布置

教材第134页～135页　习题第3～6题.25.2　用列举法求概率(2课时)

第1课时　用列举法和列表法求概率

1．会用列举法和列表法求简单事件的概率．

2．能利用概率知识解决计算涉及两个因素的一个事件概率的简单实际问题．

重点

正确理解和区分一次试验中涉及两个因素与所包含的两步试验．

难点

当可能出现的结果很多时，会用列表法列出所有可能的结果．

活动1　创设情境

我们在日常生活中经常会做一些游戏，游戏规则制定是否公平，对游戏者来说非常重要，其实这就是一个游戏双方获胜概率大小的问题．

下面我们来做一个小游戏，规则如下：

老师向空中抛掷两枚同样的一元硬币，如果落地后一正一反，老师赢；如果落地后两面一样，你们赢．请问：你们觉得这个游戏公平吗？

学生思考计算后回答问题：把其所能产生的结果全部列出来，应该是正正、正反、反正、反反，共有四种可能，并且每种结果出现的可能性相同．

(1)记满足两枚硬币一正一反的事件为A，则P(A)＝4(2)＝2(1)；

(2)记满足两枚硬币两面一样的事件为B，则P(B)＝4(2)＝2(1).

由此可知，双方获胜的概率一样，所以游戏是公平的．

当一次试验涉及两个因素，并且可能出现的结果数目比较少时，我们看到结果很容易被全部列出来；若出现结果的数目较多时，要想不重不漏地列出所有可能的结果，还有什么更好的方法呢？我们来看下面的这个问题．

活动2　探索交流

例1　为活跃联欢晚会的气氛，组织者设计了以下转盘游戏：A，B两个带指针的转盘分别被分成三个面积相等的扇形，转盘A上的数字分别是1，6，8，转盘B上的数字分别是4，5，7(两个转盘除表面数字不同外，其他完全相同)．每次选择2名同学分别拨动A，B两个转盘上的指针，使之产生旋转，指针停止后所指数字较大的一方为获胜者，负者则表演一个节目(若箭头恰好停留在分界线上，则重转一次)．作为游戏者，你会选择哪个装置呢？并请说明理由．

在这个环节里，首先可以让学生自己用列举法列出所有的情况，很多学生会发现列出所有的情况会有困难，会漏掉一些情况．这个时候可以要求学生分组讨论，探索交流，然后引导学生将实际问题转化为数学问题，即“停止转动后，哪个转盘指针所指数字较大的可能性更大呢？”

由于事件的随机性，我们必须考虑事件发生概率的大小．此时，首先引导学生观看转盘动画，同学们会发现这个游戏涉及A，B两个转盘，即涉及两个因素，与上节课所讲授单转盘概率问题相比，可能产生的结果数目增多了，变复杂了，列举时很容易造成重复或遗漏．怎样避免这个问题呢？

实际上，可以将这个游戏分两步进行，教师指导学生构造下列表格：

B
A	4	5	7
1
6
8

　　分析：首先考虑转动A盘：指针可能指向1，6，8三个数字中的任意一个，可能出现的结果就会有3个；接着考虑转动B盘：当A盘指针指向1时，B盘指针可能指向4，5，7三个数字中的任意一个．当A盘指针指向6或8时，B盘指针同样可能指向4，5，7三个数字中的任意一个，这样一共会产生9种不同的结果．

学生独立填写表格，通过观察与计算，得出结论(即列表法)．

B
A	4	5	7
1	(1，4)	(1，5)	(1，7)
6	(6，4)	(6，5)	(6，7)
8	(8，4)	(8，5)	(8，7)

从表中可以发现：A盘数字大于B盘数字的结果共有5种，而B盘数字大于A盘数字的结果共有4种．

∴P(A数较大)＝9(5)，P(B数较大)＝9(4)，∴P(A数较大)＞P(B数较大)，∴选择A装置的获胜可能性较大．

在学生填写表格过程中，注意向学生强调数对的有序性．

由于游戏是分两步进行的，我们也可用其他的方法来列举．即先转动B盘，可能出现4，5，7三种结果；第二步考虑转动A盘，可能出现1，6，8三种情况．

活动3　例题精讲

通过上面例1的分析，学生对用列表法求概率有了初步的了解，为了帮助学生熟练掌握这种方法，教师引导学生分析解决教材第136页例2.然后引导学生进行题后小结：

当一个事件要涉及两个因素并且可能出现的结果数目较多时，通常采用列表法．运用列表法求概率的步骤如下：

(1)列表；

(2)通过表格计数，确定公式P(A)＝n(m)中的m和n的值；

(3)利用公式P(A)＝n(m)计算事件发生的概率．

活动4　过关练习

教材第138页　练习第1～2题．

活动5　课堂小结与作业布置

课堂小结

引导学生从知识、方法、情感三方面来谈一谈这节课的收获，要求每个学生在组内交流，派小组代表发言．

作业布置

教材第139页～140页　习题第1～3题和第5题．第2课时　用树状图求概率

1．理解并掌握用树状图求概率的方法，并利用它们解决问题．

2．正确认识在什么条件下使用列表法，在什么条件下使用树状图法．

重点

理解树状图的应用方法及条件，用画树状图的方法求概率．

难点

用树状图列举各种可能的结果，求实际问题中的概率．

一、复习引入

用列举法求概率的方法．

(1)总共有几种可能，即求出n；

(2)每个事件中有几种可能的结果，即求出m，从而求出概率．

什么时候用列表法？

列举所有可能的结果的方法有哪些？

二、探索新知

画树状图求概率

例1　甲口袋中装有2个相同的球，它们分别写有字母A和B；乙口袋中3个相同的球，它们分别写有字母C，D和E；丙口袋中2个相同的球，它们分别写有字母H和I.从三个口袋中各随机地取出1个球．

(1)取出的三个球上恰好有1个、2个和3个元音字母的概率分别为多少？

(2)取出的三个球上全是辅音字母的概率是多少？

例1与上节课的例题比较，有所不同：要从三个袋子里摸球，即涉及到三个因素．此时同学们会发现用列表法就不太方便，可以尝试树状图法．

本游戏可分三步进行．分步画图和分类排列相关的结论是解题的关键．

从图形上可以看出所有可能出现的结果共有12个，即：

AAAAAABBBBBB

C  C  D  D  E  E  C  C  D  D  E  E

H  I  H  I  H  I  H  I  H  I  H  I

(幻灯片上用颜色区分)

这些结果出现的可能性相等．

(1)只有一个元音字母的结果(黄色)有5个，即ACH，ADH，BCI，BDI，BEH，所以P(1个元音)＝12(5)；

有两个元音的结果(白色)有4个，即ACI，ADI，AEH，BEI，所以P(2个元音)＝12(4)＝3(1)；

全部为元音字母的结果(绿色)只有1个，即AEI，所以P(3个元音)＝12(1).

(2)全是辅音字母的结果(红色)共有2个，即BCH，BDH，所以P(3个辅音)＝12(2)＝6(1).

通过例1的解答，很容易得出题后小结：

当一次试验要涉及3个或更多的因素时，通常采用“画树形图”．

运用树状图法求概率的步骤如下：(幻灯片)

①画树状图；

②列出结果，确定公式P(A)＝n(m)中m和n的值；

③利用公式P(A)＝n(m)计算． 

三、巩固练习

教材第139页　练习

四、课堂小结

本节课应掌握：

1．利用树状图法求概率．

2．什么时候用列表法，什么时候用树状图法，各自的应用特点：有两个元素且情况较多时用列表法，当有三个或三个以上元素时用树状图法．

五、作业布置

教材第140页　习题6，9.25.3　用频率估计概率 

1．当试验的可能结果不是有限个，或各种结果发生的可能性不相等时，一般用统计频率的方法来估计概率．

2．会设计模拟试验，能应用模拟试验求概率．

重点 对利用频率估计概率的理解和应用．

难点 对利用频率估计概率的理解．

一、情境引入

某篮球运动员在最近的几场大赛中罚球投篮的结果如下：

投篮次数n	8	10	12	9	16	10
进球次数m	6	8	9	7	12	7
进球频率mn

(1)计算表中各次比赛进球的频率；

(2)这位运动员投篮一次，进球的概率约为多少？

解答：(1)0.75，0.8，0.75，0.78，0.75，0.7；

(2)0.75.

二、自主探究

利用频率估计概率

1．试验要求：

(1)把全班分成10或12组，每组中有一名学生投掷硬币，另一名同学做记录，其余同学观察试验，计算结果，各组必须在同样条件下进行．

(2)明确任务，每组掷币50次，认真统计“正面朝上”的频数，算出“正面朝上”的频率，整理试验的数据，并记录下来．

2．各组汇报试验结果：

把各组试验数据汇报给教师，教师积累后填入表格，板书，学生计算出累加后的频率．(由于试验次数较小，有可能有些组的最后结果和自己的猜想有出入)

3．根据列表填在教材第142页图中，观察频率变化情况，小组交流后阐述所得结论．

4．思考：教材第143页“思考”．

5．问题1：教材第144页问题1.

分析：幼树的成活率是实际问题中的概率，在这个实验过程中，移植总数无限，每一棵小苗成活的可能性不相等，所以不能用列举法求概率，只能用频率估计概率．

解：教师引导学生完成

方法总结：(1)先计算出每次试验的频率；

(2)观察频率活动情况，选择最接近且围绕波动的频率数作为概率．

用频率估计概率的应用

教材第145页问题2

分析：学生阅读表25－6提供的信息：

(1)估测出损坏率．(实质也是概率问题)

(2)算出完好柑橘的质量．

(3)计算出实际成本，再确定定价．

三、巩固练习

教材第147页　练习．

四、课堂小结

(1)利用频率估计概率，建立在大量重复试验的基础上．

(2)利用频率估计概率，得到的概率是近似值．

五、作业布置

教材第147～148页　习题1，2，5.