军事与数学（七）
开车？算个毛线，作为一个军事博主，我可是会开船的！
今天来聊聊军事航海中的数学。
什么叫军事航海？军事航海就是指海军舰艇日常航行与遂行战斗任务的航海活动，是航海学在军事上的应用和发展。是舰艇在各种条件下安全航行和舰载武器有效使用的重要保证手段，为舰艇各级指挥员必备的军事知识和技术之一。与舰船结构和动力学、船艺、战术、海洋地理、海洋水文、海洋气象、电子学、计算机技术等密切相关。
舰艇指挥这块我们暂且按下不表，上段最后一句话翻译过来就是和大量的数学有关。
地球，是一颗美丽而神秘的星球。地球的表面超过70%的面积被生命之源——水所覆盖（请自行脑补赵忠祥老师的雄浑嗓音），所以开船远远比开车重要的多的多。
这就是为什么平时我不喜欢在微博上开车的重要原因。
在陆地上行车，我们会有很多的办法来辨识方位，但是在茫茫的大海上可是没有参照物的。我曾经在祖国的东海上跑过船，那真的是一望无际的大海，陆地上的方向感完全没有任何作用，甚至于想在海上找个基准点然后沿着直线走过去都是痴心妄想。所以我们必须要有一套方法来在海上判断方位。
Lucky！We have math！
中国国土面积最大的省份是新疆，面积160万平方公里。
以下这段对话在新疆并不算玩笑：
甲：诶，阿达西，这个地方在哪儿嘛？
乙：外江外江，这个地方近的很嘛，出门右转六百公里。。。
我也曾和新疆的朋友聊过：
我：你们新疆太大了，乌鲁木齐到喀什有1700公里！
友：没有那么远，只有1500公里！
我：恩？我记得是1700啊！
友：外日，不差那200公里。。。
我。。。。
不过这个距离相对地球的尺度来说，确实是微不足道的。
我们的地球可以近似地看成一个球体，赤道的周长约4万千米。当然，我们所指的赤道是指地理上的赤道。事实上，如果从几何的角度来说，赤道是指球面上任意一个以球心为圆心的大圆。区区600千米，相对于40000千米来说，仅仅占到了1.5。我们知道，一个圆的圆周角是360°，也就是说，600千米的圆弧对应的圆心角仅为5.4°。在这样的尺度内，弧可以近似成一条线段——类似于等价无穷小的替换中x和sinx之间可以替换那样。而且由于地形的不断变化导致我们的视觉受到了欺骗，所以我们始终感觉在平面上运动。
相对于陆地来说，大海就要诚实的多。海洋上面没有什么地形地貌的影响。曾经有一首脍炙人口的诗直击海洋的本质：
大海啊，都是水！
我们在海边看到有帆船从远方驶来时，总是先看到桅杆，再看见船身，而目送帆船远去时，先是看不见船身，最后才看不见桅杆。这充分地说明了地球是个球体。
问题来了：我们该如何在球面上确定距离以及相对位置呢？
我们第一想到的就是欧几里得发现的平面几何工具。但是平面几何只能处理直的情况，对于弯的情况（想歪的拖出去打死）欧几里得就是再生也没有能力处理：因为你在球面上无法找到直线！
幸亏我们有球面几何。
球面几何顾名思义就是指在球面上如何计算角度、距离的几何。我们平时所处的空间，相对于整个地球来说是个非常非常小的局部，因此可以近似地看成是平面。所以欧氏几何是适用的。包括两点之间距离最短，三角形内角和是180°等耳熟能详的结论。
球面上第一个要解决的问题是如何找到球面上的直线。
什么是直线？
我们会发现这玩意你明白是个啥，但是真下定义还挺麻烦。如果借助曲率的概念那就方便多了，曲率为0的曲线就是直线——但是你会一脸蒙圈地看着我：啥是曲率？这天又聊不下去了。
我们从局部最短性来描述直线。在平面上，连接两点之间最短的曲线就是线段。这两点不断拉开，以至于跑到无穷远了，那么就是直线了。我们可以把局部最短的性质延拓到曲面上去。曲面上任意两点间距离最短的曲线，我们可以看成是曲面上的直线，几何上叫测地线（geodesic）。
我们发现，圆锥，圆柱这两种曲面可以沿着母线剪开，然后摊平成一张平面，所以这两种曲面上两点间最短距离的曲线就转化成了平面上的直线，很容易解决。我们把锥面、柱面还有切线面这三种曲面称为可展曲面，也就是能变成平面的曲面。在这些曲面上我们可以用平面几何解决很多问题。
但是球面并不是可展曲面。你把乒乓球随便怎么剪开，不可能再不加压力的情况下把球面变成一张平面，所以球面上的测地线并不是那么好找。
但是几何直观告诉我们，球面上的测地线应该就是大圆，而两点间的最短距离就应该是过这两点的大圆的劣弧。我们知道，三角形在解决平面上的距离、角度问题中有着非常重要的作用，所以球面三角对于航海来说简直就是神器。
球面上圆心在球心的三个大圆弧所围成的闭合图形，叫做球面三角形。球面三角就是研究球面三角形的解法，即依据球面三角形的已知元素（边、角）来解算其他未知元素。 从十六世纪起，由于天文学、航海学、测量学等方面的发展，球面三角逐渐形成了独立学科。
从前面的描述中我们知道，线的问题解决了，如何定义角呢？我们把两条弧在交点处的两条切线的夹角称为球面上的角。很显然，球面三角形的内角和是大于180°的。
解三角形的时候，正弦定理和余弦定理常用工具，球面三角也一样，不过要复杂一些。这里a,b,c表示弧的弧度，A,B,C表示弧所夹的角。我们有以下的余弦及正弦定理：
从以上公式可以看出来，我们如果知道了三个以上的元素，基本可以把其他几个元素解出来了。
当然，球面三角的历史比微分几何要早一些。毕竟球面是特殊的曲面，所以可以先于一般的曲面得到很多有用的结论，但是，在球面三角被发现之前呢？
对于早期探险的海上航行来说，确定距离倒还不是那么的紧迫，确定方位更重要。最初航海者通过白天观察太阳的高度，夜间观察北极星的方位来判断所处的纬度，依靠天体定位，航海家使用一种很简单的仪器来测量天体角度，称之为“雅各竿”。观测者有两根竿子在顶端连接起来，底下一根与地平线平行，上面一根对准天体（星星或太阳），就能量出偏角。然后利用偏角差来计算纬度和航程。这种技术被称做“纬度航行”，在测量纬度比较成功， 但确定经度却非常困难。尽管如此，“纬度航行”的方法仍在西欧被很普遍地采用，把自己置于与目的地相同的纬度线上，然后保持在这条线上航行，就能直到目的地。不过这并不是完全科学的，即使在今天，利用天文定位误差仍会在1-2海里左右，那时几乎没有象样的航海工具，误差之大可以想象。
人类最早被发明的航海工具是罗盘，也就是指南针的雏形。最初的时候，人们仅在天气情况恶劣，无法看到太阳和北极星，也不知道船首驶向何方才使用罗盘。航海者会在一块磁石摩擦一个铁针，使其产生磁性，并将其固定在一根稻草上，并悬浮于一碗水中，这样有了磁性的铁针就会自动指向北方。指南针约在12世纪由中国传入欧洲，后来又被欧洲的航海家改造成“指北”方向。到1250年左右，航海磁罗盘已发展到能连续测量出所有的水平方向，精确度在3°以内。但磁罗盘并不是很快地为欧洲人普遍接受。由于人们还无法科学地解释指针为什么能“找到”北方，而且人们很快发现，这些针所指的北方经常不准确。因为他们不知道铁针所指的是磁北极，而并非真正的北方（期间的角度被称为磁偏角）。在那时人们无法解释这些现象，因而在一个未知的地方航行就并不是很相信罗盘的指针。所以最初罗盘很具有神秘色彩，一般的航海水手都不敢使用，只有那些大胆而又谨慎的船长才暗暗地使用，把它装入一个小盒内，不让别人看到。而指南针在欧洲得以广泛使用，则是13世纪后期的事情。
在球面三角出现以后，航海的精度就大大提高了，球面三角另一个重要的应用就是六分仪。
六分仪是用来测量远方两个目标之间夹角的光学仪器。通常用它测量某一时刻太阳或其他天体与海平线或地平线的夹角﹐以便迅速得知海船或飞机所在位置的经纬度。六分仪的原理是由神仙牛顿爷爷首先提出的。六分仪具有扇状外形﹐其组成部分包括一架小望远镜，一个半透明半反射的固定平面镜即地平镜﹐一个与指标相联的活动反射镜即指标镜。六分仪的刻度弧为圆周的1/6。使用时﹐观测者手持六分仪﹐转动指标镜﹐使在视场里同时出现的天体与海平线重合。根据指标镜的转角可以读出天体的高度角﹐其误差约为±0.2°～±1°。
历史上，六分仪除了在航海方面发挥了重大作用外，还曾帮助天文学家编制高精度星表。而星表的编制也促进了航海的发展，同时还给地理坐标的测量带来了重大进步。这一切的理论基础，就是这球面三角。 当然，随着现代测量技术和计算机技术的日新月异，确定出方位距离就是眨眼间的事情，但是这里蕴含的数学基础我们仍然应该感谢。
所以，有了这些仪器和理论基础，才能帮助我们的战舰找的准目标，同时制定出最合理的战术歼敌于千里之外！
网友评论：
@椒江叶Sir: 不明觉厉，就是一半多没看懂。[允悲]
@给我一杯福佳白: 数学博主！！！开船了？？？
@军迷张晓予:文科生表示看完只有盲目的崇拜。[跪了]
@餐肉饮血小羊羔:借贵宝地科普一下新疆距离概念：1000公里以内，我们认为很近，1000公里-1500公里，我们认为有点儿距离，1500公里-2000公里，我们认为远，2000公里以上，我们认为比较远。这并不是吹牛，因为2000公里，可能还没有出新疆……例如博乐到和田，比较远，超过2500公里了，但是还在疆内。
@倾听指尖: 看不懂！这样的作业，我不交。。//@贼叉:课代表你好！//@军令部长:收数学作业了[doge]//@军迷刘凯强同学:提数学就头疼[允悲]
@金陵上空的鹰: 因为她就是数学不好才当的马路吸尘器//@贼叉:为什么！//@饼干姐:看完了尽情殴打博主。
@天中捕快:跟我提数学的人我会一天恨他三遍[允悲]
@贼叉: 下一章就写了，地图怎么绘制的//@一脚张钱峰:说实话真正的点子还没说到，说航海怎么能不提墨卡托海图。
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