原创:机器学习代码练习(一、回归)
吴恩达老师在coursea上的机器学习课程的作业是OCTAVE(matlab)做的,当时python还不怎么流行,现在吴恩达老师也用python了,我把原课程作业用python重新写了一遍,并放在我的github上。(黄海广)
本文是第一部分,回归作业的重构。
机器学习练习 1 - 回归
单变量线性回归
代码修改并注释:黄海广,haiguang2000@qq.com
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
path = 'data/ex1data1.txt'
#这里读取原始作业的数据
data = pd.read_csv(path, header=None, names=['Population', 'Profit'])
data.head()
数据长这样:
看下数据长什么样子:
data.plot(kind='scatter', x='Population', y='Profit', figsize=(8,6))
plt.show()
现在让我们使用梯度下降来实现线性回归,以最小化成本函数。
首先,我们将创建一个代价函数:
其中:
def computeCost(X, y, theta):
inner = np.power(((X * theta.T) - y), 2)# (m,n) @ (n, 1) -> (n, 1)
# return np.sum(inner) / (2 * len(X))
return np.sum(inner) / (2 * X.shape[0])
让我们在训练集中添加一列,以便我们可以使用向量化的解决方案来计算代价和梯度。
data.insert(0, 'Ones', 1)
data.head()
# set X (training data) and y (target variable)
cols = data.shape[1]
X = data.iloc[:,:cols-1]#X是所有行,去掉最后一列
y = data.iloc[:,cols-1:]#X是所有行,最后一列
代价函数是应该是numpy矩阵,所以我们需要转换X和Y,然后才能使用它们。我们还需要初始化theta。
X = np.matrix(X.values)
y = np.matrix(y.values)
theta = np.matrix(np.array([0,0]))
看下维度:
X.shape, theta.shape, y.shape
输出:
计算代价函数 (theta初始值为0).
computeCost(X, y, theta)
batch gradient decent(批量梯度下降)
def gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters):
temp = np.matrix(np.zeros(theta.shape))
parameters = int(theta.ravel().shape[1])
cost = np.zeros(iters)
for i in range(iters):
error = (X * theta.T) - y
for j in range(parameters):
term = np.multiply(error, X[:,j])
temp[0,j] = theta[0,j] - ((alpha / len(X)) * np.sum(term))
theta = temp
cost[i] = computeCost(X, y, theta)
return theta, cost
初始化一些附加变量 - 学习速率alpha和要执行的迭代次数。
alpha = 0.01
iters = 1000
现在让我们运行梯度下降算法来将我们的参数theta合于训练集。
g, cost = gradientDescent(X, y, theta, alpha, iters)
g
最后,我们可以使用我们拟合的参数计算训练模型的代价函数(误差)。
computeCost(X, y, g)
现在我们来绘制线性模型以及数据,直观地看出它的拟合。
x = np.linspace(data.Population.min(), data.Population.max(), 100)
#np.linspace在指定的间隔内返回均匀间隔的数字。
f = g[0, 0] + (g[0, 1] * x)
fig, ax = plt.subplots(figsize=(10,6))
ax.plot(x, f, 'r', label='Prediction')
ax.scatter(data.Population, data.Profit, label='Traning Data')
ax.legend(loc=2)
ax.set_xlabel('Population')
ax.set_ylabel('Profit')
ax.set_title('Predicted Profit vs. Population Size')
plt.show()
由于梯度方程式函数也在每个训练迭代中输出一个代价的向量,所以我们也可以绘制。请注意,代价总是降低 - 这是凸优化问题的一个例子。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()
多变量线性回归
练习1还包括一个房屋价格数据集,其中有2个变量(房子的大小,卧室的数量)和目标(房子的价格)。我们使用我们已经应用的技术来分析数据集。
path = 'data/ex1data2.txt'
data2 = pd.read_csv(path, header=None, names=['Size', 'Bedrooms', 'Price'])
data2.head()
对于此任务,我们添加了另一个预处理步骤 - 特征归一化。这个对于pandas来说很简单
data2 = (data2 - data2.mean()) / data2.std()
data2.head()
现在我们重复第1部分的预处理步骤,并对新数据集运行线性回归程序。
添加一列
data2.insert(0, 'Ones', 1)
设置X和y
cols = data2.shape[1]
X2 = data2.iloc[:,0:cols-1]
y2 = data2.iloc[:,cols-1:cols]
转为矩阵并且初始化theta
X2 = np.matrix(X2.values)
y2 = np.matrix(y2.values)
theta2 = np.matrix(np.array([0,0,0]))
g2, cost2 = gradientDescent(X2, y2, theta2, alpha, iters)
得到模型误差
computeCost(X2, y2, g2)
我们也可以快速查看这一个的训练进程。
fig, ax = plt.subplots(figsize=(12,8))
ax.plot(np.arange(iters), cost2, 'r')
ax.set_xlabel('Iterations')
ax.set_ylabel('Cost')
ax.set_title('Error vs. Training Epoch')
plt.show()
normal equation(正规方程)
正规方程是通过求解下面的方程来找出使得代价函数最小的参数的: 。 假设我们的训练集特征矩阵为 X(包含了)并且我们的训练集结果为向量 y,则利用正规方程解出向量 。 上标 T 代表矩阵转置,上标-1 代表矩阵的逆。设矩阵,则:
梯度下降与正规方程的比较:
梯度下降:需要选择学习率 α,需要多次迭代,当特征数量 n 大时也能较好适用,适用于各种类型的模型
正规方程:不需要选择学习率 α,一次计算得出,需要计算,如果特征数量 n 较大则运算代价大,因为矩阵逆的计算时间复杂度为,通常来说当小于 10000 时还是可以接受的,只适用于线性模型,不适合逻辑回归模型等其他模型。
# 正规方程
def normalEqn(X, y):
theta = np.linalg.inv(X.T@X)@X.T@y#X.T@X等价于X.T.dot(X)
return theta
final_theta2=normalEqn(X, y)#感觉和批量梯度下降的theta的值有点差距
final_theta2
输出:
matrix([[-3.89578088],[ 1.19303364]])
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