复现经典：《统计学习方法》第 3 章 k 近邻法

本文是李航老师的《统计学习方法》^[1]一书的代码复现。

作者：黄海广^[2]

备注：代码都可以在github^[3]中下载。

我将陆续将代码发布在公众号“机器学习初学者”，敬请关注。

代码目录

• 第 1 章 统计学习方法概论
• 第 2 章 感知机
• 第 3 章 k 近邻法
• 第 4 章 朴素贝叶斯
• 第 5 章 决策树
• 第 6 章 逻辑斯谛回归
• 第 7 章 支持向量机
• 第 8 章 提升方法
• 第 9 章 EM 算法及其推广
• 第 10 章 隐马尔可夫模型
• 第 11 章 条件随机场
• 第 12 章 监督学习方法总结

代码参考：wzyonggege^[4],WenDesi^[5],火烫火烫的^[6]

第 3 章 k 近邻法

1．近邻法是基本且简单的分类与回归方法。近邻法的基本做法是：对给定的训练实例点和输入实例点，首先确定输入实例点的个最近邻训练实例点，然后利用这个训练实例点的类的多数来预测输入实例点的类。

2．近邻模型对应于基于训练数据集对特征空间的一个划分。近邻法中，当训练集、距离度量、值及分类决策规则确定后，其结果唯一确定。

3．近邻法三要素：距离度量、值的选择和分类决策规则。常用的距离度量是欧氏距离及更一般的pL距离。值小时，近邻模型更复杂；值大时，近邻模型更简单。值的选择反映了对近似误差与估计误差之间的权衡，通常由交叉验证选择最优的。

常用的分类决策规则是多数表决，对应于经验风险最小化。

4．近邻法的实现需要考虑如何快速搜索 k 个最近邻点。kd树是一种便于对 k 维空间中的数据进行快速检索的数据结构。kd 树是二叉树，表示对维空间的一个划分，其每个结点对应于维空间划分中的一个超矩形区域。利用kd树可以省去对大部分数据点的搜索， 从而减少搜索的计算量。

距离度量

设特征空间是维实数向量空间 ，,, ，则：,的距离定义为:

•  曼哈顿距离
•  欧氏距离
•  切比雪夫距离

import math
from itertools import combinations

def L(x, y, p=2):
    # x1 = [1, 1], x2 = [5,1]
    if len(x) == len(y) and len(x) > 1:
        sum = 0
        for i in range(len(x)):
            sum += math.pow(abs(x[i] - y[i]), p)
        return math.pow(sum, 1 / p)
    else:
        return 0

课本例 3.1

x1 = [1, 1]
x2 = [5, 1]
x3 = [4, 4]

# x1, x2
for i in range(1, 5):
    r = {'1-{}'.format(c): L(x1, c, p=i) for c in [x2, x3]}
    print(min(zip(r.values(), r.keys())))

(4.0, '1-[5, 1]')
(4.0, '1-[5, 1]')
(3.7797631496846193, '1-[4, 4]')
(3.5676213450081633, '1-[4, 4]')

python 实现，遍历所有数据点，找出个距离最近的点的分类情况，少数服从多数

import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline

from sklearn.datasets import load_iris
from sklearn.model_selection import train_test_split
from collections import Counter

# data
iris = load_iris()
df = pd.DataFrame(iris.data, columns=iris.feature_names)
df['label'] = iris.target
df.columns = ['sepal length', 'sepal width', 'petal length', 'petal width', 'label']
# data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])

df.head(10)

	sepal length	sepal width	petal length	petal width	label
0	5.1	3.5	1.4	0.2	0
1	4.9	3.0	1.4	0.2	0
2	4.7	3.2	1.3	0.2	0
3	4.6	3.1	1.5	0.2	0
4	5.0	3.6	1.4	0.2	0
5	5.4	3.9	1.7	0.4	0
6	4.6	3.4	1.4	0.3	0
7	5.0	3.4	1.5	0.2	0
8	4.4	2.9	1.4	0.2	0
9	4.9	3.1	1.5	0.1	0

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

data = np.array(df.iloc[:100, [0, 1, -1]])
X, y = data[:,:-1], data[:,-1]
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.2)

class KNN:
    def __init__(self, X_train, y_train, n_neighbors=3, p=2):
        """
        parameter: n_neighbors 临近点个数
        parameter: p 距离度量
        """
        self.n = n_neighbors
        self.p = p
        self.X_train = X_train
        self.y_train = y_train

    def predict(self, X):
        # 取出n个点
        knn_list = []
        for i in range(self.n):
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            knn_list.append((dist, self.y_train[i]))

        for i in range(self.n, len(self.X_train)):
            max_index = knn_list.index(max(knn_list, key=lambda x: x[0]))
            dist = np.linalg.norm(X - self.X_train[i], ord=self.p)
            if knn_list[max_index][0] > dist:
                knn_list[max_index] = (dist, self.y_train[i])

        # 统计
        knn = [k[-1] for k in knn_list]
        count_pairs = Counter(knn)
#         max_count = sorted(count_pairs, key=lambda x: x)[-1]
        max_count = sorted(count_pairs.items(), key=lambda x: x[1])[-1][0]
        return max_count

    def score(self, X_test, y_test):
        right_count = 0
        n = 10
        for X, y in zip(X_test, y_test):
            label = self.predict(X)
            if label == y:
                right_count += 1
        return right_count / len(X_test)

clf = KNN(X_train, y_train)

clf.score(X_test, y_test)

1.0

test_point = [6.0, 3.0]
print('Test Point: {}'.format(clf.predict(test_point)))

Test Point: 1.0

plt.scatter(df[:50]['sepal length'], df[:50]['sepal width'], label='0')
plt.scatter(df[50:100]['sepal length'], df[50:100]['sepal width'], label='1')
plt.plot(test_point[0], test_point[1], 'bo', label='test_point')
plt.xlabel('sepal length')
plt.ylabel('sepal width')
plt.legend()

scikit-learn 实例

from sklearn.neighbors import KNeighborsClassifier

clf_sk = KNeighborsClassifier()
clf_sk.fit(X_train, y_train)

KNeighborsClassifier(algorithm='auto', leaf_size=30, metric='minkowski',
           metric_params=None, n_jobs=None, n_neighbors=5, p=2,
           weights='uniform')

clf_sk.score(X_test, y_test)

1.0

sklearn.neighbors.KNeighborsClassifier

• n_neighbors: 临近点个数
• p: 距离度量
• algorithm: 近邻算法，可选{'auto', 'ball_tree', 'kd_tree', 'brute'}
• weights: 确定近邻的权重

kd 树

kd树是一种对 k 维空间中的实例点进行存储以便对其进行快速检索的树形数据结构。

kd树是二叉树，表示对维空间的一个划分（partition）。构造kd树相当于不断地用垂直于坐标轴的超平面将维空间切分，构成一系列的 k 维超矩形区域。kd 树的每个结点对应于一个维超矩形区域。

构造kd树的方法如下：

构造根结点，使根结点对应于维空间中包含所有实例点的超矩形区域；通过下面的递归方法，不断地对维空间进行切分，生成子结点。在超矩形区域（结点）上选择一个坐标轴和在此坐标轴上的一个切分点，确定一个超平面，这个超平面通过选定的切分点并垂直于选定的坐标轴，将当前超矩形区域切分为左右两个子区域 （子结点）；这时，实例被分到两个子区域。这个过程直到子区域内没有实例时终止（终止时的结点为叶结点）。在此过程中，将实例保存在相应的结点上。

通常，依次选择坐标轴对空间切分，选择训练实例点在选定坐标轴上的中位数 （median）为切分点，这样得到的kd树是平衡的。注意，平衡的kd树搜索时的效率未必是最优的。

构造平衡 kd 树算法

输入：维空间数据集，

其中 ，；

输出：kd树。

（1）开始：构造根结点，根结点对应于包含的维空间的超矩形区域。

选择为坐标轴，以 T 中所有实例的坐标的中位数为切分点，将根结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴垂直的超平面实现。

由根结点生成深度为 1 的左、右子结点：左子结点对应坐标小于切分点的子区域， 右子结点对应于坐标大于切分点的子区域。

将落在切分超平面上的实例点保存在根结点。

（2）重复：对深度为的结点，选择为切分的坐标轴，，以该结点的区域中所有实例的坐标的中位数为切分点，将该结点对应的超矩形区域切分为两个子区域。切分由通过切分点并与坐标轴垂直的超平面实现。

由该结点生成深度为的左、右子结点：左子结点对应坐标小于切分点的子区域，右子结点对应坐标大于切分点的子区域。

将落在切分超平面上的实例点保存在该结点。

（3）直到两个子区域没有实例存在时停止。从而形成kd树的区域划分。

# kd-tree每个结点中主要包含的数据结构如下
class KdNode(object):
    def __init__(self, dom_elt, split, left, right):
        self.dom_elt = dom_elt  # k维向量节点(k维空间中的一个样本点)
        self.split = split  # 整数（进行分割维度的序号）
        self.left = left  # 该结点分割超平面左子空间构成的kd-tree
        self.right = right  # 该结点分割超平面右子空间构成的kd-tree


class KdTree(object):
    def __init__(self, data):
        k = len(data[0])  # 数据维度

        def CreateNode(split, data_set):  # 按第split维划分数据集exset创建KdNode
            if not data_set:  # 数据集为空
                return None
            # key参数的值为一个函数，此函数只有一个参数且返回一个值用来进行比较
            # operator模块提供的itemgetter函数用于获取对象的哪些维的数据，参数为需要获取的数据在对象中的序号
            #data_set.sort(key=itemgetter(split)) # 按要进行分割的那一维数据排序
            data_set.sort(key=lambda x: x[split])
            split_pos = len(data_set) // 2  # //为Python中的整数除法
            median = data_set[split_pos]  # 中位数分割点
            split_next = (split + 1) % k  # cycle coordinates

            # 递归的创建kd树
            return KdNode(
                median,
                split,
                CreateNode(split_next, data_set[:split_pos]),  # 创建左子树
                CreateNode(split_next, data_set[split_pos + 1:]))  # 创建右子树

        self.root = CreateNode(0, data)  # 从第0维分量开始构建kd树,返回根节点


# KDTree的前序遍历
def preorder(root):
    print(root.dom_elt)
    if root.left:  # 节点不为空
        preorder(root.left)
    if root.right:
        preorder(root.right)

# 对构建好的kd树进行搜索，寻找与目标点最近的样本点：
from math import sqrt
from collections import namedtuple

# 定义一个namedtuple,分别存放最近坐标点、最近距离和访问过的节点数
result = namedtuple("Result_tuple",
                    "nearest_point  nearest_dist  nodes_visited")


def find_nearest(tree, point):
    k = len(point)  # 数据维度

    def travel(kd_node, target, max_dist):
        if kd_node is None:
            return result([0] * k, float("inf"),
                          0)  # python中用float("inf")和float("-inf")表示正负无穷

        nodes_visited = 1

        s = kd_node.split  # 进行分割的维度
        pivot = kd_node.dom_elt  # 进行分割的“轴”

        if target[s] <= pivot[s]:  # 如果目标点第s维小于分割轴的对应值(目标离左子树更近)
            nearer_node = kd_node.left  # 下一个访问节点为左子树根节点
            further_node = kd_node.right  # 同时记录下右子树
        else:  # 目标离右子树更近
            nearer_node = kd_node.right  # 下一个访问节点为右子树根节点
            further_node = kd_node.left

        temp1 = travel(nearer_node, target, max_dist)  # 进行遍历找到包含目标点的区域

        nearest = temp1.nearest_point  # 以此叶结点作为“当前最近点”
        dist = temp1.nearest_dist  # 更新最近距离

        nodes_visited += temp1.nodes_visited

        if dist < max_dist:
            max_dist = dist  # 最近点将在以目标点为球心，max_dist为半径的超球体内

        temp_dist = abs(pivot[s] - target[s])  # 第s维上目标点与分割超平面的距离
        if max_dist < temp_dist:  # 判断超球体是否与超平面相交
            return result(nearest, dist, nodes_visited)  # 不相交则可以直接返回，不用继续判断

        #----------------------------------------------------------------------
        # 计算目标点与分割点的欧氏距离
        temp_dist = sqrt(sum((p1 - p2)**2 for p1, p2 in zip(pivot, target)))

        if temp_dist < dist:  # 如果“更近”
            nearest = pivot  # 更新最近点
            dist = temp_dist  # 更新最近距离
            max_dist = dist  # 更新超球体半径

        # 检查另一个子结点对应的区域是否有更近的点
        temp2 = travel(further_node, target, max_dist)

        nodes_visited += temp2.nodes_visited
        if temp2.nearest_dist < dist:  # 如果另一个子结点内存在更近距离
            nearest = temp2.nearest_point  # 更新最近点
            dist = temp2.nearest_dist  # 更新最近距离

        return result(nearest, dist, nodes_visited)

    return travel(tree.root, point, float("inf"))  # 从根节点开始递归

例 3.2

data = [[2,3],[5,4],[9,6],[4,7],[8,1],[7,2]]
kd = KdTree(data)
preorder(kd.root)

[7, 2]
[5, 4]
[2, 3]
[4, 7]
[9, 6]
[8, 1]

from time import clock
from random import random

# 产生一个k维随机向量，每维分量值在0~1之间
def random_point(k):
    return [random() for _ in range(k)]

# 产生n个k维随机向量
def random_points(k, n):
    return [random_point(k) for _ in range(n)]

ret = find_nearest(kd, [3,4.5])
print (ret)

Result_tuple(nearest_point=[2, 3], nearest_dist=1.8027756377319946, nodes_visited=4)

N = 400000
t0 = clock()
kd2 = KdTree(random_points(3, N))            # 构建包含四十万个3维空间样本点的kd树
ret2 = find_nearest(kd2, [0.1,0.5,0.8])      # 四十万个样本点中寻找离目标最近的点
t1 = clock()
print ("time: ",t1-t0, "s")
print (ret2)

time:  5.204035100000002 s
Result_tuple(nearest_point=[0.09308431086306368, 0.5071110780404813, 0.7998624450062822], nearest_dist=0.009920338124925524, nodes_visited=88)

参考资料

[1] 《统计学习方法》: https://baike.baidu.com/item/统计学习方法/10430179
[2] 黄海广: https://github.com/fengdu78
[3] github: https://github.com/fengdu78/lihang-code
[4] wzyonggege: https://github.com/wzyonggege/statistical-learning-method
[5] WenDesi: https://github.com/WenDesi/lihang_book_algorithm
[6] 火烫火烫的: https://blog.csdn.net/tudaodiaozhale

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