谈谈数学之现在与未来

文章来源：好玩的数学

来源：《数学教学通讯》2005年3月（上半月）（总第220期）

作者：王元（中国科学院数学与系统科学研究院）

数学科学是什么？

我们首先谈谈数学科学是什么？及它在近代科学技术中的位置，数学问题的来源及它的价值观等问题。

钱学森在论及现代科学结构时，将它分成自然科学，社会科学与数学科学，后来又加系统科学，思维科学，人体科学等.但前三者是基本的。

简言之，自然科学是从物质运动这个着眼点去研究整个客观世界。

社会科学是从人类社会发展运动的着眼点来研究整个客观世界。

数学科学是什么？无论哪一门科学技术，都离不开数学科学的一门或几门学科，所以容易理解，数学科学是研究整个客观世界的.但它从什么着眼点来研究呢？恩格斯说：“纯数学的对象是现实世界的空间形式或数量关系”。

数学科学应该是独立于自然科学与社会科学的另一门科学。

传统的“基础学科”提法，指的是“数，理，化，天，地，生”，但钱学森认为“一门是物理，研究物质运动基本规律的学问，一门是数学，指导我们推理和演算的学问，其他学问都是从这两门派生出来的”，“比如化学，它实际上是研究分子变化的物理”，天文学“要研究星星内部到底是怎样变化的”，“要研究的是宇宙的演化”，这只能靠物理，地学中现代板块理论与弄清地球深处的情况都要靠物理，“生物学到分子水平”“也就归结到物理学上去了”.因此数学和物理又是其他四门学科之基础。

数学问题的来源是什么？

数学中最初的问题都来源于经验，由外部现象提出来的.整数起源于“数”，它的四则运算法则就是以这种方式在人类文明的早期被发现的.最初的几何问题也是这样.如用圆规直尺三等分任意角，二倍立方及化圆为方等，以后的微积分，曲线论，曲面论与付里叶级数等最初的问题，及来自物理，天文与力学的问题都是这样的。但是随着数学的发展，它意识到自身的独立性，通常不受明显的外部影响，而是借助于推理，对概念的一般化来提出自己的问题，例如素数理论与伽罗华理论等，华罗庚很早指出“从数学本身来说，它研究的最基本的对象是‘数’与‘形’，因此，几何图形’所引出的几何直觉，和由‘数’而引出的具体关系和概念，往往是数学中极丰富的源泉”.因此，否定数学发展的的内部动力，无疑是极左路线对数学发展的干扰。问题的选择对于数学发展是至关重要的。最早系统地指出并阐述这一观点的是希尔伯特在1900年国际数学大会上的报告，他在报告中特别以三体问题’与‘费马问题’作为例子来说明一个好的数学问题对于推动数学发展的作用.三体问题是天文学中的问题.费马问题是说不定方程.当时，没有非平凡解，所谓平凡解即为x=0，y=z或y= 0，x=z，这样一个很特殊、似乎不重要的问题却对数学发展产生了十分重大的作用.受这个问题的启发，库默尔引进了理想数的概念并发现分圆域的整理想的唯一素理想因子分解定理，其意义已远远超出数论范围而深入到代数与函数等数学领域，20世纪最伟大的成就之一为费马问题的研究之巨大进展与最终解决，(法尔廷斯与怀尔斯).它是椭圆曲线论，伽华罗表示论与模形式理论等重大成就的发展与综合使用的结果。特别是希尔伯特在会上提出了23个问题，推荐给 20世纪的数学家研究.这些问题基本上都来自数学自身的矛盾，经过一个世纪的努力，有的解决了，有的部分解决了，有的则还要留待21世纪来解决.凡希尔伯特问题有了进展，在国际数学界都会受到注目。例如希尔伯特第一问题，即已解决(柯恩)，它是说没有一个无穷集合，其势在有理数集合与连续统集合之间.又如第七问题也已解决(盖尔丰德与西那德尔)，即为一个超越数，与我们中国人有些关系的是第八问题，这个问题包括所谓的黎曼猜想与两个变数非齐次线性不定方程在素数中求解问题，后者是以哥德巴赫猜想与孪生素数有无穷多为背景的，即 2n= p+p'，每一个偶数都是两个素数之和)，p-p'=2(存在无穷多对素数(p，p')使p-p'=2).上世纪20年代开始就有突破性进展，解析数论中的圆法，筛法，与指数和估计方法的产生与发展都与这个问题有密切关系，我国数学家陈景润，潘承洞对这个问题作过重要贡献，陈景润的结果'1+2'，即每一个充分大的偶数都是一个素数与一个不超过2个素数因子乘积之和，至今仍是领先结果。除希尔伯特的 23个问题之外，还有一些难题被解决了.例如单复变函数论中的比勃巴赫猜想与傅里叶级数中的鲁金猜想等。数学自身的矛盾发展，除要解决一些疑难问题之外，本身的概念亦需要作进一步的延拓与推广，甚至建立，拓扑学特别是代数拓扑的发展与进步，很大程度上改变了数学的面貌，又如广义函数的进一步系统研究，使函数的概念为之一新.以上大概是 20世纪以数学本身为源泉的一些重要发展，它在广度与深度上都比 19世纪及以前不可同日而语。

另一方面，客观世界总是不停地给数学提出问题，使一定新的领域建立，发展与成熟，例如受到工农业生产与军事的需要，在20世纪20~30年代产生的概率论与数理统计，在二次大战期间受到军事与经济的影响与需求产生了运筹学.又如受到计算机科学的影响而产生了近代组合学与图论.近年来，公约密码与信息安全的研究，更使古老而一向被认为没有实际应用的数论有了很重要的应用。

什么是衡量数学成果的价值标准？数学既然是一门独立科学，那就不能把是否对其他学科有用当成唯一的价值标准，当然有用是十分重要的，这里讲的是自身的标准，数学除要求真实性外，还要求“美”！什么是数学美？这无疑带有主观色彩，且与数学家的文化背景有关，哈代说过：“美是第一要素，世界是不会给丑的数学以永久的位置的”.韦尔说过：“我的工作总是把美和真联系起来，而当我必须作出选择时，我通常选择美”.冯·诺依曼说：“我认为数学家无论是选择题材还是判断成功的标准，主要都是美学的.”庞加莱说：“数学家非常重视他们的方法和理论是否优美，这并非华而不实的作风”.总之，概括地说，美就是“简单，清晰，对称，奇异”.当然应用数学作为一个学科登上数学科学的舞台恐怕还是近半个多世纪的事，除同样要求真与美之外，它的问题的实际背景应更明确，成果应该更有用。
有人认为重要的数学应该符合“兴趣，深刻，有用”的标准，符合这个标准的好的数学几乎都是美的.简单清晰的东西才会令人感兴趣，所以美的东西才会引起人的兴趣，美的结果又常常是深刻的，与有用的.除前面列举的纯粹数学的例子外，20世纪应用数学方面的线性规划，快速傅里叶分析，有限元方法，蒙特卡罗方法与伪蒙特卡罗方法及小波分析等等都是既简单(符合数学美之标准)又是很有用的成就，过去常常认为数论是最没有用的一门数学，它美，可供观赏而已.但随着信息安全理论的发展，已日益有用，以至于在一次报告中，葛立恒说：“现在，数论是最有用的一门数学”.所以我想数学的价值标准应该是清楚的。
21世纪的数学会怎么样？
这是每一个数学家都应该思考的.人不会“算命”，要作出准确预测几乎做不到，我本人水平不高，知识有限，更不敢乱言，但大概趋势有一点预测供作参考。希尔伯特提出23个问题的一百年之后的2000年，Clay研究所发布了七个问题，即黎曼猜想，庞加莱猜想，霍奇猜想，BSD猜想，纳维— 斯托克斯方程，杨一米尔斯理论与 NP完全问题为千禧年待解决问题，每个问题悬赏一百万美金奖金，另外还有别的著名数学家提出待解决问题.哥德巴赫猜想也曾被悬赏百万美元求解二年，无人去领奖。传说俄国数学家帕雷尔曼解决了拓扑学的中心问题，庞加莱猜想，若果如此，则实现了本世纪之开门红。可以想象，21世纪会有不少难题得到突破，进展，甚至解决。每当计算机得到进步，计算方法总有相应的进步，有人认为科学计算的进步，计算机与计算方法的功劳各占一半，随着每秒多少万亿运算的机器的出现，对新的算法的要求，必定带动计算方法的更快速发展。过去小规模信息产生的数理统计方法，对于大批量信息不宜于处理，寻求新的数据处理方法也是看得到的待解决之问题。总之，数学问题的两种源泉都是很重要的，至今也远远没有枯竭，我们不可偏废任何一方。物理主导自然科学的发展，甚至微积分，傅里叶级数，复变函数论，微分方程，特别是几何学的发展，如果在21世纪，继续主导，我想几何、拓扑，微分方程等除自身的矛盾发展外，外部刺激仍然是很强的动力.有人说：21世纪可能是生命科学与信息科学的世纪，如果信息科学居于一定的主导，则离散数学，例如数论，组合与图论等，除自身之问题外，亦会有强有力的外部动力。这些问题都值得我们密切注意与认真思考。以上只是个人意见，欢迎批评指教。

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