上节课我们主要介绍了非线性分类模型,通过非线性变换,将非线性模型映射到另一个空间,转换为线性模型,再来进行分类,分析了非线性变换可能会使计算复杂度增加。本节课介绍这种模型复杂度增加带来机器学习中一个很重要的问题:过拟合(overfitting)。
一、What is Overfitting?
首先,我们通过一个例子来介绍什么bad generalization。假设平面上有5个点,目标函数f(x)是2阶多项式,如果hypothesis是二阶多项式加上一些小的noise的话,那么这5个点很靠近这个hypothesis,Ein很小。如果hypothesis是4阶多项式,那么这5点会完全落在hypothesis上,Ein=0。虽然4阶hypothesis的Ein比2阶hypothesis的要好很多,但是它的Eout很大。因为根据VC Bound理论,阶数越大,即VC Dimension越大,就会让模型复杂度更高,Eout更大。我们把这种
我们回过头来看一下VC曲线:
hypothesis的阶数越高,表示VC Dimension越大。随着VC Dimension增大,Ein是一直减小的,而
bad generation和overfitting的关系可以理解为:overfitting是VC Dimension过大的一个过程,bad generation是overfitting的结果。
一个好的fit,Ein和Eout都比较小,尽管Ein没有足够接近零;而对overfitting来说,Ein≈0,但是Eout很大。那么,overfitting的原因有哪些呢?
我们举个开车的例子,把发生车祸比作成overfitting,那么造成车祸的原因包括:
车速太快(VC Dimension太大);
道路崎岖(noise);
对路况的了解程度(训练样本数量N不够);
也就是说,VC Dimension、noise、N这三个因素是影响过拟合现象的关键。
二、The Role of Noise and Data Size
为了尽可能详细地解释overfitting,我们进行这样一个实验,试验中的数据集不是很大。首先,在二维平面上,一个模型的分布由目标函数f(x)(x的10阶多项式)加上一些noise构成,下图中,离散的圆圈是数据集,目标函数是蓝色的曲线。数据没有完全落在曲线上,是因为加入了noise。
然后,同样在二维平面上,另一个模型的分布由目标函数f(x)(x的50阶多项式)构成,没有加入noise。下图中,离散的圆圈是数据集,目标函数是蓝色的曲线。可以看出由于没有noise,数据集完全落在曲线上。
现在,有两个学习模型,一个是2阶多项式,另一个是10阶多项式,分别对上面两个问题进行建模。首先,对于第一个目标函数是10阶多项式包含noise的问题,这两个学习模型的效果如下图所示:
由上图可知,2阶多项式的学习模型Ein=0.050,Eout=0.127;10阶多项式的学习模型Ein=0.034,Eout=9.00。虽然10阶模型的Ein比2阶的小,但是其
然后,对于第二个目标函数是50阶多项式没有noise的问题,这两个学习模型的效果如下图所示:
由上图可知,2阶多项式的学习模型Ein=0.029,Eout=0.120;10阶多项式的学习模型Ein=0.00001,Eout=7680。虽然10阶模型的
上面两个问题中,10阶模型都发生了过拟合,反而2阶的模型却表现得相对不错。这好像违背了我们的第一感觉,比如对于目标函数是10阶多项式,加上noise的模型,按道理来说应该是10阶的模型更能接近于目标函数,因为它们阶数相同。但是,事实却是2阶模型泛化能力更强。这种现象产生的原因,从哲学上来说,就是“以退为进”。有时候,简单的学习模型反而能表现的更好。
下面从learning curve来分析一下具体的原因,learning curve描述的是Ein和
我们的第9次课的笔记《NTU林轩田机器学习基石课程学习笔记9 – Linear Regression》已经介绍过了learning curve。在learning curve中,横轴是样本数量N,纵轴是Error。Ein和
其中d为模型阶次,左图中d=2,右图中d=10。
本节的实验问题中,数据量N不大,即对应于上图中的灰色区域。左图的灰色区域中,因为d=2,Ein和Eout相对来说比较接近;右图中的灰色区域中,d=10,根据Ein和
值得一提的是,如果数据量N很大的时候,上面两图中Ein和
另一个例子中,目标函数是50阶多项式,且没有加入noise。这种情况下,我们发现仍然是2阶的模型拟合的效果更好一些,明明没有noise,为什么是这样的结果呢?
实际上,我们忽略了一个问题:这种情况真的没有noise吗?其实,当模型很复杂的时候,即50阶多项式的目标函数,无论是2阶模型还是10阶模型,都不能学习的很好,这种复杂度本身就会引入一种‘noise’。所以,这种高阶无noise的问题,也可以类似于10阶多项式的目标函数加上noise的情况,只是二者的noise有些许不同,下面一部分将会详细解释。
三、Deterministic Noise
下面我们介绍一个更细节的实验来说明 什么时候小心overfit会发生。假设我们产生的数据分布由两部分组成:第一部分是目标函数f(x),Qf阶多项式;第二部分是噪声ϵ,服从Gaussian分布。接下来我们分析的是noise强度不同对overfitting有什么样的影响。总共的数据量是N。
那么下面我们分析不同的
上图中,红色越深,代表overfit程度越高,蓝色越深,代表overfit程度越低。先看左边的图,左图中阶数Qf固定为20,横坐标代表样本数量N,纵坐标代表噪声水平σ^2。红色区域集中在N很小或者σ^2很大的时候,也就是说N越大,σ^2越小,越不容易发生overfit。右边图中σ^2=0.1,横坐标代表样本数量N,纵坐标代表目标函数阶数Qf。红色区域集中在N很小或者Qf很大的时候,也就是说N越大,Qf越小,越不容易发生overfit。上面两图基本相似。
从上面的分析,我们发现
总结一下,有四个因素会导致发生overfitting:
data size N ↓
stochastic noise σ^2↑
deterministic noise Qf↑
excessive power ↑
我们刚才解释了如果目标函数f(x)的复杂度很高的时候,那么跟有noise也没有什么两样。因为目标函数很复杂,那么再好的hypothesis都会跟它有一些差距,我们把这种差距称之为deterministic noise。deterministic noise与stochastic noise不同,但是效果一样。其实deterministic noise类似于一个伪随机数发生器,它不会产生真正的随机数,而只产生伪随机数。它的值与hypothesis有关,且固定点x的deterministic noise值是固定的。
四、Dealing with Overfitting
现在我们知道了什么是overfitting,和overfitting产生的原因,那么如何避免overfitting呢?避免overfitting的方法主要包括:
start from simple model
data cleaning/pruning
data hinting
regularization
validataion
这几种方法类比于之前举的开车的例子,对应如下:
regularization和validation我们之后的课程再介绍,本节课主要介绍简单的data cleaning/pruning和data hinting两种方法。
data cleaning/pruning就是对训练数据集里label明显错误的样本进行修正(data cleaning),或者对错误的样本看成是noise,进行剔除(data pruning)。data cleaning/pruning关键在于如何准确寻找label错误的点或者是noise的点,而且如果这些点相比训练样本N很小的话,这种处理效果不太明显。
data hinting是针对N不够大的情况,如果没有办法获得更多的训练集,那么data hinting就可以对已知的样本进行简单的处理、变换,从而获得更多的样本。举个例子,数字分类问题,可以对已知的数字图片进行轻微的平移或者旋转,从而让N丰富起来,达到扩大训练集的目的。这种额外获得的例子称之为virtual examples。但是要注意一点的就是,新获取的virtual examples可能不再是iid某个distribution。所以新构建的virtual examples要尽量合理,且是独立同分布的。
五、总结
本节课主要介绍了overfitting的概念,即当Ein很小,
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