上节课我们介绍了过拟合发生的原因并介绍了解决overfitting的简单方法。本节课，我们将介绍解决overfitting的另一种非常重要的方法：Regularization规则化。

1. Regularized Hypothesis Set

先来看一个典型的overfitting的例子：

如图所示，在数据量不够大的情况下，如果我们使用一个高阶多项式（图中红色曲线所示），例如10阶，对目标函数（蓝色曲线）进行拟合。拟合曲线波动很大，虽然Ein很小，但是Eout很大，也就造成了过拟合现象。

那么如何对过拟合现象进行修正，使hypothesis更接近于target function呢？一种方法就是regularized fit。

这种方法得到的红色fit曲线，要比overfit的红色曲线平滑很多，更接近与目标函数，它的阶数要更低一些。那么问题就变成了我们要把高阶（10阶）的hypothesis sets转换为低阶（2阶）的hypothesis sets。通过下图我们发现，不同阶数的hypothesis存在如下包含关系：

我们发现10阶多项式hypothesis sets里包含了2阶多项式hypothesis sets的所有项，那么在H10中加入一些限定条件，使它近似为H2即可。这种函数近似曾被称之为不适定问题（ill-posed problem）。

如何从10阶转换为2阶呢？首先，H10可表示为： 

而H2可表示为：

所以，如果限定条件是w3=w4=⋯=w10=0，那么就有H2=H10。也就是说，对于高阶的hypothesis，为了防止过拟合，我们可以将其高阶部分的权重w限制为0，这样，就相当于从高阶的形式转换为低阶，fit波形更加平滑，不容易发生过拟合。

那有一个问题，令H10高阶权重w为0，为什么不直接使用H2呢？这样做的目的是拓展我们的视野，为即将讨论的问题做准备。刚刚我们讨论的限制是H10高阶部分的权重w限制为0，这是比较苛刻的一种限制。下面，我们把这个限制条件变得更宽松一点，即令任意8个权重w为0，并不非要限定w3=w4=⋯=w10=0，这个Looser Constraint可以写成： 

Looser Constraint对应的hypothesis应该更好解一些，但事实是sparse hypothesis set H2′被证明也是NP-hard，求解非常困难。所以，还要转换为另一种易于求解的限定条件。

那么，我们寻找一种更容易求解的宽松的限定条件Softer Constraint，即：

其中，C是常数，也就是说，所有的权重w的平方和的大小不超过C，我们把这种hypothesis sets记为H(C)。

2. Weight Decay Regularization

现在，针对H(c)，即加上限定条件，我们的问题变成：

我们的目的是计算Ein(w)Ein(w)的最小值，限定条件是||w2||≤C。这个限定条件从几何角度上的意思是，权重w被限定在半径为√C的圆内，而球外的w都不符合要求，即便它是靠近Ein(w)梯度为零的w。

下面用一张图来解释在限定条件下，最小化Ein(w)的过程：

有了这个平行的概念，我们就得到了获得最优解需要满足的性质：

上面公式中的λ称为Lagrange multiplier，是用来解有条件的最佳化问题常用的数学工具，2/N是方便后面公式推导。那么我们的目标就变成了求解满足上面公式的Wreg。

之前我们推导过，线性回归的EinEin的表达式为：

计算Ein梯度，并代入到平行条件中，得到：

这是一个线性方程式，直接得到Wreg为：

如果对于更一般的情况，例如逻辑回归问题中，∇Ein不是线性的，那么将其代入平行条件中得到的就不是一个线性方程式，Wreg不易求解。下面我们从另一个角度来看一下平行等式：

该函数中第二项就是限定条件regularizer，也称为weight-decay regularization。我们把这个函数称为Augmented Error，即Eaug(w)。

如果λ不为零，对应于加上了限定条件，若λ等于零，则对应于没有任何限定条件，问题转换成之前的最小化Ein(w)。

下面给出一个曲线拟合的例子，λλ取不同的值时，得到的曲线也不相同：

从图中可以看出，当λ=0时，发生了过拟合；当λ=0.0001时，拟合的效果很好；当λ=0.01和λ=1时，发生了欠拟合。我们可以把λ看成是一种penality，即对hypothesis复杂度的惩罚，λ越大，w就越小，对应于C值越小，即这种惩罚越大，拟合曲线就会越平滑，高阶项就会削弱，容易发生欠拟合。λ一般取比较小的值就能达到良好的拟合效果，过大过小都有问题，但究竟取什么值，要根据具体训练数据和模型进行分析与调试。

事实上，这种regularization不仅可以用在多项式的hypothesis中，还可以应用在logistic regression等其他hypothesis中，都可以达到防止过拟合的效果。

3. Regularization and VC Theory

下面我们研究一下Regularization与VC理论之间的关系。Augmented Error表达式如下：

VC Bound表示为：

4. General Regularizers

那么通用的Regularizers，即Ω(w)，应该选择什么样的形式呢？一般地，我们会朝着目标函数的方向进行选取。有三种方式：

    1. target-dependent

    2. plausible

    3. friendly

其实这三种方法跟之前error measure类似，其也有三种方法：

    1. user-dependent

    2. plausible

    3. friendly

regularizer与error measure是机器学习模型设计中的重要步骤。

接下来，介绍两种Regularizer：L2和L1。L2 Regularizer一般比较通用，其形式如下：

这种形式的regularizer计算的是w的平方和，是凸函数，比较平滑，易于微分，容易进行最优化计算。

L1 Regularizer的表达式如下：

下面来看一下λ如何取值，首先，若stochastic noise不同，那么一般情况下，λ取值有如下特点：

从图中可以看出，stochastic noise越大，λ越大。

另一种情况，不同的deterministic noise，λ取值有如下特点：

从图中可以看出，deterministic noise越大，λ越大。

以上两种noise的情况下，都是noise越大，相应的λ也就越大。这也很好理解，如果在开车的情况下，路况也不好，即noise越多，那么就越会踩刹车，这里踩刹车指的就是regularization。但是大多数情况下，noise是不可知的，这种情况下如何选择λ？这部分内容，我们下节课将会讨论。

5. Summary

本节课主要介绍了Regularization。首先，原来的hypothesis set加上一些限制条件，就成了Regularized Hypothesis Set。加上限制条件之后，我们就可以把问题转化为Eaug最小化问题，即把w的平方加进去。这种过程，实际上回降低VC Dimension。最后，介绍regularization是通用的机器学习工具，设计方法通常包括target-dependent，plausible，friendly等等。下节课将介绍如何选取合适的λ来建立最佳拟合模型。

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