原创 ‖ 华应龙：锱铢必较学小数
华应龙
北师大版四下、人教版四下、苏教版五上“小数的意义”
就“小数的意义”这节课，我先后听过罗鸣亮、张齐华、张冬梅、吴正宪等老师的现场课，听过夏青峰、刘延革等老师的录像课。这些课，有的好玩，有的开放，有的逻辑，有的对话......给我好多启发。当我想研究这节课时，我穷尽了中国知网上关于这节课的所有资料，几乎百度了网上所有的“小数的意义”。搜索之后，思绪万千，这节课可以讲的内容太丰富啦。
“小数的意义”究竟是什么？不同的教材上似乎都没有给出一句话的说法，只是列举出“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几......”
“小数就是十进分数”？
说“十进分数的另一种表示就是小数”，这句话是对的；但反过来说就不对了。戎松魁先生在《如何正确理解小数的意义》一文中有专门论述。
这句话能否是阶段性的正确？
其实，所有的结论都是有前提条件的。就学生现有的知识基础，怎么说呢？
欲说还休，欲说还休，却道天凉好个秋......
我能否给出一句话的说法？一个好玩的说法？教材上没有，课堂上可以有。“我的课堂，我做主。”只要这句话对学生后续的学习不会有不好的影响，就可以试一试吧！
一般地，“小数的意义”要讲“一位小数表示十分之几，两位小数表示百分之几......”，要讲数位顺序表。我讲什么？学生最需要教的是什么？在我的“小数意义”世界里，什么是最重要的？
研究“分数的意义”时，我请教北大附中特级教师张思明——“分数的意义”一课，学生最需要教的是什么？他说：“分数单位”。最后，我上出了“单位，让分数更好玩”的“分数的意义”：“什么是分数？分数就是先分后数的数。”
那么，“小数意义”的教学是否也是“小数单位”最重要？
什么是“单位”？在我们平常的教学中，重视“单位”吗？我们常常重视的是提醒学生解题过程中别忘了写“单位名称”。
在绝大多数国家的中小学数学课程中，“度量”都是一条课程发展主线，和另外的四条发展主线“数与运算”“代数与函数”“几何”“数据处理与统计概率”相提并论。而在我国，与“度量”有关的教学内容却被分散在“图形与几何”“数与代数”之中，这在一定程度上影响了“度量”中的数学基本思想的形成与发展。（参见赵炯美、鲍建生的《中小学数学课程中的一条主线——度量》）
度量的基础是构建或选择标准度量单位。为了比较连续量的大小，需要一定的单位；如果需要更精确的表达，则需要进一步细分单位。这跟小数的产生就很契合了。虽然，为了精确表达，不一定要用小数，用复名数就可以解决问题；如果用单名数表达，则必用小数。但不管怎么表达，一定要用到小单位。这也为“小单位”的出场奠定基础，做出铺垫。
单位有大小之分？说大还是小，就得有个比较标准。是否标准单位是1，大单位是十、百、千等，小单位是0.1、0.01、0.001等？这也是一分为三。大和小不是既定的，而是相对的，在一定语境下，是否不用那么严谨？小学阶段还是“浪漫”（怀特海）些好。
度量活动的本质是比较，包括直观比较、直接比较和间接比较。大头儿子和小头爸爸的度量问题，在打电话的情境下，属于间接比较，可以突出数学化表达的必要。在教学“分数的意义”时，只说大头儿子怎么测量引出分数表达就完了，没有说小头爸爸怎么测量的，那似乎也不是个问题。现在教学“小数的意义”，重在通过比较以厘清小数的意义，因此，我可以借助间接比较，让小头爸爸也去测量，以便判断是否合适。这样，认识小数的对象就可以丰富，便于学生归纳概括。
是否是先有“单位”，后有“数位”，再有“数位顺序表”？那么，就不该先讲“数位”，再讲“数位”上的“单位”。“小数单位”讲清楚了，“数位顺序表”还需要费力去讲吗？
另外，“小数单位”和“分数单位”的比较，它俩的区别和联系是否可以研究？
“小数单位”是什么？为什么要有这个“单位”？教“有头有尾”的数学，应该是我们追求的！
小数和分数是紧密相关的。我教“分数的初步认识”和“分数的意义”都是用大头儿子小头爸爸用“领带”来测量，进而让学生感受到“分数”产生的意义的。这节课还可以用吗？
领带是一维的原型，而“小数的意义”的模型有线的，有面的，有体的。如果沿用大头儿子小头爸爸测量的故事，是否改变一下测量的对象，不是长度，而是面积呢？
不行，不行。不管测量面积，还是测量体积，最后都归结于测量长度。真的就不能改进了吗？
江苏无锡朱峰老师在《小学数学教育》上发表的“小数的意义”教学设计，给我很多的启发。我百度奥运百米大战的成绩，意外地发现那是一座富矿。
哈哈哈，在云南弥勒看到一个标语：
诚哉斯言！
1. 在具体计量中，认识到小数单位产生的意义。
2. 在直观演示中，感受小数单位的抽象含义。
3. 在学习过程中，体验到数学的好玩。
1创设情境，引出故事
师：请看大屏幕。（课件出示：马云的漫画像）
生：（全班异口同声）马云！
师：地球人都认识！马云今天在杭州吗？不知道他知道不知道微信上有一则关于他的笑话？我们一起来看——
（出示下图，配多媒体同期声，幼稚天真的童音逗得大家都笑了）
师：（一本正经地）是呀，马云为什么不这样做呢？
生：我觉得马云想当全球首富。
师：（笑而不语）
生：马云不想让大家不劳而获。
生：马云想自己辛苦得来的钱为什么要给别人。
师：哈哈哈，谁能从数学的角度，看出问题吗？
(学生们像丈二的和尚摸不着头脑。)
师：这是一个数数的问题。以“亿”做单位，一人发一亿，14个人就要发14亿。咱们学校一共2458人，就要发掉2458亿。
师：可是马云一共只有——
生：1500亿。
生：他发不起！（全班哄堂大笑）
师：难怪马云几乎是哭着说：“都是单位惹的祸！”
生：（三五个学生小声议论）他最多可以每人只发1块钱。
师：是啊，究竟拿什么做单位才合适（板书“单位”）？今天咱们就一起来讲一个数单位的故事。
2动手操作，合作探究
师（出示一张纸）：这张纸是标准，是单位，是“1”。（再出示实物一摞纸）请猜一猜：这一堆有多少张？
生：600张。
生：300张。
生：1000张。
……
师：那到底有多少张呢？怎么办？
生：数。
师：好办法！怎么数呢？
生：可以一张一张地数，也可以十张十张地数，还可以一百张一百张地数。
（师板书：… 100 10 1 ）
生：华老师，您还得告诉我们其中那一沓纸是多少。
师：问得好，（拿出其中一沓纸）这一沓呀，是100张。
生：（欢呼）那就是300张。
师：确定是300张吗？那我们一起来数。
（师一沓一沓分开来，学生数：100，200，300）
师：还没数完，（再拿出剩下一小沓纸），这一小沓是10张。咱们继续。
（师继续一小沓一小沓分开来，学生接着数：310，320）
（师再分开来拿剩下的散张纸，学生继续数：321，322，323，……328）
（师拿出最后的半张纸，一生惊呼：“还有呢！”）
师：猜猜这是多少？
生：一半。
生：1/2。
生：0.5。
生：0.4。
师：如果想研究它到底是多少，怎么办？
生：可以拿一张完整的纸和它作对比。
（师拿出一张完整的红底的正方形纸，请一生到展示台前演示怎样做对比）
（生通过对折、重合之后，发现正好是一半）
生：（齐）1/2。
生：（齐）0.5。
师：说分数1/2，我们都明白，看到2和1了；为什么用小数0.5表示，我们没有看到5啊？（板书课题：小数）
生：我们可以把原来的正方形纸看作是“1”，对折之后它正好是原来正方形纸的一半，一半就是0.5。
师：一半就是0.5，没错。5个什么呢？
生：我们可以把完整的正方形纸平均分成10份，这半张纸正好占了其中的5份，所以是十分之五，也就是0.5。（全班响起掌声）
（师板书：0.5 5/10）
师：刚刚这位同学说得真完整！把正方形纸平均分成了10份，其中一份是多少？（生：1/10）
写成小数也就是——（生：0.1）
（师边说边对应着板书：0.1 1/10）
师：对！当我们用“1”都没法数的时候，咱们又找到了一个什么单位？
生：0.1。
师：0.5就是5个0.1。
原来小数的背后藏着一个分数。0.1的背后是1/10，0.5的背后是5/10。数数呀，对于咱们四年级的孩子来说，不是问题。回想一下刚才我们数的过程，谁来说说我们是怎样数的？
生：我们先是一百张一百张地数，然后再十张十张地数，接着再一张一张地数，最后再数出有几个0.1。
师：真会概括，掌声送给他！（全班鼓掌）
师：其实，数数就是在数单位的个数。
（板书：数）
师：这个字怎么读呀？
生：shǔ
生：它是一个多音字，也可以读作shù。
师：对。数（shǔ）数（shù）是不是就是指数单位的个数呀。（全班点点头）
师：孩子们，刚才咱们数“百”的个数是——（生：3个。老师对应着“100”，在其上方板书“3”）；数“十”的个数是——（生：2个。老师对应着“10”，在其上方板书“2”）；数“一”的个数是——（生：8个。老师对应着“1”，在其上方板书“8”）；数“0.1”的个数是——（生：5个。老师对应着“0.1”，在其上方板书“5”）
师：所以这个数就是——
生：(齐)328.5。
师：如果刚才咱们数的最后一张不是0.5，而是这样一张，你们猜它又是多少呢？
（师拿另外一张纸替换掉0.5的那张纸）
生：0.7。
生：0.87。
……
师：行，大家有各自的猜想。请大家打开信封，拿出①号纸片，同桌商量可以怎样研究。
（同桌合作探究，教师下台巡视）
师：我们先来看看最后那组同学是怎样研究的。
（请同学到展示台前展示他们折的比较厚的正方形纸）
生：我们采用的是动手折的方法，把这张正方形纸平均折成了10份，再来看黄色部分占了整张纸的多少份。
（这时，马上有一学生举手反驳）
生：这张纸本身就比较小，再把它平均折成10份，很不方便。
师：1/2，用对折的方法，很简单。现在要平均折成10份，会越折越厚，越折越不精确。看来，在这里用折的方法就不如——
生：用画的方法。
（请一组用尺量并且画的同学上台展示）
生：我们发现，这张纸的边长正好是10厘米。我们可以把它正好用画线条的方法平均分成10份，黄色部分比0.6多一些，比0.7又要少一些。
师：你们组遇到了什么问题？
生：我们也是用尺平均分成了10份。1条就是0.1，有6条就是0.6。我们遇到的问题是多的这部分不到一半，难住了。如果是一半，我们就知道是0.65了。
（不少同学点点赞同。）
师：好，有想法的，继续研究；没想法的，请从信封中拿出②号纸片（把①号纸片已经平均分成10份），同桌再继续研究。
（约1分钟后）
师：看来每组同学都有想法了。现在请前后四人小组为单位交流交流。
（约1分钟后）
师：现在，我想请同学上台来，给大家讲自己数数的故事，故事里要讲清楚开始自己研究的是多少，后来通过小组交流发现应该是多少。
（请一组同桌同学上台边投影边解说。）
生：开始我以为是0.59，后来我们通过小组交流之后，把这张正方形纸竖着平均分成10条，这一大部分占了6份，可是剩下这一小部分不够1整条，于是我们又把这张纸横着平均分成10条，相当于把这张正方形纸平均分成了100小格。黄色部分正好占了66个小格，所以是0.66。（此时全班同学不由自主地给予了他们热烈的掌声）
师：你们的方法真好！当把它平均分成10条还有剩余的不到1条，于是就把它平均分成了100份，这下就一目了然了！大家想想，把正方形纸平均分成100份之后，其中1份是多少？
生：百分之一。零点零一。
师：厉害！这是我们之前没学过，同学们自己创造出来的。
（师边说边板书：0.01 1/100）
师：那它为什么是0.66呢？
生：因为把正方形平均分成了100个小格，黄色部分正好占了66格，所以是0.66。
（师板书：0.66 66/100）
师：0.66，这两个“6”所表示的含义一样吗？
生：从左数第一个6表示的是6个0.1；第二个6表示的是6个0.01。（课件辅助闪烁0.66十分位上的6和百分位上的6以及它们分别所表示的部分）
（突然下面传来一声：老师，我们小组通过研究认为用0.659来表示会更精确一些）
师：0.659？大家想不想听听他们的想法？（生：想）
（请他们上台边投影边讲解过程）
生：前面我和其他同学的想法是完全一致的。可是后来我们在量的过程中发现剩下的那一小条不到6小格，它的长度比6小格还差1毫米，所以我们小组认为用0.659来表示更加精确。（全班不由自主给出热烈的掌声）
师：我特别欣赏你们这种严谨的数学精神。他们都精确到了——
生：0.009
师：0.009里面有9个——
生：0.001
师：精确到了0.001。0.001背后的分数是——（生：千分之一）
（板书：0.001 1/1000）
师：没想到，没想到，真了不起！同学们又自己创造了一个更小的单位——0.001。
回想一下咱们刚才数数的过程，是不是还是先找到单位，然后再数出有几个这样的单位？
（全班同学频频点头。）
师：这一摞纸合在一起就应该是——
生：328.659
（师在对应的单位上方板书：328.659）
3练习巩固，丰满故事
师：接下来，咱们一起来做一个练习，整个图形是“1”，请说出涂色部分所代表的分数和小数。准备好了吗？
生：准备好了。
（课件出示下图）
生：十分之四0.4
（课件出示下图）
生：百分之三 0.03
（课件出示下图）
生：百分之十八 0.18
师：换个形式，看到分数，抢答相应的小数；看到小数，抢答相应的分数。
......
师：你能把这些数分分类吗？
生：可以把它们分成小数和分数两大类。
（课件演示分类）
师：小数又可以分成三类，第一行是——
生：零点几；一位小数。
师：第二行呢？
生：零点几几。
师：第三行呢？
生：零点几几几。
（全班都笑了。）
师：零点几几，又叫——（生：两位小数），那零点几几几，就是——（生：三位小数）
（在0.1和0.01的下方分别板书“一位小数”“两位小数”）
师：（手指板书328.659）那你们觉得这个328.659是几位小数呢？
生：六位小数。
生：三位小数。
师：到底是六位小数还是三位小数呢？我们应该怎样判断？
生：判断一个小数是几位小数，我们应该从小数点后面数有几位。
师：说得好，掌声！也就是说判断几位小数是看它的小数部分有几位，对吧？（全班点点头）小数点右边的是——（生：小数部分），小数点的左边是——（生：整数部分）。
师：我们再来看分数。分数也可以分成三类，（手指第一行分数）这些都是——（生：十分之几），（手指第二行分数）这些都是——（生：百分之几）（手指第三行分数）这些都是——（生：千分之几）
师：没错。我在研究这节课的时候，意外地发现：我们的祖先给这样的分数取了一个很有意思的名字，叫——（课件出现：小分数）
师：你怎么理解“小分数”？
生：就是可以转化成小数的分数。
师：把掌声送给她！我觉得古人可能就是这么想的。这些分数只是分数中的一小部分。这些“小分数”是怎样的分数？
生：分母是10、100、1000的分数。
师：“小分数”这个词是不是特别有意思？它把小数和分数紧紧地连在了一起。
（课件演示：中间的竖线动态断成三截，再旋转90度）
师：这时候你有什么发现？
生：我发现一位小数的背后藏着“小分数”十分之几；两位小数的背后藏着“小分数”百分之几；三位小数背后藏着“小分数”千分之几。（掌声）
4板书落成，总结延伸
师：好了，孩子们，今天“数单位的故事”只能讲到这儿了，你对小数有什么新的认识？
生：我觉得小数的背后是有分数的。
生：如果要辨别是几位小数，是看小数点后面有几位，整数部分不用管。
生：我觉得小数就是比1小的数。
生：不一定。2.5就比1大，但2.5也是小数。
师：对，看来小数并不是指比1小的数。
生：我们在数数的过程中如果没办法用整数来表示，就要用到小数。
师：厉害！比如说我们刚才数这摞纸的过程，开始是以“百”做单位来数，接着是以“十”做单位来数，然后再一张一张地数，后来没法用1来数了，我们就要数有几个0.1，几个0.01。所以——
（师在课题上板书箭头）
师：小数，小数，就是数小单位以后得到的数。（不少同学若有所思地发出“哦——”，然后全班同学微笑着点点头）1是基本单位，10，100是大单位，0.1，0.01就是小单位。
师：想想不断数小单位的过程，让我想到一个成语，你能猜到是哪个成语吗？
生：锱铢必较。
师：你们真是我的知音啊！（课件出示：锱铢必较）锱是一两的——（生：四分之一）；铢表示一两的——（生：二十四分之一）小数真精确，锱铢必较，像0.659。（学生们会心地笑了。）但像小数那样做人就小气了！送给同学们一句话——（课件出示：锱铢必较学小数，宽宏大度做巨人。）
师：课前，我们听了一个大单位“亿”闹出来的笑话；课后，你能不能创编一个用“小单位”制造的笑话？
（学生们跃跃欲试。）
师：不急，不急，我们一起来回顾一下本节课......
（课件展示这节课的主要图片，飞进再飞出）
（当课件上飘出“下课啦”三个字时，学生仍然沉浸在知识的海洋里，久久不愿离去……）
本实录由江西省南昌市东湖区百花洲小学胡健老师整理
01
关于小数的意义的表达
“小数，就是数小单位以后得到的数。”当我说完这句话，听到不少同学若有所思地发出“哦——”，看到很多同学微笑着点点头，我的心里美滋滋的。
一个好玩、有趣、有过程的说法，可能会留在学生心里。
度量就是找到合适的单位，然后数出单位的个数。在这样的认识基础上，新知和旧知就串在了同一个花环上。这样的花环，会挂在学生心上。
课上的“0.659”恍如天外来物，是可遇而不可求的“课眼”，是未曾预约的精彩，在意料之外又在情理之中。
因为，我的设计思路是先数半张纸，帮助学生回忆三年级学过的一位小数表示十分之几，知道0.1是个小单位;再数0.66张纸，旨在让学生创造出更小的单位0.01;更更小的单位0.001等是由学生在抢答练习中推想出来。我以为0.001只能在三维立体模型上更好地表示，在面积模型上表示几乎不可能。
我是用A4纸来制作计数用的学具卡片的。A4纸的规格是297mm×210mm，一张A4纸可以做成6张99mm×100mm的卡片纸，这样的卡片可以近似地看作是10cm×10cm的正方形。课中，在学生把边长平均分成10份时，我“心中有数”地提示误差1mm忽略不计。但在平分另一边长时，学生们竟然重视起这1mm。此乃天意？“文章本天成，妙手偶得之”。先平均分的边长是100mm，后平均分的边长是99mm，就这么巧？就这么妙，学生是天使！
因为课中有此邂逅，课尾总结“锱铢必较学小数”就一点不虚了。
关于小数意义以外的话
不断地数更小单位就会得到更加精确的数，因此“锱铢必较学小数，宽宏大度做巨人”就水到聚成了。也可能有的老师不一定赞同数学课上讲这样的非数学的话。但，我喜欢这么顺势而为。只要对学生有益就好，只要不是画蛇添足就好。
无巧不成书。在这次研究“小数意义”的另外一节课上，两个男生一直争执，我提示无效，目光批评无效......两人还在争执，其中一个男生满脸通红，眼泪就要出来了！
我想到于永正老师在《如果再教一年级，绝不会让小朋友上课尿裤子了》的文章中说：
“如果时光老人再给我十几年的时间，让我重教一年级，上课时我会关注每一位学生，不再只是关注教案、教学。岂止是教一年级，教任何年级都要认真读每个学生的表情、动作，从中读出他们的内心，并做出正确的判断，采取相应的措施。”
于是，我暂停下教学的步伐，组织同桌交流。像正常巡视一样，我走到他俩桌前。
两人的桌子中间一滩吐沫。
我低声问：“什么回事？”
要哭的男生，眼泪就要出来了：“他先吐吐沫的。”
另一个男生说：“我是无意的。”
“不，他是有意的。”
“是我打喷嚏的。”
“不是，你就是故意的。”
周围同学的注意力被吸引过来了。
“哦，吐沫点大的小事，不值得斤斤计较。影响大家上课多不好！”我摸摸上衣口袋，再摸摸裤兜，掏出面巾纸......
后面的学习过程，两个学生都很积极，先后发言，我给予大拇指赞扬。
课堂总结时，我突然意识到“吐沫点”事件太难得了！当我说出“锱铢必较学小数，宽宏大度做巨人”时，全班同学懂事地点点头。
关于“小分数”概念的呈现
这节课中“小分数”的概念引入，简直就是画龙点睛，一语道破小数和分数之间的关系。这是我的好朋友、我的老乡，江苏扬州的汤雪峰教研员提供给我的，在此谨表示我诚挚的谢意！开始研究这节课时，我出示了上面的图片。因为是繁体字，要用时间给学生解读，效果也不好。后来舍弃了图片，就在课件“分数”的上方出现“小分数”，然后让学生猜测“小分数”的意思。刘加霞教授建议我，“小分数”和“分数”要交换位置。我觉得确有道理。再一想，就在“分数”前加一“小”字可能更好。
这么小的一个点，写在这里做什么？是因为我体悟出的道理不小：当我们从善如流，善源就会源源不断，善流中的我们就常常可以体认——没有最好，只有更好！
这样写出的“课后明辨”告诉我：
一、教学是科学，要求真。
二、教学是人学，要求善。
三、教学是艺术，要求美。
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