[重磅秘籍] 传说中的《数学物理清单》第2期，数学提升篇
学好数理化，走遍天下都不怕。书接上回，今天继续为大家推送那份传说中的《数学物理清单》中关于新三样：拓扑学,近世代数,实分析与泛函分析等方面的内容。
这是数学系的学生学到的第一门完全属于二十世纪的课程.这门课程的重要性是不言而谕的.对于这门课程在中国的发展,许多和复旦有密切关系的前辈都做出过重要贡献.在复旦开实分析课的第一人毫无疑问是陈建功先生(1893-1971).作为中国现代数学的先驱者,他在1914-1929年间三赴日本学习现代数学,是在日本获得理学博士学位的第一个外国学者.此后他回到浙大,和31年回国的苏先生一起为中国现代数学的发展做出了极其重要的贡献.即便是在抗战最困难的时期,他们也没有放弃学术研究.李约瑟当时称赞西南联大和浙大是东方的Oxford 和Cambridge,陈先生在浙大的大弟子程民德先生说到"这一光辉的称号,可以说是用难以数计的微弱的桐油灯光所照亮的".程先生为陈建功先生在
1."中国现代数学家传"(第二卷) "
里面做了一篇传记,不可不读.
陈先生在浙大担负着极重的教学任务,在五十年代他把历年使用的讲义遍成书出版,这就是
2.陈建功"实函数论"
今天看来,这里面的内容是相当古典的,但是其中很多东西的讲法到今天还是很好的. 陈先生门下弟子无数,早期(20年代)的学生包括中国现代数学的另两位重要人物王福春先生和曾炯之先生.后来从浙大到复旦,我们可以列出一串长长的名单:程民德,叶彦谦,秦元勋,张鸣镛,夏道行,龚升,李训经...前校长杨福家先生在某次会上说过"复旦人不会忘记,五十年代,复旦造了两幢小楼,一幢是给陈建功先生的,一幢是给苏步青先生的,正是他们使复旦的数学变了样...."那两幢房子现在还在第九宿舍里面.一幢苏先生家人还住着.另外的那幢在陈先生58年搬去杭州以后就空着,据说曾有某位今天在复旦也是大名鼎鼎的人物搬进去过,但不久就因为实在"摆不平"又搬了出来--陈先生和苏先生的地位可见一斑.今天在数学系里还能找到陈先生的一些遗迹,比如那套Gauss全集就是陈先生出让给浙大图书馆的(见内页题字)
现在用的课本是
3.夏道行,严绍宗,吴卓人,舒五昌 "实变函数论与泛函分析"第二版,上,下册
这是,在我看来,复旦为中国的数学事业贡献的最重要的课本.从1978年第一版出版开始,这就是中国最标准的实变与泛函课本.受益于此书的学生不可计数.夏先生是陈先生五十年代初的研究生.当年陈先生开实分析课的时候夏先生做助教,也是跟班从头听到底(和今天CS的TA的要求差不多,不是吗?*_^)夏先生50年代中期赴苏联进修,师从I.M.Gelfand.那是泛函分析还处于发展的初期,Gelfand又是这个领域的泰山北斗.所以夏先生不仅在苏联的两年间做出了相当好的工作,而且回国后在复旦建立了一个相当强的泛函研究小组.具体可以看
4.杨乐,李忠编"中国数学会六十年"
里面严绍宗先生和李炳仁先生写的文章.六十年代初,夏先生就已经是"现代数学丛书"的编委了,那时候他才30出头一点.今天的中国数学界,没有一个这个年龄的数学家有夏先生当年的学术地位!夏先生做单复变和概率的功夫也是非常深的.在80年当选学部委员的时候,他的专业就写的是这三样.我们一章一章来看:第一章"集和直线上的点集"这是很美妙的东西,数学系的学生从这里开始严肃地接受关于无限的教育.具体的问题是教师一般都要在这一章上面花不少时间,部分是因为这些搞脑子的东西学生以前根本没有接触过.我想今后可能的话应该在第一二年的课程里面讲一些这一章的内容,像实数理论和极限论,等价关系,直线上的开,闭集,等等.这样一是可以省下很多时间,其次的确你翻翻许多数学分析的书也能看到这些内容.大概一定要留到这里来讲的包括Zorn引理,在
5.E.Hewitt, K.Stromberg"Real and Abstract Analysis"(GTM 25)
里面有相当清晰简洁的关于选择公理及其等价命题的叙述.那里写到"The axiom of choice does not perhaps play a central role in analysis, but when it is needed, it is needed most urgently".这是很有道理的.这个方向上扩展出去可以看
6.那汤松 "实变函数论"
在下册里面还有关于超限归纳法的描述.这本书是徐瑞云先生翻译的.据说当年陈建功先生对他的这位女弟子的译作赞不绝口.徐先生不幸于文革中自杀身亡. 另外,对于很多具体的点集的例子,有许多书可以参考,比如
7.汪林 "实分析中的反例"
这是本非常非常好的书,在以后的几章里面我们也都要引用这本书.作者是程民德先生的弟子.要记住的是,这不仅仅是一本讲例子的书!理图里有. 和一些习题集和解答,比如 8."实变函数论习题解答"
这是那汤松的书的习题解答.质量一般,不过好歹是本习题解答吧.
9."实变函数论的定理与习题"
记不清是谁写的了,应该是某个苏联人.里面有详细的解答,质量相当高.第二章"测度"这是这本书上册的核心. 测度在这里的讲法,从环上的测度讲到测度的扩展,基本上属于
10.P.R.Halmos"Measure Theory"(GTM 18) "
(中译本:测度论)的框架里面.这本书实在不敢评论,自己看吧!这本书里面还有一些精选的习题,有胆子和时间的话值得一做. 集环的理论一本相当有趣的书可以看看,就是
11.J.Oxtoby Measure and Category(GTM2)
这里的"category"不是指代数里面的范畴,而是集合的"纲",讲了很多有趣的东西. 现在可以来谈谈
12.周民强 "实变函数"(第二版)
这本书写得不错,总的说来最大的好处恐怕就是习题很多,而且都是能做的习题--复旦的课本里面的习题初学好象是难了点,特别是在没有答案的情况下:) 还有一本很好的书,可惜至今只打过几个照面,但是可以肯定的是绝对是好书:
13.程民德,邓东皋 "实分析"
我见过这书里面的一个测度的题目还是很有趣的,还难住过我们的一个老师哦!此外,上一章里面的参考书都可以搬过来.需要注意的一点是,有些书是纯讲Lebesgue积分的,比如6.12.等,有些细节上注意一下L与L-S的差别还是有用的.第三章 这就是真正的实分析了.这里面应该说每一节都是重要的. 在全面引用上两章的参考书的同时,还可以考虑下面的:
14.I.E. Segal, R.A. Kunze "Integrals and Operators"
15.A.N. Kolmogorov,S.V. Fomin"函数论与泛函分析初步"
这些作者应该说都是相当好的数学家了.比较遗憾的是一般由于课时安排等种种原因,最后三节都不能好好讲.其实这些都是很有趣的东西.广义测度和R-N定理更是非掌握不可的. 最后问个小问题:"L^1(R)是R上全体可积函数全体构成的空间"这句话对吗?在直线(或者更一般的局部紧群上),是有可能 先建立积分理论再导出测度的.比如下面将要讲到的
16.夏道行,严绍宗,舒五昌,童裕孙 "泛函分析第二教程"
里面就有一些这方面的内容. 此外还有像
17.夏道行,严绍宗 "实变函数与泛函分析概要"
(上海科技出的那套教材里面的一本, 理图里面有)好象就是按照先积分 再测度的办法讲的. 另外用这一体系的书好象还有
18. F.Riesz,B.Sz.-Nagy "泛函分析讲义"(Lecons d'analyse fonctionnelle)
这也是不错的书. 对测度感兴趣的话,还可以看一些动力系统里面讲遍历理论(ergodic theory)的书,"那是真正的测度论"(J.M.Bony). 第四章从这里开始算泛函分析的课了.不过这一章是不是一定要以这样的篇幅在这里讲值得讨论.其实很多度量空间的概念在数学分析课里面就可以解决掉,在这里应该只要强调有限维和无限维的差别就可以了.上面的许多参考书在这里一样可以用,还应该加上的是:
19.汪林"泛函分析中的反例"
第十节一般不讲,不过这东西实在是基本,整个泛函的体系都可以建立在上面,理图里面有一本
20.夏道行,杨亚立 "拓扑线性空间"
不过那书基本上是第二作者写的,所以建议有兴趣的话还是看下面几本
21.N.Bourbaki "Topological Vector Space""
Chpt. 1-5 布尔巴基写书是一章一章出的,这书能一次就包含五章,实属罕见.而且估计今后也不会有后续的内容了. GTM里面也有两本是讲拓扑线性空间这个题目的:
22.H.H.Schaefer Topological [Vector Spaces](GTM3)
23.J.L. Kelley, I.. Namioka [Linear Topological Spaces](GTM36)
里面有一章也是讲这东西的.其它许多以"泛函分析"为标题的书也是以此为出发点的,比如
24.S.K. Berberian "lectures in Functional Analysis and Operator Theory"(GTM15)
Berberian 也是很好的数学家,他翻译的Connes的"Noncommutative Geometry"是一个很好的版本.尽管后来Connes自己出了个内容更多的英文本.
25.W. Rudin "Functional Analysis" 这本书里面也有很多非常有趣的内容.Rudin的书都是很好的.
26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov "Functional Analysis"
(英文版系资料室有一本,中译本在理图有很多)不少人都说Nobel经济学奖有不少是给数学家的,这话一点不错,不过给计划经济体制下的数学家恐怕就Kantorovitch一位了.这是本很清晰简洁的书,中译本的质量也很不错.
27.J.B. Conway "A Course in Functional Analysis"(GTM96)
第五章这一章讲述Banach空间上的有界线性算子理论.这一内容的框架性著作毫无疑问是
28.Dunford,Schwarz "Linear Operators"I
这书在系资料室运气好的话能找到一到两本.注意有一些结论是可以把Banach空间减弱为Frechet空间的,不过好像据说实际应用中除了广义函数空间是个Frechet空间以外其它用得并不多.前面列的各中标题是泛函分析的书这里都可以用. 汪林的书19.里面有许多有趣的例子. 不自反的空间的例子在系资料室可以查到,应该是在某期Proc. of Nat. Acad. of Sci.上. 再补充一下前面漏掉的一本书:
29.W.Rudin "Real and Complex Ananlysis"
在讲单复变的时候我们已经提到过这本书了,这里面可以看到不少实分析或者说泛函方法在复变中的应用.这书现在已经有第三版了,老的版本总书库里面有很多. 第六章Hilbert空间由于其上存在一个内积,可以发展的性质比Banach空间要多得多.从空间本身来讲,线性代数学好点对本章前面几节有很大帮助,学的过程中密切注视维数无限导致的各种反例就是了.算子理论其实也一样,脑子里面清楚哪些有限维的性质是可以推广到无限维的对整个体系的理解很有用.本科阶段一般也就教半章,这也没有办法,如果第四章能省下的点时间的话还是能够讲一些算子谱理论的. 这里可以做的习题非常多,特别是
30.P.R. Halmos [A Hilbert Space Problem Book](GTM19) 算得上一本杰作.
有的地方管这叫"近世代数",反正近不近各人自己看着办吧!从历史上说,可以认为严肃的讨论是从伽罗华开始的,他在决斗前夜写下的那封著名的信件(里面有"你可以公开向Jacobi或者Gauss提出请求,不是就这些结果的正确性, 而是重要性,给出意见....",现藏法国国家图书馆).在后来的发展过程中,代数结构话的语言逐步渗透到数学的各个角落.到今天这已经是一门无处不在的分支了.不止一个老师教导过我们:在复旦,你们受到的分析训练将是很多的(充不充分要看各人的要求了),但是代数...恐怕你们自己还要多下点功夫.现行教材是我的本家写的,总的说来作为初学还很可以一读,原因将在下面说明.北大的课本是
1.丁石孙,聂灵沼 "代数学引论"
这本书的特点和北大的那本高等代数一样,就是没什么自己的特色,原因是这本书从体例到习题在很大程度上参考了
2.N.Jacobson "Basic Algebra I,II "
这书在总书库里面有不少,理图里面也有前面几章的中译本,应该是叫"基础代数学"吧,不过翻译质量一般.Jacobson在代数领域也属于权威,是华先生同时代的人.这本书从观点上说是相当现代化的,比同作者的那本
3.N. Jacobson "Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32) "
(中译本:抽象代数学,共三卷,理图里有)要改进不少.有兴趣的话不妨那我的本家先生的书和2.去比较一下，从习题的角度上说,可以看
4.徐诚浩 "抽象代数--方法导引 "
这本书可以说比较适合在复旦学这门课.可以罗列的参考书还有很多,综合性的课本有名气很大的
5.S.Lang "Algebra" Lang"
写书以清晰著称,他的这本书还得过AMS发的Steel优秀图书奖.
6.莫宗坚 "代数学(上,下)"
北大数学丛书里面的一本,没有很仔细地看过,但是感觉不错.北大的一些同学对此书推崇倍至,认为比1.写得好.
7.熊全淹 "近世代数" "
这本书的好坏不敢评论,不过这本书有个很大的特点,就是作者收集了很多小文章,比如许多American Mathematical Monthly上的短文.依他开列的参考文献到系资料室去找,可以看到很多有趣的东西.其它的就是比较专门的东西了.比如群论就有影响过无数学者的
8.库洛什 "群论" 注意这本书第二版和第三版中译本的封面一模一样.或者段学复先生的导师Robinson写的 "
9.Robinson "A course in the theory of Groups"(GTM 80)
再有象(群,代数)表示论,环论,模论等等,都有专著,不过我是一窍不通的了.还望这里的高手多多指点. 对于Galois理论,有一本
10.E.Artin "伽罗华理论"
非常薄,讲得很精彩,绝对是本传世佳作.还有
11.Edwards "Galois Theory"(GTM 101)
这本书很有趣,它是循着Galois的原始想法写的,因此和一般通行的教本里面的讲法不是很一样.
这门课没读过,不过如果现在的课本还是
1.I.Tomescu "组合学引论 "
的话,倒还是想说两句的.首先,这是本很好的书,不管上不上这门课都值得一读.其次,这本书的习题不是很好做的,特别是没有答案:)(严肃的说,当你看到许多习题后面都标有人物,年代,就该知道这些结果不是那么平凡的了)作为补充,可以考虑
2.I.Tomescu "Problem in graph theory and combinatorics "
这本书有比较详细的提示和解答,里面的题目也非常好,高二的时候曾和一个哥们把里面的题目抄了一遍(当时条件简陋,没法复印的说).不过复旦是不是有我不是最清楚.但是我可以肯定的是,下面这本书总书库里面有很多:
3.Lovasz "Problems in Combinatorics "
这是本相当好的习题集,作者Lovasz是唯一一个得过wolf奖的组合学家.唯一的可能有麻烦的地方这本书的块头大了点,不过千万不要被吓倒!(这里应当声明,已经快五年没好好看过组合书了,所以脑子里面的印象难免有所偏差,还望大家原谅) 有一些书是讲图论的,其中比较好的书大概可以算
4.Bondy,Murty "Graph Theory and Applications" "
(中译本:图论及其应用,科学出版社,理图里有)这本书内容翔实,写得很容易读,而且有许多难度适当的习题,注意这些习题不仅在书后(好象)有简短的提示,而且在图书馆里面还有一本
5."图论及其应用"
习题解答做得还算不错吧.翻译成中文的书里面,还有上海科技出版的
6.Harary(哈拉里) "Graph Theory"(图论)
这本书里面的习题基本上都是从人家的论文里面直接找来的,所以有相当难度,虽说那里给出了非常详细的文献来源,但是有些还是很不好找的.这本书其实已经有点专著的味道了. 讲到图论,还有象
7.B. Bollobas "Graph Theory"(GTM 63)
这本书世界图书刚刚重印,市面上应该还能见到不少.Bollobas现在是在剑桥吧,国际数学家大会上也是做过(作为参照,改革开放以来,从大陆出去做过45分钟报告的好象才两个人--在国外工作的加上去也不到十个吧)
8.G.Chartrand,L. Lesniak"Graph and Digraphs"
是本好书,浅显易懂.此外还有
9.C. Berger"Graph and Hypergraph"
是这里的框架性著作,至少在外国教材中心里面有一本. 还有一些不讲或不专讲图论的组合书,中文的有
10.李乔"组合数学基础"
我们的这位校友(华宣积老师的同学)文革期间在中科大吃过很多苦头,现在在上海交大.他这本书写得很不错,不过一个小小的遗憾,就是这书的书脊上印的是"组合数学础基".
11.I. Anderson"Combinatorics of Finite Sets"
12.Bollobas"Combinatorics"
这两本书国内影印过,所以我想总书库里面会有.理图里面还能找到一本薄得要死的名著 ".
13.Ryser(赖瑟)"组合数学"
这里面记得有一些讲组合设计的章节还是很简单明了的.至于象
14.魏万迪 "组合论"
这书感觉好象篇幅太大了点,而且你很快就会发现其实这书很不好看.着重算法的书很多就是计算机类的了,比如
15.朱洪等 "算法设计和分析"
16.卢开澄"组合数学--算法与分析"
印象中该书第一版是上下两册,第二版就只剩下一半篇幅了,没有很仔细得比较过前后两版,所以也说不出究竟变了点什么. 组合数学有不少书是可以看着玩的,比如外国教材中心里面有一本书好象叫"Graph theory from Eulerto Konig"(等于就是说讲现代图论的史前史),等等. 如果要求不是很高,那么下面的书可能可以算篇幅不大,内容不深,但多少也讲了些东西的:
17.I. Anderson "A First Course in Combinatorial Mathematics"
18.C.Berger "组合学原理"(上海科技)
19.C.L.Liu(刘炯朗,现新竹清华大学校长) "组合学引论";
这书是魏万迪翻的,就是印刷质量差了点.其它都还好,在北美的评价也不错.此外,最近刚刚看到出了一本
20.Lovasz,et al.(ed.) "Handbook of Combinatorics"
厚厚的两大本,里面有很多人的文章, 算得上是包罗万象了. 组合里面还有一个非常有名的东西--四色定理,关于它就是是不是被证明了争论了很多年,当真是仁者见仁,智者见智.当年的两位主角Appel 和Haken写过本书,就叫
21.Appel ,Haken "Every Planar Map is Four Colorable"
如果你觉得这书块头太大,可以先翻翻他们在
22.Steen(ed.) "mathematics today"
(中译本:今日数学,上海科技)里面的一篇通俗的文章,写得非常的好. 最后补充canetti指出的
23.Reinhard Diestel "Graph Theory"(GTM173)
这本书里面讲到了概率方法,这个感觉是一个很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields奖的T.Gower(这位是靠 Banach空间理论得奖的,但是他的组合功夫本来就很深,现在好象干脆就转向组合了)
这是讲偏微分方程的课的名称.顾名思义,就是说这里的方程原则上最早都是从物理里面来的.这个分支里面的东西丰富之至(当然往反面说就是有时候会显得结果比较零散). 现行课本是
1.谷超豪,李大潜,谭永基,沈纬熙,秦铁虎,是嘉鸿"数学物理方程"(上海科技)
这本书在这样一个水平上(指不引进广义函数,弱解等泛函里面的概念)是相当不错的.注意那些经典方程的推导里面多少有一些近似的过程,这其实从某种意义上反应了所对应的微分算子的某些性质的稳定性.比如,对于经典的波动方程,3维及以上的奇数维成立惠更斯(Huygens)原理(这可以看作经典物理的时空里面空间维数必须是奇数的一个证据),你在其它一些书(或者说以后)可以看到,差不多二阶双曲方程里面只有波动方程有这样的性质--但是别忘了,高维波动方程的推导里面是有近似的,这说明什么?一阶偏微分方程似乎是安排在常微的最后教的,常微的最后教不教我课不知道,有些东西还是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿来证明微观经济模型的合理性,然后说他看不出有存在C^\infty推理的可能--数学经济是怎么回事,可见一斑.你能说社会活动中的数据都是按t解析的吗???!!!学这门课的那个学期在忙着各种各样考试(比如T,G等等),故此没能够看太多的参考书.北大的课本也没有看过,不过据一位北大的师兄说,和复旦的课本相比较,可能北大那边相对更注重一些解的渐进估计等等,而复旦这里对于显式解讲得更多些.注意在图书馆里面可以找到一本内容相当接近的书
2.谷超豪,李大潜,陈恕行,谭永基, "数学物理方程"(人民教育高等教育)
这书的题材,难度,例题,习题等等和1.非常接近.特别指出这本书的原因是在复旦的课本中据我所见,只有这本是曾经出过一本"官方的"习题解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答对于做作业是很有帮助的. 比较容易找到的书里面,
3.陈恕行,秦铁虎 "数学物理方程--方法导引"
是一本非常好的讲习题的书.里面的习题如果能够全部做一遍的话,应付考试是绰绰有余了. 说实在的,偏微分这个领域在过去的几十年里面有翻天覆地的变化,古典的方法和"现代"的泛函的方法有时候的确很难兼顾.我想说起古典的,
4.R. Courant, D. Hilbert"数学物理方法"(I,II)
可以说是毫无疑问的经典.按照洪家兴老师的说法,不管椭圆,双曲,抛物里面的哪一块这本书里面的相应章节都是经典,问题就是这书放在一起你是没办法当教材来学的,所以只能有空翻翻啦.... 经典的教材,大概可以算
5.彼得罗夫斯基"偏微分方程讲义"
这本书从风格上可能和他老人家那本"常微分方程讲义"比较接近.里面的有些内容,象Cauchy-Kovalevskaya定理,在复旦的本科也好象是不讲的.我想讲讲这个人,他其实从三十年代开始就不怎么做东西了,主要的精力一直放在为苏联数学界构造保护伞方面.他最后去世的时候是这个样子的,某天他到莫斯科市委会去开会,跟人家大吵了一架,因为基础科学研究的经费的事情,结果出来的时候在大门口突发心肌梗塞,他的最后一句话是:"我嬴了".有这样的人存在你才可以想象为什么人家的大清洗没有对科技的发展有太大的影响.对于这个问题,建议看看
6.AMS Notice, vol. 44(1997), No.4, p.432 span>
7.AMS Notice, vol. 46(1999), No.10,p.1217
8.O.A. Ladyzhenskaya"The Boudary Value Problems of Mathematical Physics"
和5.一样,都很经典.当然你要说它们陈旧我也没话可说. 既然这课叫数学物理方程,多少和物理沾点边吧,在这个方向上我以为
9.李大潜,秦铁虎"物理学与偏微分方程"(高教)
还是很不错的,上册已经出版,下册也就要付印了.该书的起点并不高,所以应该比较容易看.据说该书的责编(北大毕业的)极为负责,认真到连里面的公式都一个个去推导的地步.从课程设置的角度上说,其实有一些深度介于本科课程和研究生的那门偏微基础课之间的书(包括不少经典)都可以在这段时间里面看看的.比如
10.L.Bers, F. John, M. Scheter,"Partial Differential Equations" Bers
是个很有趣的人,可以看看
11.L.Steen, ed."今日数学"(Mathematics Today)
里面的文章.附带说一句,这本书是最好的数学普及读物之一,绝对值得一看,中译本的质量也不错.
12.F. John"Partial Differential Equations"
这本书系资料室肯定有. 剩下两本应该是比较容易找到的,因为世界图书刚刚印,虽说贵了点.不过还是值得一看的.
13.J. Rauch"Partial Differential Equations"(GTM128)
14.M. Taylor"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
后面这本看前一半就可以,后一半也看当然更好:-))引G. Lebeau的一句话,这书比
15.L. Hormander"Linear Partial Differential Operators, I"
要好念多了.(当然基本上人人都是这么认为的,只不过这位的来头比较大而已--法国科学院通讯院士,46岁)
我拓扑学得很差(从总体上说),因此这里我也说不出太多东西.大概也就点集拓扑还算过得去,我以为这一方面我们的现行课本:
1.李元熹,张国(木梁) "拓扑学"
的前两章还是不错的.至少该讲的东西都讲了,而且后面罗列(我想不出还有什么更好的形容词)了许多习题,做上一遍是很有趣的一项工作.中文的参考书里面好象
2.熊金城 "点集拓扑讲义"
是比较好的.该书也有些名气. 不过要好好学,可能还是看下面的两本比较经典的书:
3.J.L. Kelley "General Topology"(GTM 27)
此书名头很响,55年出版的时候应该算得上是把这一领域里面的结果做了个很好的总结.该书是想写成课本的, 因此每章后面都有习题,按A,B,C,D,... 编号.只是....真要做起来未免有些困难.听说过这样一个故事,就是曾有一位 华裔数学家回国讲学的时候于酒席间说他的老师要他去学拓扑,指明看Kelley的书,而且要习题全做.结果大家都笑了, 因为大家都明白这目标不是很现实. 我个人的经验是,在那个学期陷入各类考试的重围中之前,还做了前面两三章的题目.是比较困难,但是做起来也非常有趣. 再补充一本中文的书,内容和1.差不多
4.尤承业"基础拓扑学"
是北大的教材.
5.I.M.Singer, J.A.Thorp "Lecture notes on elementary topology and geometry
(中译本:(基础)几何学与拓扑学讲义,干丹岩译)这是本极好的教材,应该可以用深入浅出来形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起证指标定理的那位,说是重量级人物当无疑义. 如果你只想查结果,我觉得可以去找
6.R.Engelking "General Topology"
这书是七十年代末写的,内容翔实,至少对我来说是有包罗万象的感觉,当然对做这一块的人就不一定了. 按照萧先生的速度,大概第二章还是能讲大半的.这里属于代数拓扑的起始部分,参考书一下子就比前面的多多了. 讲代数拓扑的书,可能
7.Greenberg "Lectures on Algebraic Topology"
属于写得很通俗易懂,配置合理的那一类. 还有象GTM里面的
8.W.S.Massay"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56)
也是写得很好的书. 这个学期刚刚在学拓扑，做些补充的说。:)拓扑学是在十九世纪末兴起，并在二十世纪中蓬勃发展的数学分支，现在已与近世代数，近世分析共同成为当代数学理论的三大支柱。如果先要对该学科有一个感性的认识的话，建议看
9．《拓扑学奇趣》巴尔佳斯基 叶弗来莫维契
合著这本书只有不到两百页，可是覆盖的面很广，也有一定数量的有启发性的题目。
10．M.A.Armstrong的《基础拓扑学》
也是一本不错的书。由于该书中的讨论范围有很多是基于Hausdorff空间，有些是甚至是在度量空间里讨论问题的，所以一些定理的证明就变的比较简单易懂，例如Urysohn引理。由于侧重点不同，这本书对复旦现在的课本是很好的补充。
几何是非常美妙的,通常人们提到几何的时候会把直观两个字加上去.这其实是很有道理的,在微分几何中也不例外.具体的说,就是虽然微分几何往往会使人感觉被淹没在计算的汪洋大海,但是有一个几何的"感觉"是很有帮助的. 现在用的课本应当是
1.苏步青,胡和生等 "微分几何"
这书写得不错,至少比北大陈维桓的那本"微分几何初步"要好多了.这很大程度上应当感谢本书的主要作者,也就是书上列的第三作者沈纯理先生,他现在在华师大.应当承认这本书,特别是第三章,取材受
2.Do Carmo(多卡模) "曲线和曲面的微分几何学"
"Differential Geometry of Curves and Surfaces"这是本绝对的好书,胡先生他们把这本书翻译出来实在是功德无量.在总书库里面有一本英文本,如果怀疑有什么翻译问题的话可以去对照. 1.第三章里面有个习题是从2.的中译本上搬过来的,不过有题意不清之嫌.做的时候要小心. 还有一点要注意的是1.里面曲面论基本定理的证明中有个地方漏印了两项,具体去问黄宣国老师吧. 一般说来,看上面两本书也就够了,可以考虑的扩充部分包括在2.的末尾所开列的参考书目.这是我很少见到的带书评的书目.里面提到的一些经典的著作在数学系资料室都能找到,比如
3.Eisenhart "Diffenrential Geometry"
谷先生读书的时候就念过这本. 还有象
4.Darboux "Lecons sur la theorie generale des surfaces"
在系资料室里偏偏缺最常被引用的第二卷. 古典微分几何的开山之做是
5.Gauss "Disquisitiones generales circa superficies curvas"
这是拉丁文的(Gauss只有晚年最后的一些东西是用德文写的),所以虽然系里有Gauss全集,我也不认为有人能看懂,不过现在我们有下面的
6.P.Dombrowski "150 years after Gauss' 'Disquisitiones generales circa superficies curvas' "
;这里面有完全的英文翻译和里面的结果到20世纪70年代末的发展情况. 对于中文的课本,其实总数就不是太多.有象
7.吴大任 "微分几何学"
或者五十年代翻译苏联的课本等等,内容都差不多,而且微分几何的特点是各人都喜欢用自己的一套符号,许多符号,象曲率等等,常会有正负号的差异,所以建议认定一两本,其它简单翻翻即可. 所以说想找讲解详细的书还不如看
8.沈纯理,黄宣国 "微分几何"(经济科学出版社,97)
虽然说这本书是自学考试的教材.那里的习题也是有较详细解答的. 更难一些的习题可以在
9.姜国英,黄宣国"微分几何100例"
里面的题目全部做下来的话,应付期末考试绝对是没有问题.
现在想来讲两句"微分流形",我想大概给94开的是第一次,当时是作为基础专业的选修课的,我是逃了三分之一的抽象代数课去听的(当然,应该解释为为听这课逃掉了三分之一的抽象代数课,由于其他原因的还不算在内*_^),最后参加考试,因为没选这课,所以就和黄老师商量,如果没有A的话就算了,结果就是我这课没有成绩--那课只有今年要去Stanford的哥们拿了个A.说正经的,微分流形可以认为是"(微分)流形上的微积分与微分几何初步".在目前教材尚未确定的情况下,我们只能来看一下具体的内容了:-((当然我想说还是有本教材的好,这样至少有个明确的目的,不然尽管大家都可以直接把笔记拿来当讲义,但总是有点别扭的,我以为)首先自然是流形的概念,我们自然不能指望从Bourbaki的"流形"开始念,一般来说,在任何一本讲微分几何的书里面都有这一概念的介绍,只不过详略不同而已. 复旦曾经有相当长的一段时间用
1.W.M.Boothby "An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry"
作为微分几何课本,从某种技术性的观点来说这书可能太罗嗦,讲到流形上的向量场就用了100多页的篇幅,但是我觉得初学看这书还是很好的,毕竟讲得相当详细,几乎所以的东西都是有详细证明的.理图总书库里面有不少.讲到流形总是有两种引进方法,一是从一开始就讲一个局部和欧氏空间中的开集同胚的Haussdorf空间....然后再讲微分结构等等. 中文书里面有
2.陈省身,陈维桓 "微分几何初步"
很有大师风范,只是印刷质量不算太好.(至于陈维桓自己写的那本北大教材,我比较倾向于引用北大一位师兄的说法:"陈还写过一本微分流形,给人的感觉是话说了很多,但还是摸不着头脑,例如dx,dy究竟是何意",所以,还是免了吧) 另外被认为写得比较好的中文书有
3.白正国,沈一兵,水乃翔,郭效英"黎曼几何初步"
这书的特点--要说就在于没有特点,那实在是太过分点了--我认为还是在于很细致,既然不用象Boothby那样在拓扑流形上花时间,进入正题可以说比较快,而且有不少习题,书末更有一个索引,实在是本好书.有胃口的话,还可以看看
4.B.A. Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov "Modern Geometry--Methods and Applications" 的第一,二卷(GTM 94, 103,世界图书新印过).
该书的作者都是名家,除了对于这门课就事论事来说可能难了点外应该说不出有什么不好.至少可以看看第二卷的第一章.二是从欧氏空间中的子流形开始讲.这样的好处应该说是可以马上看到很多例子,另外毕竟大多数情况下流形只有放在仿射空间或者射影空间里面才有点意思(至少在开始阶段是这样),从这一角度出发写的微分几何课本中有一本
5.Gallot, Hulin, Lafontain"Introduction to Riemannian Geometry"
是Springer-Verlag的Universitext中的一本,应该说写得很好,评价(我听到的)也很不错. 用这种观点(其实用前一种观点也一样,多元函数的反函数定理,隐函数定理都是要明白的. J.Milnor曾经写过两本很有意思的书,里面的讲解都是非常精彩的,
6.J.Milnor Topology from a differential point of view
(中译本:从微分观点看拓扑)
7.J.Milnor Morse Theory
(中译本:莫尔斯理论) 如果还没给赔光的话理图里面应该都是有一些的.讲到微分形式,自然可以讲流形上的积分,以及Stokes公式等等. 这里有
8.Spivak "Calculus on Manifolds"
(中文名字就叫"流形上的微积分")⒎ 流形"可以一看. 有一点,就是大家千万不要只会用Stokes公式,真给你一个流形上的体积元去积一下反而不会,这千万要不得.作为练习,不妨试试复射影空间CP^n上的Fubini-Study形式积出来是多少?
9.V.I.Arnold "Mathematical Mathods of Classical Mechanics"
里面关于微分流形,微分形式等等的介绍也很简单明了. 还可以一看的书有
10.R.Narasimhan "Analysis on Real and Complex Manifolds"
(中译本:实流形和复流形上的分析,科学,1986)陆柱家翻译这书是花了功夫的,连印刷错误都一一纠正.我想至少前一百页是可以看的.
11.苏竞存 "流形的拓扑学"
此书块头很大,内容翔实,而且有很多作者加的话,很有意思. 有一本书,可能不入高手法眼,不过我觉得是很不错的,
12.C. von Westenholz"Differential forms in Mthematical Physics"
(这书有两个中译本,书名都是数学物理中的微分形式,理图里面至少有一个版本)这是写给念物理的人看的,因此只有条条框框,很多定理都没有证明.但是好处在于:条理是清楚的,例子是丰富的(虽然很多例子没有展开,但是至少开始阶段该有的基本上都有了),而且这书里还能给人一个大概的概念,这些东西学了都可以干什么用(主要是写了一些在理论物理中的应用).对于到考试前还有点不知所云的人(比如说我那时候),应该说帮助不小.至于侯伯元,侯伯宇的那本"物理学家用微分几何",可能是太深了点,非物理学家不能理解.
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