已知：如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出对称轴和顶点坐标。
其他
10北师大版九下数学2.4 二次函数的应用 知识点精讲
知识点总结
一.二次函数的最值：
1.如果自变量的取值是全体实数，那么二次函数在图象顶点处取到最大值(或最小值)。
这时有两种方法求最值：一种是利用顶点坐标公式，一种是利用配方计算。
二.二次函数与一元二次方程、二次三项式的关系
三.二次函数的实际应用
在公路、桥梁、隧道、城市建设等很多方面都有抛物线型;生产和生活中，有很多“利润最大”、“用料最少”、“开支最节约”、“线路最短”、“面积最大”等问题，它们都有可能用到二次函数关系，用到二次函数的最值。
那么解决这类问题的一般步骤是：
第一步：设自变量;
第二步：建立函数解析式;
第三步：确定自变量取值范围;
第四步：根据顶点坐标公式或配方法求出最值(在自变量的取值范围内)。
常见考法
(1)考查一些带约束条件的二次函数最值;
(2)结合二次函数考查一些创新问题。
线( )对称，顶点坐标为( ， ).
⑴ 当a0时，抛物线开口向( ) ，有最( )(填高或低)点, 当X= ( )时， 有最( )(大或小)值是( ) ;
⑵ 当a0时，抛物线开口向( )，有最( )(填高或低)点, 当X=( )时， 有最( )(大或小)值是( ).
【典型例题】
例1 橘子洲头要建造一个圆形的喷水池，并在水池中央垂直安装一个柱子OP，柱子顶端P处装上喷头，由P处向外喷出的水流(在各个方向上)沿形状相同的抛物线路径落下(如图所示).若已知OP=3米，喷出的水流的最高点A距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)若不计其它因素，水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外?
典型习题精析
典型例题分析1：
某商场要经营一种新上市的文具，进价为20元/件，试营销阶段发现：当销售单价25元/件时，每天的销售量是250件，销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．
（1）写出商场销售这种文具，每天所得的销售利润w（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式；
（2）求销售单价为多少元时，该文具每天的销售利润最大；
（3）商场的营销部结合上述情况，提出了A、B两种营销方案：
方案A：该文具的销售单价高于进价且不超过30元；
方案B：每件文具的利润不低于为25元且不高于29元．
请比较哪种方案的最大利润更高，并说明理由．
解：（1）由题意得，销售量=250﹣10（x﹣25）=﹣10x+500，
则w=（x﹣20）（﹣10x+500）
=﹣10x2+700x﹣10000；
（2）w=﹣10x2+700x﹣10000=﹣10（x﹣35）2+2250．
∵﹣10＜0，
∴函数图象开口向下，w有最大值，
当x=35时，w最大=2250，
故当单价为35元时，该文具每天的利润最大；
（3）A方案利润高．理由如下：
A方案中：20＜x≤30，
故当x=30时，w有最大值，
此时wA=2000；
B方案中：
故x的取值范围为：45≤x≤49，
∵函数w=﹣10（x﹣35）2+2250，对称轴为直线x=35，
∴当x=35时，w有最大值，
此时wB=1250，
∵wA＞wB，
∴A方案利润更高．
考点分析：二次函数的应用；一元二次方程的应用．
题干分析：
（1）根据利润=（销售单价﹣进价）×销售量，列出函数关系式即可；
（2）根据（1）式列出的函数关系式，运用配方法求最大值；
（3）分别求出方案A、B中x的取值范围，然后分别求出A、B方案的最大利润，然后进行比较。
这是一道与二次函数有关的实际应用问题，贴近生活，考生能学习生活知识，同时更帮助学生理解数学知识和生活之间的关系。研究题目，吃透题型是数学学习最有效，最实际的学习探究行为。从题目中挖掘知识点和方法技巧，提炼解题方法，概括题型，这样数学学习才能越学越有效，越学越轻松。
现代数学教育要求学生能体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用数学知识和方法技巧解决问题的能力。在近几年的中考数学试题中，经常出现与二次函数有关的实际应用问题，此类题型，有时候因其条件多，题目长，很多同学无从下手,难以快速找到解题思路。
星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成．已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米．
（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；
（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；
（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围．
则S=xy=x（30﹣2x）=﹣2x2+30x，
∴S=﹣2（x﹣7.5）2+112.5，
由（1）知，6≤x＜15，
∴当x=7.5时，S最大值=112.5，
即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为7.5米时，
这个苗圃园的面积最大，这个最大值为112.5．
（3）∵这个苗圃园的面积不小于88平方米，
即﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥88，
∴4≤x≤11．
∴x的取值范围为4≤x≤11．
考点分析：
二次函数的应用。
题干分析：
（1）根据题意即可求得y与x的函数关系式为y=30﹣2x与自变量x的取值范围为6≤x＜15；
（2）设矩形苗圃园的面积为S，由S=xy，即可求得S与x的函数关系式，根据二次函数的最值问题，即可求得这个苗圃园的面积最大值；
（3）根据题意得﹣2（x﹣7.5）2+112.5≥88，根据图象，即可求得x的取值范围。解题反思：
此题考查了二次函数的实际应用问题，解题的关键是根据题意构建二次函数模型，然后根据二次函数的性质求解即可。
某公司计划从甲、乙两种产品中选择一种生产并销售，每年产销x件．
（1） 若产销甲、 乙两种产品的年利润分别为y1万元、y2万元，直接写出y1、y2与x的函数关系式；
（2）分别求出产销两种产品的最大年利润；
（3）为获得最大年利润，该公司应该选择产销哪种产品？请说明理由．
已知产销两种产品的有关信息如下表：
解：（1） y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；
（2）甲产品：∵3≤a≤5，
∴6-a＞0，
∴y1随x的增大而增大．
∴当x＝200时，y1max＝1180－200a（3≤a≤5）
乙产品：y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）
∴当0＜x≤80时，y2随x的增大而增大．
当x＝80时，y2max＝440（万元）．
∴产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；
（3）1180－200＞440，
解得3≤a＜3.7时，此时选择甲产品；
1180－200＝440，
解得a=3.7时，
此时选择甲乙产品；
1180－200＜440，
解得3.7＜a≤5时，此时选择乙产品．
∴当3≤a＜3.7时，生产甲产品的利润高；
当a=3.7时，生产甲乙两种产品的利润相同；
当3.7＜a≤5时，上产乙产品的利润高．
考点分析：二次函数的应用，一次函数的应用
题干分析：
（1）y1=(6-a)x-20（0＜x≤200），y2=-0.05x²+10x-40（0＜x≤80）；
（2） 产销甲种产品的最大年利润为(1180-200a)万元，产销乙种产品的最大年利润为440万元；
（3）当3≤a＜3.7时，选择甲产品；当a=3.7时，选择甲乙产品；当3.7＜a≤5时，选择乙产品。
在数学学习过程，大家应学会在具体的情境中，从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，提高应用意识，提高实践能力。经历从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法的过程，体验解决问题方法的多样性，掌握分析问题和解决问题的一些基本方法。
一、几何图形
在抛物线背景下的几何综合问题主要特点是包含的知识点多、覆盖面广、逻辑关系复杂、解法灵活，要求学生熟练掌握三角形、四边形、圆、三角函数等几何知识，较熟练地应用方程与不等式、分类讨论、数形结合等常见的数学思想．
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分析：
（1）利用正方形的性质及边长，可求出B、C的坐标，就可得出抛物线的对称轴，再将点C的坐标代入解析式，求出函数解析式，然后求出其顶点坐标。
（2）由y=0求出x的值，得出抛物线与x轴的两交点坐标，再观察函数图像，当y>0时，就是看x轴上方的图像，就可得出x的取值范围。
（3）利用二次函数的性质及M的取值范围，就可得出答案
二、销售问题
解决这种问题时，要会根据问题情境建立一个二次函数模型，利用配方法分析函数最值，依据题目限定情况，确定适合题目需求的最值答案。
分析：
（1）根据题意直接写出y与x之间的函数解析式
（2）利用利润=每一件的利润*销售量y。列出函数解析式，将函数解析式转化为顶点式，利用二次函数的性质可解答
三、百分率问题
例题：某纸厂第一年的利润为50万元，如果每一年比上一年的利润增长率相同，都是x，则第三年的利润为___________
分析：根据第三年的利润=第一年的利润*（1+增长率）²
四、动点问题
动点问题一般都是考试热点，考察探究运动过程中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。
分析：
（1）将A、C的坐标代入抛物线中即可求得待定系数的值。
（2）根据抛物线的解析式可求得B点的坐标，即可求出OB，BC的长，在直角三角形BPH中，可根据BP的长和∠CBO三角函数求出PH，BH的长，进而可求出OH的长，也就求出了P点的坐标。Q点的坐标，可直接由直线CQ的解析式求得
（3）本题要分情况考虑：
①PQ=BP，此时BH=QH=1/2BQ，在（2）中已经求得了BH的长，BQ的长可根据B、Q点的坐标求得，据此可求出t的值。
②PB=BQ，那么BQ=BP=5t,由此可求出t的值
③PQ=BQ，已经求得BH的长，可表示出QH的长，然后在直角三角形PQH中，用BQ的表达式表示出PQ，即可用勾股定理求出t的值
在解二次函数这类型题目时，同学们需要掌握这转化、建模、运动思想。
1、方案设计最优问题：费用最低？利润最大？储量最大？等等。
2、面积最优化问题：全面观察几何图形的结构特征，挖掘出相应的内在联系，列出包含函数，自变量在内的等式，转化为函数解析式，求最值问题。
1、建立图像模型：自主建立平面直角坐标系，构造二次函数关系式解决实际问题。
2、方程模型和不等式模型：根据实际问题中的数量关系，列出方程或不等式转化为二次函数解决问题。
3、根据实际问题情境抽象出二次函数模型。
1．二次函数在没有范围条件下的最值：
二次函数的一般式化成顶点式，如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）．
2．二次函数在有范围条件下的最值：
如果自变量的取值范围是，如果顶点在自变量的取值范围内，则当，，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性。
习题答案
(1) 90人；
(2)
试题分析：
（1）利用样本估计总体，用480乘以样本中选“数学故事”的人数所占的百分比即可估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数；
（2）画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出他和小慧被分到同一个班的结果数，然后根据概率公式求解。
试题解析：
（1）480×
估计该校七年级480名学生选“数学故事”的人数为90人；
（2）画树状图为：
共有6种等可能的结果数，其中他和小慧被分到同一个班的结果数为2，
所以他和小慧被分到同一个班的概率=
如图，在△ABC中，∠B=90°，点P从点A开始，沿AB向点B以1厘米/秒的速度移动，点Q从B点开始沿BC以2厘米/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发：
（1）几秒后四边形APQC的面积是31平方厘米？
（2）若用S表示四边形APQC的面积，在经过多长时间S取得最小值？并求出最小值．
习题答案
如图，A点在半径为2的⊙O上，过线段OA上的一点P作直线l，与⊙O过A点的切线交于点B，且∠APB＝60°，设OP＝x，则△PAB的面积y关于x的函数图象大致是 ( )
D
【解析】
因为AB切⊙O于A，
所以∠PAB＝90°
在Rt△PAB中，AP＝2－x，∠APB＝60°
∵tan 60°＝
∴AB＝(2－x)·
∴y＝
∴y＝
已知：如图，二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.
（1）求抛物线的解析式；
（2）求出对称轴和顶点坐标。
习题答案
（1）抛物线的解析式为
（2）对称轴x=2, 顶点坐标 (2，9)
试题分析：
(1)把三点代入函数解析式列出三元一次方程组，从而得出函数解析式；
(2)根据函数解析式求出点B和点M的坐标，然后作ME⊥y轴于点E，根据△MCB的面积=梯形EDBM的面积－△ECM的面积－△COB的面积得出答案。
试题解析：
(1)依题意：
(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1 ∴B(5，0)
由
则
图文导学
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