12北师大版九下数学3.1 圆 知识点精讲

知识点总结 

圆的认识

1. 圆的定义：

 描述性定义：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的圆形叫做圆；固定的端点O叫做圆心；线段OA叫做半径；以点O为圆心的圆，记作⊙O，读作“圆O”

  集合性定义：圆是平面内到定点距离等于定长的点的集合。其中定点叫做圆心，定长叫做圆的半径，圆心定圆的位置，半径定圆的大小，圆心和半径确定的圆叫做定圆。

对圆的定义的理解：

①圆是一条封闭曲线，不是圆面；

②圆由两个条件唯一确定：一是圆心（即定点），二是半径（即定长）。

2、与圆相关的概念

①弦和直径：

  弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦。

直径：经过圆心的弦叫做直径。

②弧、半圆、优弧、劣弧：

弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“⌒”表示，以CD为端点的弧记为“”，读作“圆弧CD”或“弧CD”。

半圆：直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫做半圆。

优弧：大于半圆的弧叫做优弧。

劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧。(为了区别优弧和劣弧，优弧用三个字母表示。)

③弓形：弦及所对的弧组成的图形叫做弓形。

④同心圆：圆心相同，半径不等的两个圆叫做同心圆。

⑤等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆，半径相等的两个圆是等圆。

⑥等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧。

⑦圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角.

⑧弦心距:从圆心到弦的距离叫做弦心距.

3、 点与圆的位置关系及其数量特征：

  如果圆的半径为r，点到圆心的距离为d，则

  ①点在圆上 <===> d=r;

②点在圆内 <===> d<r;< span=""></r;<>

③点在圆外 <===> d>r.

其中点在圆上的数量特征是重点，它可用来证明若干个点共圆，方法就是证明这几个点与一个定点、的距离相等。

集合形式的概念:

1、圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合;
2、國的外部:可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合; 
3、圆的内部:可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合

轨迹形式的概念: 

1、圆:到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆;
2、垂直平分线:到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线(也叫中垂线)
3、角的平分线:到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线;
4、到直线的距离相等的点的轨迹是:平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线:

5.到两条平行线距离相等的点的轨迹是:平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。

导学案

学习目标 

  经历形成圆的概念的过程，经历探索点与圆位置关系的过程；理解圆的概念，理解点与圆的位置关系． 

学习重点:  圆及其有关概念，点与圆的位置关系．

 学习难点: 用集合的观念描述圆．

 学习方法: 指导探索法. 

一、创设情境  引入新课

1．投圈游戏 

一些学生正在做投圈游戏,他们的目标都是图中的花瓶，他们呈“一”字型排开,这样的队形对每个人公平吗?你认为他们应当排成什么样的队形才公平?

为了使投圈游戏公平,现在有一条3米长的绳子,你准备怎么办?

二、  师生互动   探求新知

1．圆的定义：平面上到     的距离等于        的所有点组成的图形叫做圆．

定点称为       ，定长称为       ，以点O为圆心的圆记作       ，读作“     ”．

教师提示：从圆的定义可知：(1) 圆是指圆     ，而不是圆       。(2)确定圆的要素有两个：一是       ，它决定圆的         。二是        ，它决定圆的          。

2.与圆有关的概念：

（1）弦：连接圆上任意两点的           。        

（2）直径：经过圆心的     

（3）圆弧：圆上任意两点间的部分。

（4）半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两个      ，每一条         都叫做半圆

（5）等圆：能够          的两个圆叫半圆

（6）等弧：在同圆或者等圆中，能够互相        的弧叫等弧。

3.如图：是一个圆形靶的示意图，O为圆心，小明向上投了5枝飞镖，它们分别落到了A、B、C、D、E点。观察A、B、C、D、E这5个点与⊙O的位置关系？

[本课重点]点与圆的位置关系有      种：       、        、        。

如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么：

①点在圆     ，则 d   r；

②点在圆     ，则 d   r；

③点在圆     ，则 d   r。

三、巩固新知  应用新知

（一）、练一练：（提示：用点与圆的位置关系解决）

1、已知⊙O的面积为25π，判断点P与⊙O的位置关系．

   （1）若PO=5.5，则点P在           ；

（2）若PO=4，则点P在            ；

   （3）若PO=         ，则点P在圆上．

2、已知⊙P的半径为3，点Q在⊙P外，点R在圆P上，点H在圆P内，则PQ___3，PR____3,PH_____3.

（二）画一画   

1、（课本66页“做一做”）已知AB=3cm，作图说明满足下列要求的图形：

（1）到点A的距离等于2cm的所有点组成的图形.

（2）到点B的距离等于2cm的所有点组成的图形

（3）到点A和B的距离都等于2cm的所有点组成的图形

（4）到点A和点B的距离都小于2cm的所有点组成的图形.

2、（习题3.1第1题）如图,一根5m长的绳子,一端栓在柱子上,另一端栓着一只羊（羊只能在草地上活动),请画出羊的活动区域.

四、回顾反思  升华提高

1．通过本节课的学习你有哪些收获？

2．试一试，你能行

（1）．如图，在⊿ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8，CD为中线，以C为圆心,以5为半径作圆，则点A、B、D与圆C的关系如何？

（2）．一个3×4米的长方形草地，现要在草地上安装一个自动喷水装置,喷水装置要安装在什么位置，喷水装置的半径至少要多少米？

图文导学

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