【长阳教育】助力长阳小学生智力开发系列--逐次逼近法示例学习.数学思想研究
【例题】某数的个位数字为2，若把2换到此数的首位，则此数增加一倍，问原来这个数最小是多少？（选自华罗庚奥数教材，小学三年级练习题）
关于这道经典的数学题，如果思维固化，答案就是千篇一律的。去网上搜索后，可以得知两种流行的解法。
解法一：因为某数（称为原数）的个位是2，把2换到此数的首位（得到的数称为新数），新数是原数的2倍。所以新数的个位数4（2×2 = 4），十位数是8，百位数是6...，依次往高位推，有进位的加1，直到出现2为止。
210526315789473684，
所以，原数为：105263157894736842。
解法二：设原数为AnA(n-1)A(n-2)...A3A2A12,（斜体An代表从十位数开始往左数的第n个数）
则有AnA(n-1)A(n-2)...A3A2A12 × 2 = 2AnA(n-1)A(n-2)...A3A2A1
得X = 2×（10^n-2)/19.因为X为整数，将n = 1，2，3...代入，当n=17时，X首次取到整数值，且X=10526315789473684，
记X = AnA(n-1)A(n-2)...A3A2A1，则(10X+2)×2 = 2×10^n + X
故原数为：105263157894736842。
解法三：目前网上暂未搜索到，且是作者原创的解法。作者研究这个解法之前，并未参考网上的解法，否则就不会有这种新思路的出现了。我们鼓励孩子创新，独立思考，首先不要看答案，这样才容易有新的发现。
考虑到 原数和新数的位数没有变化，只是将个位的2放到了首位，得到的新数是原来的2倍，则An = 1，同时考虑12×2 = 24，24 - 21 = 3，3为原数与新数的误差值，逼近求解An时，要考虑误差尽量小（小于10）的最优解。（取所有可能解的误差最小的解）
| An | An-1 | ... | A2 | A1 | 2 |
| 2 | An | An-1 | ... | A2 | A1 |
此时，原数 12，新数 21，误差值为 12×2 - 21 = 3
| 1 | An-1 | ... | A2 | A1 | 2 |
| 2 | 1 | An-1 | ... | A2 | A1 |
将An = 1，代入以上数字表格，得An-1 = 0，
此时，原数 102，新数210，误差值为 210 - 102×2 = 6
| 1 | 0 | An-2 | ... | A1 | 2 |
| 2 | 1 | 0 | ... | A2 | A1 |
将An-1= 0，代入以上数字表格，得An-2 = 5，
此时，原数 1052，新数2105，误差值为 2105 - 1052×2 = 1
| 1 | 0 | 5 | An-3 | A1 | 2 |
| 2 | 1 | 0 | 5 | ... | A1 |
将An-2= 5，代入以上数字表格，得An-3 = 2，
此时，原数 10522，新数21052，误差值为 21052 - 10522×2 = 8
...
依次类推，不断求解A（n-4）,A（n-5）...当误差值为0时，得到精确解
原数 105263157894736842，新数210526315789473684
知识点：
1，解法1中的倒推法，包括进位是基于代入核算的最有效解，思路也是逐次逼近，直到完全满足题意的最小解出现。
2，解法2中的解方程思路，利用X必须为整数，得出最小的n为17，需要经过17次求解，也是逐次逼近的思想。
3，解法3中的数表解题思路，从最高位开始推最小误差近似解，直到逼近精确解，正是逐次逼近的思想。
逐次逼近法，顾名思义，就是不断迭代求解最终解的方法论，为什么要这么求解，理论依据是什么？如果有疑问，欢迎扫码加大海老师微信咨询。