高等代数，第四版，第一章P45，T23
高等代数，第四版，第一章P45，T23
数学兴趣大讲堂
20世纪数学
20世纪，数学开始成为一门主修专业。每年，成百上千人成为新的数学博士，而且数学家既可以留在学术界，又可以加入工业界。Klein百科全书（英语：Klein's encyclopedia）则承担起了汇总整个数学和数学应用领域的任务。
在 1900年国际数学家大会的演说中，大卫·希尔伯特列出了23个数学界的未解决问题。这些问题覆盖了许多不同的数学领域，随后成为了20世纪数学研究的中 心。如今，10个问题已经解决，7个问题部分解决，而2个问题依然是开放的；还有4个问题由于太含糊，因此不能判断有没有解决。
此时，历 史上有名的不少数学猜想也终获证明。1976年，沃夫冈·哈肯和凯尼斯·阿佩尔使用计算机证明了四色定理。安德鲁·怀尔斯在他人工作的基础上成功证明了费马大定理。保罗·寇恩和库尔特·哥德尔则证明了，连续性假设本身是独立于标准公理化集合论而存在的（也就是既不可能从中证明，也不可能从中反证）。在 1998年，托马斯·黑尔斯证明了开普勒猜想。
此时，数学家们合作的规模与领域已经是空前的了。例如在1955年到1983年完成的有限 单群分类（即“宏伟定理”），其证明分散在由100多位作者发表的500多篇期刊论文中，完整的论文加起来共有10000多页；一组法国数学家，包括让· 迪厄多内和安德烈·韦伊，使用笔名尼古拉·布尔巴基写作，尝试以最极端的严谨和泛化来加以表述全部的已知数学，他们的成果则是几十卷著作，然而这在数学教 育上留下了有争议的影响。
爱因斯坦在广义相对论中使用微分几何之后，微分几何也得到了一席之地；数学逻辑学、拓扑学，和冯·诺伊曼的博弈论等新的数学领域，则改变了通过数学方法可以 回答的问题类型；所有的数学结构全部通过公理而抽象化为了诸如度量空间、拓扑空间等概念；而数学家所作的这些抽象化工作本身的抽象化则引领人们通向范畴 论；亚历山大·格罗滕迪克和让-皮埃尔·塞尔则将用层论重新铸造了代数几何；而庞加莱自1890年开始的动态系统理论的定性研究终于也有了很大进展；在19世纪和20世纪之间，测度论被发展出来。测度论 的应用包括了勒贝格积分，和安德雷·柯尔莫哥洛夫的公理化概率论，以及遍历论；纽结理论极大的扩展了；量子力学引领了泛函分析的发展；其它的新领域包括了 洛朗·施瓦茨和分布论、不动点理论和奇点理论（英语：Singularity theory）；勒内·托姆的突变论（英语：Catastrophe theory）、模型论，以及本华·曼德博的分形；李论（英语：Lie theory）以及李群和李代数成为了一个主要研究领域。
亚伯拉罕·鲁滨逊引入了非标准分析，通过将实数域扩展到了包括无穷大和无穷小量的超实数域，从而平反了微积分中一时名声狼藉随后被极限理论取代的无穷小量方法；而约翰·何顿·康威发现了一个和组合博弈论有关，甚至比超实数更大的数字系统：超现实数。
而 随着计算机的发展和不断进步，从最初的机械模拟计算机到随后的电子数字计算机，让工业界可以处理越来越大量的数据，来帮助规划大规模生产、配给和通讯，新 的数学领域也因此发展出来：艾伦·图灵的可计算性理论、计算复杂性理论；德里克·亨利·莱默使用ENIAC促进了数论发展，提出卢卡斯-莱 默检验法；克劳德·香农的信息论、信号处理、数据分析、最优化和其它运筹学的研究；在过去的世纪中，数学在很大程度上注重微积分和连续函数，但因为计算机 和通讯网络的崛起，使离散概念也越发重要，还导致了组合数学，包括图论的扩张发展；数据处理速度和能力的提升，也让人们可以去研究那些过去需要大量时间进 行纸笔计算的数学问题，引出了数值分析和符号计算。而20世纪最重要的数学方法和算法包括：单纯形法、快速傅立叶变换、错误校验码、源自控制论的卡尔曼滤 波，以及公钥密码学的RSA算法。
在同一时间，人们开始深入审视数学的极限。在1929年到1930年，数学家证明了，具有乘法或者加法 其中之一的自然数系统之内的一切命题的真伪是可决定的，也就是可以通过某个算法自动计算出来。然而在1931年，库尔特·哥德尔发现，如果自然数同时包括 乘法和加法，那么这个结论就不再成立了；同时包括乘法和加法的系统就是人们所知的皮亚诺算术，而这事实上是一个不完备的系统（仅靠皮亚诺算术就足够支撑数 论了，包括可以表述素数）。而哥德尔的两个不完备定理表明，一个包括了皮亚诺算术的任何数学系统（涵盖了数学分析和几何的一切），真理永远凌驾于证明之 上，即总会有在系统中不可能被证明的真命题。因此，数学本身不可能被规约为数学逻辑学，而大卫·希尔伯特企图将整个数学变得完备和一致的梦想也就此破灭而 不得不改变了。
斯里尼瓦瑟·拉马努金是20世纪数学界最耀眼的身影之一，他是一位自学成才的印度数学家，猜想和证明了关于高合成数、整数分拆、渐进分析和仿θ函数的超过3000个定理，它也对伽马函数、模形式、发散级数、广义超几何函数和素数理论做了深入探索。
埃尔德什·保罗发表了有史以来最多的数学论文，并和上百名合作者一起工作。由于他的论文实在太多，以至于数学家提出了数学家版本的贝肯数：埃尔德什数，描述数学论文中一个作者与埃尔德什的“合作距离”的一种方式。
埃米·诺特则被许多人认为是数学史上最重要的女性。她的研究包括环、域和域代数。
就像大部分研究领域一样，科学时代的信息爆炸导致了数学的专门化：在20世纪结束时，有超过上百种数学的专门领域，而数学学科分类标准则长达几十页。越来越多的数学期刊开始出版，而到该世纪结束，因互联网的发展，又有了在线出版。
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