编者按
在英国数学家菲尔兹奖得主高尔斯主编的《普林斯顿数学指南》中，收入了包括阿蒂亚、孔涅在内的五位大数学家写给新手的“给年轻数学家的忠告”。原文由上海师范大学数学系陈跃副教授翻译，曾发表于《数学文化》。本文是后四位数学家对数学新手（包括研究生）的忠告。
一、Béla Bollobas的忠告
“在这个世界上，那些丑陋的数学不可能长久流传。”哈代（Hardy）曾经这样写过，同样我相信在这个世界上，那些阴郁的缺乏激情的数学家也是没有什么地位的。仅仅当你真正热衷于数学时，你才有可能做好它，即使当你从事另外一种工作，在忙了一整天之后你也会挤出时间来研究数学。就像诗歌和音乐一样，数学不是机械的劳作，而是美好的假日。口味（或鉴赏力）高于一切。对于我们这门学科来说，对什么是好的数学似乎有比较一致的看法，这简直是一个奇迹。你应当在重要的分支领域里工作，这种领域在相当长的时间里不大可能枯竭，你应该做那些既美丽又重要的问题：在一个好的领域里，这样的问题非常多，而不是仅有那么几个著名的难题。确实来说，如果把目标定得太高，将导致在长时间里出不了成果：虽然在你研究生涯的某个阶段里可以忍受，但是对于新手来说最好要避免这样。在你的数学活动中要努力保持一种平衡：对于真正的数学家来说，研究是放在首要地位的，但是在研究之外，还要进行大量的阅读，以及搞好教学。要充满乐趣地做好所有水平的数学工作，即使它（几乎）跟你的研究没有任何关系。教学不应该成为负担，而应该是灵感的来源之一。研究绝不应该变成一种零星的杂务（不象写作那样）：你应该选择你很难不去想它的问题。这就是为什么你自己有一些被它们深深吸引的问题比你去解决别人交给你的问题要更好的缘故。在你研究生涯的早期，当你还是一个研究生的时候，你应该听取你的有经验的导师的意见，让他来帮助你判断你自己喜欢的问题是否合适，这比做他给你的问题要好，因为后者可能不符合你的口味。毕竟来说，你的导师对某个问题是否值得你去研究，应该会有一个比较好的想法，哪怕是他对你的实力与口味可能还不了解。在你以后的研究生涯中，当你不再依赖你的导师时，与一些比较谈得来的同事的交流也常常会受到启发。我会建议你们：在任何时候，你所做的数学问题应该包含以下两种类型：(1) “梦想”类的问题：一个你非常想要解决、但基本上你不可能期望解决的大问题。
(2) 非常值得的问题：如果花费足够的时间和努力、并且足够幸运的话，你觉得你很有可能解决的一些问题。
此外，还有两种你应该考虑的问题，虽然它们不如前面的那两种问题重要。（1）不时地解决这样一类问题，它们在你的能力之下，你完全有自信会很快地解决它们，使得花在它们上面的时间，不会妨碍你去解决更合适你的问题。
（2）在更低的层次上，去做那些已经不是真正值得去研究的问题（虽然它们在几年前曾经是这样的问题），总是一件非常愉快的事情，由于这些问题太好了，所以值得花时间：解决他们将给你带来快乐，并锻炼和提升你的创造能力。
要耐心，要坚持。当你考虑一个问题时，也许你能够采取的最有用的措施是，在所有的时间里都把这个问题放在心上：牛顿就是用这样的方法，其他的许多先人也都是这样。要付出你的时间，尤其是在攻克主要问题的时候，要保证自己在一个大问题上，花费相当数量的时间，但不应期望过多，做完之后，就搁置起来，然后决定接下来该做什么。在让你的研究不放过一个机会的同时，也应注意不要在一种方法上陷得太深，否则就可能遗漏其他的解决方法。就象爱尔迪希曾经说过的那样，要使头脑敏捷，要让你的大脑保持开放的状态。不要怕犯错误。一个错误对于一名象棋手来说，可能是致命的，但对一个数学家来说，它相当于是常规的程序。你应该感到恐惧的是面对一张空白稿纸的时候，此时你对问题的思考还不多。等过了一段时间，你的废纸篓里将装满你尝试失败的稿纸，此时也许你还在勤奋地工作。要尽量避免平庸的尝试，而永远是兴致勃勃地投入工作。特别是，研究一个问题的最简单情形，通常来说不会浪费时间，而且可能是非常有效的方法。当你在一个问题上花费了相当多的时间之后，很容易低估你所取得的进展，并且还同样会低估你将它们全部回忆起来的能力。最好将它们写下来，哪怕是一小部分的结果：你的笔记会节约你以后的大量时间，会给你带来更多的机会。如果你足够幸运，并且取得了突破的话，你很自然地会对整个项目感到有些厌倦，并且还想靠此荣誉止步不前。要抵制这种想法，并努力寻找是否还有其他的突破在等待着你。作为一个年轻的数学家，你的主要优势是你有充足的时间做研究。对此你可能没有意识到，但是以后很可能不大会再有像你开始研究生涯时那样充足的时间了。每个人都感觉到没有足够的时间来研究数学，并且随着时间的推移，这种感觉会越来越强烈，时间肯定会越来越少。现在转向阅读。在谈到所阅读过的数量时，年轻人通常都处于不利的地位，因此作为弥补，应尽可能地多阅读，既包括你的一般的领域，也包括作为一个整体的其他数学。在你的研究领域，要确信你读的许多论文是由最好的人写的。虽然这些文章常常写得不太仔细，但是它们所包含的高质量的想法会对你的辛苦阅读给出丰厚的回报。不论你读什么，都要保持一种积极参与和质疑的态度：不断设法理解作者的意图，不断努力思考是否还有更好的处理方法。如果作者走的是你已经知道的思路，那么你应该感到高兴，如果他走的是另一条不同的道路，那你就应该进一步思考其中的缘由。对于各种定理与证明，反复问你自己这样的问题，即使它们看起来非常简单：这些问题将极大地帮助你更好地理解数学。另一方面，对于一个你正在打算做的未解决问题，通常来说不必熟读与此相关的所有东西：但在你很深入地思考过之后，可以（而且应该）去读那些其他人写的不成功的文章。要保持你对新奇事物的感知与惊讶的能力，要能够欣赏你所读过的数学研究成果和思想，不要对这些杰出的思想和成果感觉到没有什么了不起。事后你当然知道事情一定是这样的，这是很容易的：毕竟你已经刚读完了证明。聪明的人会舍得花大量的时间来汲取新思想。对他们来说，只知道一些定理和看懂它们的证明是远远不够的：他们要把定理及其证明融化在他们的血液里。在你的数学职业生涯进展过程中，永远让你的心智保持对新思想和新方向的开放状态：数学的疆域总是在变化，如果你不想落在后面，那你就必须也要跟着变化。永远要磨砺你的工具，并且不断学习掌握新的工具。最重要的是，喜欢数学和热爱数学。喜欢你自己的研究，到处寻找和阅读相关的新结果，将你对数学的热爱传递给别人，即使你的创造仅仅是一些美丽的小问题，只要是你思考过的，或者是从你的同事那里听说的，都会带来乐趣。如果我要总结以上这些我们应该遵循的忠告，以便在科学和艺术中获得成功，那么最好是回忆Vitruvius在两千年前曾经写下的一句话：从来不学习的天才，以及没有天才的学习者，都不能成为一个完美的艺术家。
二、Alain Connes的忠告
数学是现代科学的支柱，它是许多新概念与新工具的相当有效的源泉，借助于这些新概念和新工具，我们才得以理解置身其中的“现实世界”。这些新概念本身就是人类思维这个蒸馏器经历长期“蒸馏”过程的结果。我被要求写一些对于年轻数学家的忠告。首先我感到每一位数学家都是一个个特殊的案例，总体来讲数学家们都倾向于成为（喜欢独立的）“费米子”，即他们尽量避免在太大众化的领域里做研究，而物理学家们的表现则更像（群居的）“玻色子”，他们组合成很大的团队，并经常“过分夸大”他们取得的结果——这种态度是会被数学家们鄙夷的。人们一般总是首先将数学划分成一些相互独立的分支学科，例如几何学、代数学、分析学、以及数论等等，其中，几何学主要是试图理解“空间”的概念，代数学主要研究字母符号的操作艺术，而分析学则主要关注涉及“无穷”与“连续”的对象等等。但是，这种看法与数学这门学科的一个最重要的本性相违背，即把上述那些分支学科中的任何一个在不剥离自身本质的前提下从其余的分支中独立出来是根本不可能的。实际上，整个数学就像一个完整的生命体，只有在结为一体的情况下才能生存，如果它被分割成若干不相连的部分，那么它就会消亡。数学家们的研究生涯可以被描述成是在“数学的现实世界”王国里的一次探险旅行，他们用自己的知识架构逐步揭开它的神秘面纱。这个过程往往开始于对现存书本上关于数学王国的教条描述的不满与反叛。想要成为数学家的年轻人开始意识到，他们自己关于数学世界的看法已经抓住了数学的某些特征，而这又与已有的教条不相符合。在大多数的情况下，这种初期的反叛来源于无知，但却不无益处，因为它可以帮助人们从对权威的敬畏中解放出来，使得他们可以依靠他们的直觉，并且用实际的证明来支撑他们的直觉。一旦一个数学家真正开始了自己的研究并获得了解，哪怕是以一种非常原始和“个人化的”方式，或者是处在数学世界的一个非常狭小的领域里，并且无论初看起来是多么怪异，那么这个探险旅行实际上就已经开始了（我自己最初的出发点是研究多项式根的分布问题。幸运的是我在很小年纪就被邀请参加在西雅图举行的一次会议，在那里我受到引导，后来我所有的在因子理论方面的工作都起源于此）。当然，很重要的是不要去打破“阿莉阿尼线团”：在始终保持用一种新鲜的眼光看待旅途中遇到的各种问题的同时，还能够在一次次感到迷路的时候回到出发点（阿莉阿尼是古希腊传说中的克里特国王弥诺斯的长女。国王养了一头怪物，每年要吃七对童男童女。雅典王子忒修斯决心到岛上的迷宫里除掉怪物。在进迷宫前，他偶遇阿莉阿尼公主，公主爱上了他，交给他一个线团，让他将一端放在迷宫外，一端拿在手中，以免迷路。忒修斯杀死怪物后顺线走出迷宫）。同样重要的是，一直保持对各种数学的兴趣。否则，我们就会冒着一种风险，将自己完全局限于一个已经被高度技术化了的非常狭小的领域里，从而限制了我们对于巨大的变幻莫测的数学世界洞察力的发挥。在这方面最基本的要点是：尽管有许多数学家毕其一生在探索数学世界中各不相同的领域，而且看问题的角度是那样的不同，可是他们都同意他们其实是在研究同一对象的各个不同部分。不管我们各自旅行的出发点在哪里，总有一天，当我们走了足够长的距离后，会发现大家都不约而同地走到了数学王国的同一座著名城堡：例如椭圆函数、模形式、或者zeta函数等。“条条道路通罗马”，数学世界也是相互连通的。当然这并不是说数学的所有各个部分都是相似的，在这里很值得引用格罗腾迪克（在《收获与播种》一书中）对分析学与代数几何学所作的比较，前者是他最初涉足的研究领域，而对后者的研究则耗尽了他之后数学生涯的全部心血：我仍然记得这种强烈的印象（当然完全是主观的），就好象我自己从贫瘠的荒野转瞬间突然来到了“神所授予的”富饶土地，它们无边无际，你可以尽情地在其中探究，施展自己的身手与才华。
大多数的数学家们都很务实地将自己看成是这个“数学世界”的探索者，他们并不是很关心它是否真的存在，他们只是用自己的直觉以及大量的理性思维来揭示这个数学世界的结构。这种直觉离所谓的“理想化的愿望”并不太远（就像法国诗人Paul Valery所强调的那样），而大量的理性思维则需要高度集中的思考时间。每一代数学家都构建了反映他们自己对这个数学王国理解的智力图景。他们建造了越来越敏锐的智力工具，这样就能够来开发先前未被发现的各种研究领域。真正有趣的事情是：在数学王国的各个不同的领域之间找到了意想不到的联系桥梁，这种联系在前辈数学家们的智力图景中还是显得非常模糊和遥远的。而当这种情形产生时，就像突然之间一阵清风吹散了笼罩在我们美丽大地上的迷雾。在我自己的工作中，这种类型的巨大惊喜常来自于与物理学密切相关的数学研究。数学概念很自然地来源于物理学，这已经成为了一个基本共识，就像阿达玛(Hadamard)所曾经指出的那样。对他来说，他们所展示的不仅仅是短暂的能让数学家们晕头转向的新奇小技巧，而是那种从事物本身涌现出来的真正富饶多产的新颖。下面我将用一些比较“实用”的忠告来结束这篇短文。只是要注意每一位数学家都是一个“特殊的案例”，不用太在意这些忠告。散步 当你正在与一个非常复杂的问题搏斗时（常常涉及计算），一个非常明智的练习是出去走一段距离很长的路（不带纸和笔），一边走一边在脑子里做计算，不用担心这初看起来是否“太复杂了，不可能这样做”。即使不成功，也能够训练超人的记忆力和不断完善自己的方法。躺下 数学家们一般很难向他们的同事解释，他们研究工作最辛苦紧张的时刻竟然是他们在黑暗中躺在沙发上的时候。很不幸的是，随着e-mail和电脑屏幕侵入所有的数学研究机构和场所，将自己完全孤立起来、从而集中心思的弥足珍贵的机会就变得十分稀少了。再勇敢些 在通向新的数学发现的过程中，一般有好几个阶段。尽管处在后面的只需要我们理性与专心的（证明与计算）核查阶段的工作量大得惊人，但相比较而言，位于前面的更加富有创造性的（探索与构思）阶段则完全不同。在某种程度上，这个探索阶段还需要一种你对自己无知的保护意识，因为总是有千万个理由叫我们不要盯在那些其他许多数学家们都没有解决的问题上。挫折 在数学家们的研究生涯中，包括很早的时期，他们会不断收到来自竞争者们的论文预印本，这时他们会因为落后而感到倍受打击。在这里我所能给出的建议是，应当努力将这种挫败感转化为鼓励你更加勤奋工作的前进的动力。然而这做起来并不容易。怀有妒忌的认可 我的一个同事曾经说，“我们（数学家）的工作，说到底就是为了得到几个朋友的怀有妒忌的认可。”确实，由于我们的研究工作本质上讲还是相当冷僻孤立的，所以不幸的是我们总是以各种方式极度渴求这种认同感，可是坦率讲我们不应该期望过高。实际上，真正的判断来自于自己。没有人能比自己更明白自己所做的工作究竟是什么，过分地担心在乎别人的看法是在浪费时间：因为迄今为止还没有一个定理是通过被选举出来的方式获得证明的。就像费曼(Feynman)曾经说过的那样，“你为什么要在乎别人怎么想？”三、Dusa Mcduff的忠告
我是以一种与我的同龄人很不相同的方式开始我的成年生活的。我总是被教导说要有一份独立的职业，我的家庭与学校也非常鼓励我成为一名数学家。与通常学校不同，我所上的女子学校有一位非常杰出的数学教师，他让我领略了欧几里得几何与微积分的美好。而与此相对比的是，我对教科学的老师就没有好感，并且由于大学里的科学教师也不是太好，以至于我从来就没有学到任何真正的物理学。就是在这种很有限的条件下，我变得非常想成为一名专门进行研究的数学家。在某些方面我非常自信的同时，在另外一些方面我又感到十分的欠缺。我所面临的一个基本问题是，有时会莫名地感受到这样一种说法的影响：女性在学术职业上属于二等公民，因此是可以被忽略的。我从来没有女性的朋友，从来没有真正地评估过我自己的智力状况，可能还是和其他女性一样属于比较琐碎和实际的那种，并且不像男人那样真正具有创造力。社会上对于这种情况有许多的说法：妇女们待在家里烧火做饭，而男人们则外出闯世界，妇女可能会冥想，但不会成为诗人，妇女不具有成为一名数学家所需要的真正的灵魂等等。对此还有许多其他的说法。最近在我的一些女性朋友中流传着一封有趣的信件，它列出了各种不同科学领域中一些常见的互相矛盾的偏见，所得出的结论是，女性被认为不论做什么最有价值的事情，都是做不好的。我接着不久又遇到的另一个明显问题是，我在只学了非常少的数学的情况下，就要着手完成我的博士论文。我的题目是有关冯·诺依曼(von Neumann)代数，这是一个狭小的题目，与其他我真正了解的事情没有任何联系。在那个小领域里我看不到前进的方向，并且我几乎对其他的领域也一无所知。当我在研究生的最后一年到达莫斯科时，盖尔范德(Gel’fand)给了我一篇论文，是关于流形上向量场的李代数的上同调的，我不知道什么是上同调，什么是流形，什么是向量场，以及什么是李代数。尽管这种无知部分地是由于一种过分专门化的教育体系所造成的，但这也是我与更广泛数学世界缺少联系的结果。我曾经用基本上将自己的女性角色与数学家的角色分开来担当的方式，解决了将两者调和起来的问题。我从莫斯科回来后，我的这种数学上的孤独感愈发强烈。在我从泛函分析转向拓扑学的过程中，极少受到指导，我很害怕提问，尽量不问问题，以免显得无知。与此同时，当我做博士后时，还有了孩子，因此整天忙于应付各种琐碎事务。在这个阶段中，由于对怎样研究数学的过程还不理解，我主要是靠阅读来进行学习，没有意识到学会提出问题的基本的重要作用，哪怕是提出自己的也许是比较幼稚的想法。我对自己今后的职业规划也同样没有想法。天上不会掉馅饼：你必须去申请研究职位和工作，并且不断地寻找有兴趣的会议。如果能得到一位良师益友的帮助，那就更好了，他能够对你如何克服所有这些困难，给出更好的建议。对我来说，可能最重要的是学会怎样去提出比较好的数学问题。作为一个学生，你的任务就是：不仅要学习足够多的东西，以便能回答别人提出的问题，而且还要学习怎样去构造一个问题，以便能走向有趣的研究方向。在研究新的东西时，我经常习惯于从中间出发，运用一些别人已经发展起来的复杂理论。不过经常从最简单的问题和例子出发也能够获得进展，这是因为它们能使你更容易地理解基本问题，从而可能发现一条新的途径。例如在辛几何中，我总是很喜欢运用格罗莫夫(Gromov)的非挤压(nonsqueezing)定理，它对如何以辛方式控制一个球体给出了限制条件。这个非常基本的几何结果在某种程度上与我产生了共鸣，因此它成为了由此出发进一步探索的一个牢固的基础。最近以来，人们越来越感觉到数学是一种依靠群体努力进行建设的学科：即使是最杰出的思想，如果它脱离了与数学整体的联系，也会失去意义。通常来说，一旦你理解了这种与整体的联系，再进行自我独立的研究工作就会变得非常重要和富有成果了。当然，在学习的同时，与别人的联系互动也是必不可少的。有许多的方法可以成功地建立起这样的交流渠道，例如改变建筑物的结构、会议和会场的安排、数学系里教学研究计划的调整，以及改进相对来讲不那么正式的讨论班与讲座的气氛等。有时候在讨论班上，一个新手数学家不是昏昏欲睡和看上去比较厌烦，而是积极地提问，使问题得到澄清，并且使参加讨论的每一个人都获益，此时我们会惊喜地发现讨论班上的气氛改变了。人们（不管是年轻的还是年长的）通常都因为害怕暴露自己的无知、缺乏想象力和其他固有的缺点，而导致沉默。但是在像数学这样的看上去既困难又美丽的学科中，其实每一个人都需要从别人那里学到一些东西。现在有许多很好的小型会议和研究班，它们是这样组织的：即容易让人们学习讨论某些已有的理论的细节，又能够对新的方向和新的问题展开讨论和进一步的研究。怎样将女性角色与数学家角色调和统一起来的问题依然困扰着我，虽然数学是一门本质上不适合女性的学科的观点已经不那么普遍流行了。我不认为我们女性应该尽可能多地出现在数学世界中，只要有足够数量的女数学家，并且不再作为例外而被忽视就可以了。我发现主要由女数学家参加的会议并不理想；满屋子全部都是女性，她们正在谈论着数学，这种气氛比较怪异。同样，人们也越来越能够理解，真正的问题是在于 任何 一个年轻人将怎样既能够过好一个令人满意的个人生活，同时又成为一个有创造力的数学家。只要人们开始以一种严肃的方式认真地对待这个问题，并且努力地工作，我们将真正地拥有一个漫长的数学人生。四、Peter Sarnak的忠告
多年来我已经指导了不少博士研究生，这也许使我有资格以一个有经验导师的身份来写一些忠告。每当我遇到一个出色的学生（我非常幸运我能够有这样的一些学生），我所能给出的指导仅仅是告诉他，比如可以在某个区域内挖出黄金，或者给出一些含糊不清的建议。一旦他们行动起来，发挥其智慧与才能，结果他们没有发现黄金，但却找到了钻石（当然事后我忍不住会说“我告诉过你会这样”）。在这种情况下，和大多数的情形一样，一个讨论班导师的作用就更像一个教练：只是不断加以鼓励，并确信所指导的学生正在做的是一些有意思的问题，且清楚其可以采用的工具是什么。这么多年下来，我发现自己经常重复说的某些评论与建议对于学生来说还是很有用的。以下所列是其中的一部分。（1）当我们学习一个新的领域知识时，我们应该将阅读现代论述与钻研原始论文结合起来，尤其是该领域开创大师的论文。很多学科的现代叙述所产生的主要麻烦是它们太完美了。随着每一个（数学专著与教科书的）新作者都不断地发现和加入更巧妙的证明处理方法，最后形成的理论体系总是倾向于采用“最简短的证明”。很不幸的是，这种形式化的表述经常引起新一代学生们的极大困惑：“人们是怎样想出来的？”通过回到原始的出发点，学生通常就能够看到概念与理论的演变十分自然，并且理解它们是怎样一步步变成现代形式的理论的。（当然面对着那些天才的数学家们所具有的令人意想不到的杰出思想，我们只能感到惊叹不已，但是这种情况要比你想象的少得多。）我想举一个例子，紧李群表示论有许多现代的表述，我在讲解其中的一种时，通常会推荐学生去阅读外尔(Weyl)的原始论文，看他是如何推导出他的特征标公式的。类似地，我会向已经了解复分析并且想要进一步学习黎曼面现代理论的学生，推荐他写的书《黎曼面的概念》，而黎曼面对于现代数学的许多领域来说具有最基本的重要性。研究和阅读像外尔这样的大数学家的论文选集同样也是十分富有教益的。在学习他们的定理的同时，我们可以发现他们的心智是如何运作的。从一篇论文到下一篇之间，基本上总是有一条线在自然地引导，而且容易看出某些后来的研究发展也是不可避免的。这一切都非常具有启发性。（2）另一方面，你应当对一些教条和“标准猜想”敢于质疑，即使它们来自于某些大人物。许多标准猜想都是基于一些人们所能够理解的特殊情形作出的。除此之外，剩下的基本上只有人们多少有些一相情愿的想法：人们很期望一般的图景不会和特殊情形所建议的图景相差太远。我知道几个这样的研究事例，在其中一开始的时候，人们都是先着手证明一个被认为普遍成立的结论，但是没有取得任何进展，直到最后人们才认真地反思它是否真的成立。在说了以上这些后，我也感到，如果不是出于特别好的理由，随便地去怀疑某个特定的猜想（例如黎曼猜想）及其可证性，的确有些不妥。虽然作为科学家的我们，肯定是应该采取一种批判性的态度（特别是针对一些我们数学家所发明的人造对象），但在心理上同样重要的是，我们要相信我们的“数学世界”的存在性，对什么能成立、以及什么能被证明抱有信心。（3）不要将“初等”混同于“容易”：一个证明可以确定是初等的，但却不是容易的。实际上，存在着许多这样的定理：只要用一点点（现代数学的）高端方法就可以使定理的证明变得非常容易理解，并显示蕴涵于其中的思想，相反如果避免使用高端的概念与方法，而只是用初等的方法来证明，则会掩盖定理背后的思想内涵。另一方面，也要注意不要将高端等同于高质量，或者等同于“高级证明”（这是一个我很喜欢用的字眼，它会引起许多我以前学生们的哄笑）。在年轻的数学家们中间确实有一种（盲目）使用新奇的高端数学语言的倾向，以显示他们正在做的工作比较深刻。然而，只有真正理解了现代工具，并且与新的思想相结合，现代的工具才能发挥作用。那些在某些领域（例如数论）工作的人，如果不花时间和实质性的努力去学习掌握这些工具，就会使他们处于非常不利的境地。拒绝学习和掌握这些新工具，就好象只用凿子来拆一座建筑物。即使你使用凿子非常熟练，别人用推土机也比你有巨大的优越性，并且用不着掌握像你那样（使用凿子）的技巧。（4）在数学中做研究会让人感到受挫，如果你还不习惯于遭受挫折，那么数学就不是你的理想选择。在绝大多数的时间里，你是没有任何进展的，如果不是这样，则要么你是一个天才，要么就是你所遇到的问题属于在开始研究之前你已经知道怎样解决的那种。尽管一些后续的研究工作也会有相当的（发展）空间，并且达到较高的水准，但是一般来说绝大多数的重大突破都是用艰苦的工作换来的，伴随着许多错误的步骤，长时间里只有微小的进展，甚至还有倒退。有一些方法可以减轻这种痛苦。如今的许多人采用合作研究的方式，这种方法除了有让不同专长的人一起攻关的明显优点外，还能让人们来共同承受失败。这对绝大多数的人们来说肯定是很有好处的（在数学中分享重大突破所带来的喜悦和荣誉一般来说不会导致严重的名次争议，就像其他一些科学领域常见的那样）。我经常劝我的学生在任何可用的时间里，手上要同时有一连串待研究的问题。其中，就是挑战最小的问题也应该有足够的难度，难到解决它以后会给你带来相当的满足感（不然又有什么意思呢？），并且幸运的话可能带动其他问题的解决。这样，你应该考虑一连串更具有挑战性的问题，其中最难的问题就是（该领域）最关注的未解决问题。你应该不时地考虑去攻克它们，从各种不同的视角来审视它们。很重要的是你要敢于让自己去解决非常困难的问题，不然就没有成功的可能性，也许幸运的话，你会从中获取许多。（5）每周听系里的各种学术报告，并且希望报告的组织者能够挑选好的报告人。在数学中有比较广博的知识是很重要的。在学习了解其他分支领域里的人们解决有趣问题的进展时，或当你听到演讲者在谈论相当不同的研究时，你的心灵会经常受到某些思想的触动。同样，你也可能学到一种方法或理论，或许可以用到你正在做的其中一个问题上。在最近的一段时期里，有好几个长期未能解决的重大问题获得了最令人惊讶的突破，解决它们的方法都是来自于一些不同的数学分支领域思想的意想不到的组合。
尾注：
【1】Alain Connes教授是非交换几何的创始人，1982年因为“在算子代数理论研究， 以及C*代数在叶状结构和微分几何研究中的应用”得到了菲尔兹奖。2001年他获得Crafoord奖, 2004年他获得法国科学的最高奖项(CNRS金奖)。
【2】麦克达夫(Mcduff , Dusa , 1945-) ， 旅美英国女数学家.生于英国伦敦. 1967年获爱丁堡大学学士学位，1971年获剑桥大学博士学位，后曾在该校做2年研究工作.1973--1976年在约克大学、1976-1978年在沃里克大学任讲师.1978年赴美任教于纽约州立大学，20世纪80年代升为教授.1990年，曾应邀在国际数学家大会上作报告。个人主页是：https://math.barnard.edu/profiles/dusa-mcduff。
【3】彼得·萨奈克（Peter Sarnak）（生于1953年12月18日），男，美国普林斯顿高等研究院、普林斯顿大学教授，美国国家科学院院士，美国艺术与科学研究院院士，美国哲学学会会员，英国皇家学会会员，邵逸夫奖数学科学奖遴选委员会主席，担任《Annals of Mathematics》等多个国际权威期刊编委，曾获得美国数学会福特奖、美国数学会柯尔奖、瑞士奥斯特洛斯基奖等荣誉。