2022年中国科学技术大学高等代数考研真题

中国科学技术大学2022年研究生入学考试线性代数与解析几何试题

一.填空题(每空5分)

1.在平面直角坐标系中,椭圆的长轴方程为位于轴上半平面内的焦点坐标为.

2.设空间直角坐标系中的四点,则点到平面的距离为.

3.设则,的最大奇异值为.

4.设,其中为正交矩阵,为主对角线元大于零的上三角方阵,则.

5.设上的线性变换

则生成的循环不变子空间的维数为     

二.简答题,判断叙述是否正确并说明理由(每题6分)

1.设都是阶复方阵,,则.

2.设是阶可逆对称实方阵,则必定有阶非零主子式.

3.任意置换方阵可复相似于对角矩阵.

4.设为阶复方阵,是的行向量生成的的子空间,是的列向量生成的的子空间,则.

5.设是维线性空间上的线性变换,则.

三.解答题(每题20分)

1.设都是阶复方阵,,则

2.设复系数多项式满足.证明:存在阶复方阵使得,其中为阶Jordan块.

3.设与是线性空间的两组基,上的线性变换满足.证明:在下的矩阵与在下的矩阵相等.

4.设实线性空间上的双线性函数其中.

(1)求所有的，使得是上的内积;

(2)求所有的,使得是内积空间上的正交变换.