为什么余数前面是“6个点”？
本文以余数在除法算式中的表示方法为话题，通过讲述教师的课前思考和问题设计、对学生探究作品的分析以及师生间的交流讨论，呈现了师生对数学规定背后道理的思考与探索过程。
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1. 埋藏多年的疑问在对教材中有余数的除法这部分内容进行分析时，突然想到一个问题：为什么在带有余数的除法算式中用省略号而不是其他符号来连接商和余数？我们的小学老师只告诉我们是规定，就这样写。可是，为什么这样规定呢？
于是我们查阅资料，虽未找到确切的解释，却发现省略号可以表示“话未说完”，心想这用在有余数的除法算式里恰好可以说明后面还有余数！相比之下，括号、破折号则表示对前文进行解释说明，用在这里并不恰当。我们又试了几个其他的符号，分析之后发现也不合适。
在上网查找资料的过程中，我们了解到很多人提出了同样的疑问，学生会不会也有这样的疑问呢？于是，我们在探究单中设计了如下开放性问题：
（1）“10个梨，每堆放2个，可以放5堆，还剩0个（正好分完）”可以用除法算式“10÷□=□（堆）”来表示，那么“10个梨，每堆放3个，可以放□堆，还剩□个”可以用怎样的除法算式来表示呢？（用你认为合适的方法在除法算式中把剩余的个数表示出来）
（2）阅读教材（北京版二下数学）第1页，看一看书上是用怎样的除法算式表示平均分后有剩余的情况的？你有什么想法？
其中，问题（1）引导学生类比平均分后无剩余时的除法算式写出平均分后有剩余时的除法算式，并让学生思考如何在除法算式中恰当地表示出剩余的数量。问题（2）则是让学生通过阅读教材了解现行通用的余数的表示方法，并思考其合理性。如此，学生先思考，后学习，再思考，形成学与思的螺旋上升。
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2. 自然而然的思考不出所料，对于余数前面的“6个点”，提前学习了的孩子已习以为常，初次接触的孩子却有很多小问号：
（1）是什么：因为语文课上还没学省略号，所以孩子们会把有余数除法算式中的省略号称为“6个点”，并好奇它是什么。
（2）为什么：小孩子总是有许多“为什么”，看到余数前面的“6个点”，自然就想问：为什么要用它来表示余数呢？
（3）还可以是什么：虽然余数的表示方法早已约定俗成，但这并不妨碍孩子们提出自己的质疑，说出自己的想法。
孩子们在探究单中提出了如下不同的有余数除法算式的写法：①10÷3=3+1；②10÷3=3(1)；③10÷3=3——1；④10÷3=3 1（3和1之间有空格）；⑤10÷3=3…3。这些写法的背后是一个个爱思考的小脑袋，令我十分惊喜！
以上3类问题都是孩子们看到余数前的“6个点”后在头脑中自然而然生成的，即使没有老师的引导，一些孩子的心中也会存在这些疑问。那么，对于这些没有标准答案的问题，老师该如果应对呢？一方面，没有标准答案不等于没有合理的解释，约定俗成的背后是前人的深思熟虑；另一方面，学生思考这些问题的同时也在构建自己对数学乃至世界的理解。因此，对这些问题的思考与讨论是有价值的。没有人无所不知，对待未知，我们可以积极地借助自身的经验、方法陪孩子们一起探寻答案。于是，我决定在当天的线上交流中和孩子们一起探讨。
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3. 热火朝天的讨论隔着屏幕，讨论开始了！
我首先抛出了第一种写法：10÷3=3+1，问这样写可不可以。
生1：不可以，3指的是3堆，1指的是剩下的那1个，它们加起来是什么呢？说不出来……
师：你的意思是，单位不同不能相加减，是吗？
生1：是的，而且3+1得4，分梨的时候都没有出现4，所以肯定不对。
师：明白了！现在等号右边是4，等号左边呢？
生2：三分之十！（这个孩子的哥哥有时会给他讲一些高年级的知识）
师：是的，以后你们会学到。三分之十和4相等吗？
生：不相等！
师：所以这也是个问题。余数表示的是剩下的部分，而加号在数学里表示合在一起，我们得换个符号。
于是，我抛出了第二种写法：10÷3=3(1)，马上就有孩子指出了问题。
生3：单位外面用的也是括号，这里再用括号就混了呀！
师：有道理！那写成“10÷3=3——1”行吗？
在抛出第三种写法后，孩子们安静了，我突然意识到他们在语文上还没学到破折号（后来得知发明这一写法的孩子是在数学书上看到了“——”就用了），于是赶紧解释：“——”是破折号，在语文上表示对前面的内容进行解释说明。
生4：不行，3堆和剩下的那1个也不是一回事呀！
生5：而且要是不小心画短了容易让人觉得是减号。
这时，一个孩子问：为什么不直接写成“10÷3=3 1（3和1之间有空格）”呢？
另一个孩子抢答道：你那样写容易让人认为是31啊！
生6：那写成“10÷3=3…1”呢？不用那么多点。
师：省略号是6个点，可以表示话没说完，刚好可以说明后面还有余数。
生6：我爸爸说英文里的省略号是三个点。
师：是的，而且中英文省略号的位置不同。目前在表示余数时大家普遍使用的是中文的省略号，也就是6个点。
生7：是所有人都这样用吗？国外的小朋友也这样用吗？
师：我不确定，咱们等讨论结束后一起查查资料吧。
……
经此一番讨论，虽然孩子们心中对“6个点”的疑问没有完全消失，但也基本认可相比于其他符号，省略号更能表示出余数的含义，他们现在对余数的表示方法可以说是印象深刻，难以磨灭了。
后来我在美国和新加坡的小学数学教材上找到了不同的余数表示方法——用英文单词remainder（意为“余数；剩余的部分”）的首字母R（而不是英文的省略号）来连接商和余数，例如“10÷3=3 R 1”，其完整表达是“10÷3=3 with remainder 1”。当我把自己的发现告诉孩子们时，他们兴奋极了，并进一步提问：全世界只有省略号和字母R这两种表示余数的方法吗？这个问题的提出说明孩子们已经意识到了不同国家在符号使用上的差异，他们面前的一扇窗已经悄然打开了……
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4. 问题之上的审视对于这次探究性活动，我很庆幸自己没有让历史重演，没有用“这是规定”阻断孩子们的思考。在我们还没有成为老师的时候，在我们还有很多小问号的时候，大人们常说：“这是规定，记住就行了。”久而久之，我们自己似乎也觉得只要记住就可以了，但是，规定背后的道理呢？真的不需要理解吗？孩子天生就是权威的挑战者，对这个世界，他们总是有些不同的看法，对此，老师的态度就在很大程度上决定了他们是否将心中的疑问说出来。很多老师说孩子越大越不爱发言，这与心理发展规律有关，但不尽然。试想，如果一个孩子的疑问多次得不到回应或者得到的尽是负面的回应，他还会继续吗？如果一个孩子始终是现有规则的遵守者，他会不会在某一天丧失了重新制定规则的勇气和能力？世界在一刻不停地变化着，当我们对孩子少一些“我告诉你”，多一些“我陪你”时，未来这个世界上或许就会少一个被世界改变的人，多一个改变世界的人。
（本文写于疫情期间，文中所提到的交流均为线上交流。）
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叫星标“全景式数学”。