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想成为最伟大的数学家?这里有一份挑战清单

2018-01-12 团员(仮) 以太汽车 以太汽车

20世纪世纪是数学大发展的世纪,许多重大的数学难题得到完满解决。下面我们就简单介绍一下比较有名的数学大猜想。

说到数学猜想,21世纪以来最著名的莫过于“千禧年难题”。这是效法德国数学家大卫·希尔伯特于1900年8月8日在巴黎召开的第二届世界数学家大会上提出的23个数学难题,于2000年5月24日美国克雷数学研究所的科学顾问委员会选定了七个“千年大奖问题”,每个“千年大奖问题”的解决都可获得百万美元的奖励。其目的不是为了形成新世纪数学发展的新方向,而是集中在对数学发展具有中心意义、数学家们梦寐以求而期待解决的重大难题。


这七个“千年大奖问题”是:P/NP问题,霍奇(Hodge)猜想,庞加莱(Poincare)猜想,黎曼(Rieman )猜想,杨-米尔斯 (Yang-Mills) 理论, 纳卫尔-斯托可(Navier-Stokes)方程,BSD(Birch and Swinnerton-Dyer)猜想。

P/NP问题

通常我们认为计算机可以解决的问题只限于多项式时间内,即所需时间最多是问题规模的多项式函数。有大量的问题可以在确定型图灵机上用多项式时间求解,此类问题称为P类。还有一些问题虽然暂时没有能在确定型图灵机上用多项式时间求解的算法,但对于给定的可疑解可以在多项式时间内验证,此类问题称为NP类。那么,后者能否归并到前者内呢,即P=NP?它是计算机与算法方面的重大问题,甚至有人将其比喻为计算机科学的圣杯。由斯蒂文·考克(StephenCook)于1971年陈述的。

不严格的讲,P/NP问题就是如果一个问题我可以快速地验证任意给定答案的正确性,那么我是否可以找到某个算法快速地解决它?

举个栗子,如果跟你说543623可以写成两个较小的数的乘积,你可能一下子不知道对不对,但是如果直接告诉你543623=3037ⅹ179,你只需要拿出手机打开计算机验证一下就好了。那么是否能找到一个快速判断543623的分解性的算法呢?

 

霍奇猜想

此猜想于1958年由英国数学家霍奇(W.V.D.Hodge)提出:“对于射影代数簇空间,在非奇异复射影代数簇上, 任何一个霍奇类都可以表达为代数闭链类的有理线性(几何部件的)组合。”

通俗一点讲,就是“再好再复杂的一座宫殿,都可以由一堆积木垒成”。用专业(并不)的话说就是: 任何一个形状的几何图形,不管它有多复杂(只要你能想得出来),它都可以用一堆简单的几何图形拼成。

二十世纪的前半叶,数学家希望得到研究复杂形状的方法。基本想法是任何一个复杂形状都可以由一组简单的几何形状基本模块粘合形成。这是极其传统的数学方法,也是千年来欧几理得几何公理系统的原始思想。

问题是对于给定的复杂形状,在怎样的程度上,我们可以通过把维数不断增加,把越来越多的简单几何基本模块粘合在一起,来形成该复杂形状。数学家希望用这种思想,用各种不同类型的方式一步一步地扩展,最终建立一组强有力的代数方程或几何工具,使各种复杂的对象分类成一些具体的简单的几何对象及其组合。

在这种扩展过程中,几何出发点变得模糊起来——到底从那些简单几何对象组合起;组合的程序又是什么。因此,必须加上一些没有任何几何解释的"非几何"基本模块,以期达到:在非奇异复射影代数簇上, 任何一个霍奇类对象都可以表示为代数闭链类的有理线性组合——

这就是霍奇猜想。

庞加莱猜想

1904年,法国数学家亨利·庞加莱提出了著名的庞加莱猜想:“任何一个单连通的,闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。”

简单来说,如果我们伸缩围绕一个苹果表面的橡皮带,那么我们可以既不扯断它,也不让它离开表面,使它慢慢移动收缩为一个点。另一方面,如果我们想象同样的橡皮带以适当的方向被伸缩在一个轮胎面上,那么不扯断橡皮带或者轮胎面,是没有办法把它收缩到一点的。我们说,苹果表面是"单连通的",而轮胎面不是。大约在一百年以前,庞加莱已经知道,二维球面本质上可由单连通性来刻画,他提出三维球面(四维空间中与原点有相同距离的点的全体)的对应问题,即庞加莱猜想。这个问题立即变得无比困难,从那时起,数学家们就在为此奋斗。

庞加莱猜想是一个拓扑学中带有基本意义的命题,有助于人类更好地研究三维空间,其带来的结果将会加深人们对流形性质的认识。

提到这个猜想就不得不说它的证明者——俄罗斯数学家格里戈里·佩雷尔曼。是的,这个猜想已经被解决了。2006年,在佩雷尔曼公布其关于庞加莱猜想的3篇文章中的第一篇之后近4年,专家们终于达成了共识:佩雷尔曼解决了这个学科最令人肃然起敬的问题之一。然而这关键的3份论文都是发布在arXiv.org这个专门刊登数学和物理预印本论文的网站上,并未在任何正规杂志上发表。按照克雷数学研究所的规定,佩雷尔曼不能获得100万美元的奖金。对此,佩雷尔曼的回应是 “我已经发表了我所有的算法,我能提供给公众的就是这些了。”

关于佩雷尔曼和庞加莱猜想还有一件轶事。国际数学家联盟主席John Ball曾秘密拜访佩雷尔曼,他的唯一目的是说服佩雷尔曼接受在国际数学家大会上颁发的菲尔兹奖。谁都知道这是数学界的最高荣誉,此前共有44位数学家获此殊荣,没有人拒绝过接受这个荣誉。然而面对Ball教授两天共十个小时的劝说,佩雷尔曼的回答只是“我拒绝。”他解释说:“如果我的证明是正确的,这种方式的承认是不必要的。”

 

黎曼猜想

代数中把不能表示为两个更小的整数的乘积的自然数称为素数,它们在纯数学及其应用中都起着重要作用。在所有自然数中,这种素数的分布并不遵循任何有规则的模式。然而,德国数学家和物理学家波恩哈德·黎曼观察到,素数的出现频率紧密相关于一个精心构造的黎曼ζ函数ζ(s)的性态。黎曼猜想即是关于黎曼ζ函数ζ(s)的零点分布的猜想,由黎曼本人于1859年提出,至今仍未解决。

这个猜想之所以被认为是当代数学中最重要的问题之一,主要是因为很多深入和重要的数学和物理结果都能在它成立的大前提下被证明。黎曼猜想提出来已经158年,无数优秀的数学家(包括小约翰·福布斯·纳什、戈弗雷·哈罗德·哈代等)和数学爱好者都尝试解决黎曼假设,他们绞尽脑汁,但都没有完全成功。数学家利用计算机来检验,结果算了超过10万亿个非平凡零点均未出现反例。

许多数学家都相信黎曼假设是正确的,但要证明这一猜想成立却很难,而要证明它不成立就更难了。

 

杨-米尔斯规范场存在性和质量缺口假设

量子物理的定律是以经典力学的牛顿定律对宏观世界的方式对基本粒子世界成立的,而杨-米尔斯理论可以说是量子物理的基础。

大约半个世纪以前,杨振宁和米尔斯发现,量子物理揭示了在基本粒子物理与几何对象的数学之间的令人注目的关系。基于杨-米尔斯方程的预言已经在如下的全世界范围内的实验室中所履行的高能实验中得到证实:布罗克哈文、斯坦福、欧洲粒子物理研究所和筑波。

尽管如此,该方程却并不存在已知的解。特别是,被大多数物理学家所确认、并且在他们的对于“夸克”的不可见性的解释中应用的“质量缺口”假设,从来没有得到一个数学上令人满意的证实。在这一问题上的进展需要在物理上和数学上两方面引进根本上的新观念。

 

纳维叶-斯托克斯方程解的存在性与光滑性

纳维叶-斯托克斯方程是流体力学中描述粘性牛顿流体的方程,是目前为止尚未被完全解决的方程,目前只有大约一百多个特解被解出来,是最复杂的方程之一。数学家和物理学家深信,无论是微风还是湍流,都可以通过理解纳维叶-斯托克斯方程的解,来对它们进行解释和预言。可以说该方程是流体力学的基础。

 

BSD猜想

该猜想描述了椭圆曲线上的有理解的性状。数学家总是被诸如x2+y2=z2那样的代数方程的所有整数解的刻画问题着迷。欧几里德曾经对这一方程给出完全的解答,但是对于更为复杂的方程,这就变得极为困难。BSD猜想认为,椭圆曲线C的有理解构成的群的大小与它的Hasse–Weil L-函数L(C, s)在点s=1附近的性态有关。特别的,这个有趣的猜想认为,如果L(C, 1)等于0,那么存在无限多个有理解;相反,如果L(C, 1)不等于0,那么只存在有限多个有理解。

除去上面这七大千禧年难题之外,还有许多为人熟知的数学猜想。比如我们从小听到大的费马大定理、四色定理和哥德巴赫猜想。

费马猜想(因为已被证明,也叫做费马大定理):由17世纪法国数学家皮耶·德·费玛提出。它断言当整数n >2时,关于x, y, z的方程xn+ yn= zn没有正整数解。该猜想被提出后,经过多人猜想辩证,历经三百多年的历史,最终在1995年被英国数学家安德鲁·怀尔斯彻底证明。

哥德巴赫猜想:德国数学家克里斯蒂安·哥德巴赫1742年在给瑞士数学家莱昂哈德·欧拉的信中提出了以下猜想:任一大于2的偶数都可写成两个素数之和。但是哥德巴赫自己无法证明它,于是就写信请教赫赫有名的大数学家欧拉帮忙证明,但是一直到死,欧拉也无法证明。关于此猜想目前最接近的解答是中国数学家陈景润于1966年取得的:他证明了“任何一个足够大的偶数,都可以表示成两个数之和,而这两个数中的一个就是奇素数,另一个则是两个奇素数的积。”

四色猜想(因为已被证明,也叫做四色定理):四色定理最先是由一位叫古德里(Francis Guthrie)的英国大学生在19世纪中叶提出的,内容是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”。也就是说在不引起混淆的情况下一张地图只需四种颜色来标记就行。

该猜想已于1976年由美国数学家阿佩尔(Kenneth Appel)与哈肯(Wolfgang Haken)借助电子计算机证明,但是纯逻辑的证明方法目前仍然未被提出。一个多世纪以来,四色定理一直是数学家们绞尽脑汁试图攻克的难关之一。



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