深度学习之DNN与前向传播算法

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前言

深度神经网络（Deep Neural Networks， 以下简称DNN）是深度学习的基础，而要理解DNN，首先我们要理解DNN模型，下面我们就对DNN的模型与前向传播算法做一个总结。

从感知机到神经网络

在感知机原理小结中，我们介绍过感知机的模型，它是一个有若干输入和一个输出的模型，如下图:

输出和输入之间学习到一个线性关系，得到中间输出结果：

接着是一个神经元激活函数:

从而得到我们想要的输出结果1或者-1。

这个模型只能用于二元分类，且无法学习比较复杂的非线性模型，因此在工业界无法使用。而神经网络则在感知机的模型上做了扩展，总结下主要有三点：

1）加入了隐藏层，隐藏层可以有多层，增强模型的表达能力，如下图实例，当然增加了这么多隐藏层模型的复杂度也增加了好多。

2）输出层的神经元也可以不止一个输出，可以有多个输出，这样模型可以灵活的应用于分类回归，以及其他的机器学习领域比如降维和聚类等。多个神经元输出的输出层对应的一个实例如下图，输出层现在有4个神经元了。

　3） 对激活函数做扩展，感知机的激活函数是sign(z),虽然简单但是处理能力有限，因此神经网络中一般使用的其他的激活函数，比如我们在逻辑回归里面使用过的Sigmoid函数，即：

还有后来出现的tanx, softmax,和ReLU等。通过使用不同的激活函数，神经网络的表达能力进一步增强。对于各种常用的激活函数，我们在后面再专门讲。

DNN的基本结构

上一节我们了解了神经网络基于感知机的扩展，而DNN可以理解为有很多隐藏层的神经网络。这个很多其实也没有什么度量标准, 多层神经网络和深度神经网络DNN其实也是指的一个东西，当然，DNN有时也叫做多层感知机（Multi-Layer perceptron,MLP）, 名字实在是多。后面我们讲到的神经网络都默认为DNN。

从DNN按不同层的位置划分，DNN内部的神经网络层可以分为三类，输入层，隐藏层和输出层,如下图示例，一般来说第一层是输出层，最后一层是输出层，而中间的层数都是隐藏层。

层与层之间是全连接的，也就是说，第i层的任意一个神经元一定与第i+1层的任意一个神经元相连。虽然DNN看起来很复杂，但是从小的局部模型来说，还是和感知机一样，即一个线性关系z=∑wixi+b加上一个激活函数σ(z)。

由于DNN层数多，则我们的线性关系系数w和偏倚b的数量也就是很多了。具体的参数在DNN是如何定义的呢？

首先我们来看看线性关系系数w的定义。以下图一个三层的DNN为例，第二层的第4个神经元到第三层的第2个神经元的线性系数定义为w243。上标3代表线性系数w所在的层数，而下标对应的是输出的第三层索引2和输入的第二层索引4。你也许会问，为什么不是w423, 而是w243呢？这主要是为了便于模型用于矩阵表示运算，如果是w243而每次进行矩阵运算是wTx+b，需要进行转置。将输出的索引放在前面的话，则线性运算不用转置,即直接为wx+b。总结下，第l−1层的第k个神经元到第l层的第j个神经元的线性系数定义为wjkl。注意，输入层是没有w参数的。

再来看看偏倚b的定义。还是以这个三层的DNN为例，第二层的第三个神经元对应的偏倚定义为b32。其中，上标2代表所在的层数，下标3代表偏倚所在的神经元的索引。同样的道理，第三个的第一个神经元的偏倚应该表示为b13。同样的，输入层是没有偏倚参数b的。

DNN前向传播算法数学原理

在上一节，我们已经介绍了DNN各层线性关系系数w,偏倚b的定义。假设我们选择的激活函数是σ(z)，隐藏层和输出层的输出值为a，则对于下图的三层DNN,利用和感知机一样的思路，我们可以利用上一层的输出计算下一层的输出，也就是所谓的DNN前向传播算法。

对于第二层的的输出，我们有：

将上面的例子一般化，假设第l−1层共有m个神经元，则对于第l层的第j个神经元的输出ajl，我们有：

从上面可以看出，使用代数法一个个的表示输出比较复杂，而如果使用矩阵法则比较的简洁。假设第l−1层共有m个神经元，而第l层共有n个神经元，则第l层的线性系数w组成了一个n×m的矩阵Wl, 第l层的偏倚b组成了一个n×1的向量bl , 第l−1层的的输出a组成了一个m×1的向量al−1，第l层的的未激活前线性输出z组成了一个n×1的向量zl, 第l层的的输出a组成了一个n×1的向量al。则用矩阵法表示，第l层的输出为：

小结

有了上一节的数学推导，DNN的前向传播算法也就不难了。所谓的DNN的前向传播算法也就是利用我们的若干个权重系数矩阵W,偏倚向量b来和输入值向量x进行一系列线性运算和激活运算，从输入层开始，一层层的向后计算，一直到运算到输出层，得到输出结果为值。

输入: 总层数L，所有隐藏层和输出层对应的矩阵W,偏倚向量b，输入值向量x

输出：输出层的输出aL

　1） 初始化a1=x

　2)  for l=2 to L, 计算：

最后的结果即为输出aL。

单独看DNN前向传播算法，似乎没有什么大用处，而且这一大堆的矩阵W,偏倚向量b对应的参数怎么获得呢？怎么得到最优的矩阵W,偏倚向量b呢？这个我们在讲DNN的反向传播算法时再讲。而理解反向传播算法的前提就是理解DNN的模型与前向传播算法。这也是我们这一篇先讲的原因。

参考：

1. 周志华《机器学习》

2. 博客园：作者（刘建平）

http://www.cnblogs.com/pinard/p/6418668.html

3. 李航 《统计学习方法》

4. 《机器学习实战》

5.  Neural Networks and Deep Learning by By Michael Nielsen

6. Deep Learning, book by Ian Goodfellow, Yoshua Bengio, and Aaron Courville

7. UFLDL Tutorial

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