优博微享2022 | 龚宇璇：两类偏微分方程随机反源问题研究

 编者按

浙江大学优秀博士学位论文成果展作为提升研究生学位论文质量的举措之一，重点展陈2022年校优秀博士学位论文成果，充分发挥优秀博士学位论文的示范引领作用，营造“对标一流、追求卓越”的高质量学位论文发展氛围，构建更加卓越的研究生教育体系，培养胸怀“国之大者”的高层次拔尖创新人才和领导者。浙江大学研究生教育将持续推出“优博微享”专题，介绍获奖论文、导师及作者的相关情况，以期给同学们的科研学习生涯提供经验参考。

两类偏微分方程

随机反源问题研究

作者姓名：龚宇璇

指导老师：徐   翔                

所属学院：数学科学学院

一级学科：数   学

博士论文简介

论文主要研究了时间分数阶扩散方程和二维双调和方程的随机反源问题。针对有色噪声驱动下的二维双调和方程随机源问题，证明了正问题弱解的适定性，并利用积分方程算子理论和正则化理论开展了随机源反问题理论分析和数值算法研究，获得了创新性结果。针对白噪声驱动的时间分数阶扩散方程问题，论文通过傅里叶变换将原问题等价转化为频域上的两点边值问题，获得了正问题的适定性结果；分析了解在边界的均值和频域随机源系数的关系，并推广到高维情形。最后基于相位恢复技术设计了有效的反问题数值算法。针对这两类偏微分方程的随机反源问题研究具有重要的理论意义，同时对材料形变、复杂的物质扩散过程有广泛的应用前景。

导师说

反问题在地质勘探、隐身技术、医学成像、材料设计等领域中有广泛的应用，偏微分方程反问题的基础理论与算法是其中的核心基础科学问题之一。该文针对两类具有随机源项的偏微分方程反问题进行了深入研究，针对双调和方程证明了在有色噪声驱动下正问题解唯一性和正则性，提出了求解相应反源问题的正则化计算方法；针对分数阶随机偏微分方程给出了正问题解的适定性，建立了可观测的无相位数据与随机源结构之间的内在联系，提出了利用相位提升的和增加随机遮罩的方法恢复相位，得到了反演随机源项结构的唯一性，并从数值算例上验证了算法的有效性。

作者说

是机遇，也是挑战

因缘际会，我博士期间的研究题目选择了针对随机偏微分方程反源问题研究。相较于确定性的偏微分方程反源问题，带有随机项的问题会更具有一般性和普适性，也存在更大的研究价值。但于此同时，随机性会使得方程本身的适定性需要进一步证明和阐述。因此在我五年的博士生涯里，有得证定理时的快乐，有论文发表时的喜悦，但更多的还是找不到方向时的困惑和写不出代码的痛苦。我相信读博对于许多人来说都是一个不小的决定，它既是能够激发自己科研热情，极大提升科研能力的机会，同时也要面临各种各样的挑战和压力。一个科学问题既然是有研究意义的，那必然是困难重重，需要努力、汗水和灵感的。因此，只有直面这些挑战，乐观面对所有的困难，才能够真正抓住机会，实现自己能力和心态上的突破。

是良师，也是益友

在博士期间，我最幸运的是遇上了我的指导老师。他会尽他所能地为我提供最好的科研工作环境和机会，并且一直如沐春风般地教导和指引我，让我有信心和勇气去面对看不懂的论文和无从下手的难题。在共同讨论问题时，他在处理问题时表现出的耐心和以理也深深影响了我，让我不再畏惧难题，也不会在遇到挫折时变得情绪低落而影响工作和生活。他既是为我答疑解惑，在学术道路上指导我成长的良师，也是关心我的生活，与我谈天说笑的益友。除此之外，在我的求学道路上还有许多这样的老师，他们与我讨论问题时的耐心，面对学术研究的热情和对待困难时的乐观精神都深深感染着我，让我敢于走上学术道路，敢于研究难题。

爱研究，也爱生活

本科时，我曾一度认为科学工作者，尤其是数学研究者们大多都是将自己的绝大多数时间和精力用在学术工作上，是典型的“书呆子”。但是接触了课题组里的许多老师，并在美国交流时与外导沟通学习之后，我发现老师们不光对学术充满了热情，对生活也充满了热爱，这在一定程度上颠覆了我对科研工作者苦行僧的印象和认知，也让我明白了选择学术道路并不意味着沉闷与枯燥，在享受生活之后反而能够以更为充沛的精力和乐观的精神投入到学习与工作中去，甚至能够灵光乍现，攻克难关。我们既要百分百投入到学习工作中去，同时也不能忘记热爱生活，享受生活，一张一弛，才能以更好的状态面对各种难题。

学术成果

本文主要研究了两类偏微分方程的随机反源问题。首先，我们根据偏微分方程的形式求解出其格林函数，并且给出其正问题解的随机积分表达形式，并以此证明解的存在唯一性和适定性。其次，通过正问题解的积分表达给出已有数据的统计特性与需要重构的随机源的统计特性两者之间的关系，最后通过正则化的数值方法得到想要的反演结果。

具体而言，针对双条和方程的随机反源问题，我们在更为一般的噪声假设下将已有的一维结果推广到二维，给出了正问题解的适定性和连续性证明，并且将反问题转化为求解两个第一类Fredholm积分方程，利用吉洪诺夫正则化来求解这类方程以解决问题本身的不适定性。

随机源函数期望的重构结果

随机源方差的重构结果

针对分数阶扩散方程，我们考虑空间域噪声驱动下的随机源问题，并且通过对时间域上的傅里叶变换将原问题等价地转换到了频域上，将其转换为求解一个类Helmholtz方程。并且通过证明后者解的正则性和适定性得到源问题解的适定性估计。而对于如何从仅有的随机源系数的傅里叶模反演求得系数本身的绝对值，我们利用了相位还原方法，通过PhaseLift算法在数值上实现了这一点，说明了数值反演的有效性和稳定性。

不同算例下分数阶分别为0.4与0.8时的源函数重构结果

本文编辑 | 焦怡然

责任编辑 | 郭磊艳