优博微享2022 | 周沫：基于厚尾时间序列的非参假设检验

编者按

浙江大学优秀博士学位论文成果展作为提升研究生学位论文质量的举措之一，重点展陈2022年校优秀博士学位论文成果，充分发挥优秀博士学位论文的示范引领作用，营造“对标一流、追求卓越”的高质量学位论文发展氛围，构建更加卓越的研究生教育体系，培养胸怀“国之大者”的高层次拔尖创新人才和领导者。浙江大学研究生教育将持续推出“优博微享”专题，介绍获奖论文、导师及作者的相关情况，以期给同学们的科研学习生涯提供经验参考。

基于厚尾时间序列的

非参假设检验

作者姓名：周   沫

指导老师：张荣茂                        

所属学院：数学科学学院

一级学科：数   学

博士论文简介

重尾现象及其理论在许多科学领域都起着非常重要的作用。本文主要研究了基于重尾时间序列的非参数假设检验。我们首先讨论了当误差四阶矩不存在时，对ARMA-GARCH模型的假设检验。我们提出了一个可以有效检验误差零均值的经验似然检验，并建立了其在原假设和局部备择假设下的极限分布。此外，为了提高检验对异方差和重尾的稳定性，我们通过使用GARCH 结构而无需估计GARCH 模型来对误差的中位数是否为0进行检验。模拟研究及对金融收益率序列的应用证实了以上检验在有限样本下具有良好的数值效果。最后，我们考虑了当误差具有无限方差时的Portmanteau 型单位根检验。模拟研究及对世界原油价格和金融商业票据利率的应用表明我们提出的统计量有良好的表现。

导师说

厚尾时间序列在金融、信号、气象等实际领域中具有非常重要的应用。周沫的博士论文围绕厚尾时间序列的统计推断展开研究，通过加权经验似然比研究了在厚尾GARCH误差下ARMA模型的均值与中位数的假设检验，提出了新的Portmanteau型统计量探讨了厚尾数据下的单位根检验，建立了相应的统计推断理论，并通过有限样本的数值分析对所提方法的有效性进行验证。论文所探讨的问题是时间序列分析的前沿课题，其研究不仅对于厚尾时间序列统计推断理论的发展与完善具有重要的理论意义，同时也为金融数据等实际问题的分析与解决提供了重要的理论支撑与指导作用。

作者说

九年的求是之路即将告一段落，从本科时期的紫金港和西溪，到博士时期的玉泉，我在求是园的这九年学到了很多，也成长了很多。回顾博士论文的创作过程，可以总结为以下几个方面。

导师是坚强的后盾和最好的朋友

从我本科第三年开始接触科研，我的点滴成长都凝聚了我的导师张老师的心血。

在整个博士求学生涯中，张老师的悉心指导和严格要求让我打下了扎实的基础。忙碌的张老师总是坚持每周抽出时间和我们探讨前沿问题，并跟进研究进度；每次遇到困难，就算是在假期和休息时间，张老师都会及时地提供指导和帮助。与张老师无论是科研还是生活中的每次交流都让我受益匪浅，张老师对科研敏锐的直觉、精辟独到的想法以及扎实的理论基础让人钦佩；每当研究陷入困境时，和张老师的谈心经常可以让我迅速重拾信心。

读文献要读人，读典和读新

刚开始科研时我只是零散的去读一些前沿文章，但发现这样很难去把握一个领域发展的脉络。于是我开始对行业顶尖科研人员的文章进行系统性的梳理，这样我便对一个领域的发展脉络有了更加深刻的了解，这也对我选择以后的科研方向起到了很好的促进作用。一般我会选择其中代表性的文章进行精读，学习前人的方法和结论，以及关注未来研究方向的展望。在完成了大量的阅读工作后，我也会结合自身的经验进行思考，例如对于研究内容的评价，或是对于未来研究方向的预测。同时，我还会和导师交流，并请导师推荐相关值得读的论文。此外，我也会保持阅读新文章的习惯，关注一个领域的最新进展。

学会合作和交流

一开始做科研时只想自己闷头解决问题，遇到问题总是想着自己解决，解决不了就自暴自弃，也不和导师或师兄师姐们讨论交流。在完成自己第一篇文章的时候，我有幸通过导师认识了美国乔治亚州立大学的彭亮教授和北方民族大学的马耀兰老师，与他们的交流与合作给了我很大的启发。我记得每一个探讨问题到深夜的情形，每一次我遇到困难做不出来时马老师对我的鼓励。在数次的合作和交流中，马老师和我也建立了坚固的友谊。此外，每一次的讨论班，和师门的交流也让我学到了很多知识，这也对我完成博士论文起到了很大的帮助。

学术成果

广义自回归条件异方差（ARMA-GARCH）模型常用来刻画序列的偏斜性、时间相关性和波动的持久性。对于重尾ARMA-GARCH 模型，经典的拟极大似然估计（QMLE）不能保证估计量的渐近正态性成立，所以一般经常使用自加权拟极大指数似然估计（SWQMELE）。但是，SWQMELE 要求误差的中位数为0，而经典的ARMA-GARCH模型通常假设均值为0。为了保证SWQMELE 的假设成立，我们在对模型做相应的变换时可能会破坏ARMA-GARCH 模型的结构。因此，在误差的中位数为0、绝对矩为1 的假设下，我们提出了一个可以有效检验误差零均值的经验似然检验。在常规的假设下，我们建立了该检验统计量在原假设和局部备择假设下的极限分布。模拟研究及对美国房价指数（如下表）和金融收益率序列的应用证实了该检验在有限样本下具有良好的数值效果。

此外，我们也考虑了无限方差下，对带有重尾线性噪声的自回归模型的单位根检验。我们提出了基于样本协方差的Portmanteau 型检验统计量，该检验统计量有非参的形式，且易于实现。我们证明了该检验统计量的极限分布为标准stable 分布的泛函。模拟研究证明了我们提出的统计量在size 和power 上表现优于传统的单位根检验统计量（如下表）。对世界原油价格和金融商业票据利率的应用表明我们提出的统计量有良好的表现。

本文编辑 | 焦怡然

责任编辑 | 郭磊艳