频域分析，难觅上帝奏出的旋律
再论频域分析在投资中的应用
对于任何一个量化策略，如何从价格走势中剔除噪音，得到趋势线并以此预测未来，无疑是一个令人心潮澎湃的研究课题。我们在前篇文章《如何聆听股价中的旋律？》中对此做出初步分析，发现可以通过频域分析去掉高频扰动，得到特定频率的低频收益率曲线。然而在实证中使用该方法效果有限，并留下一个问题，即低频收益率分量的趋势到底能否在未来持续？科学客观是量化投资的基本态度，量信团队就此进一步深入研究，并通过本文简要梳理、提出结论。
差之毫厘，谬以千里
我们依然以上证指数在2015年8月24日至2016年2月24日间六个月的日收益率曲线为例，采用小波分析对该收益率序列进行时频变换，逐次剥离3级高频扰动，以期捕捉低频趋势。结果如图1所示。
图1的详细解释请见《如何聆听股价中的旋律？》。图中三条红色Ri曲线表示在剔除相应高频扰动后的残余低频分量。小波分析结果说明，三种不同频率下的低频收益率R1，R2，R3在2016年2月24日都清晰地显示出向上的趋势。如果以此作为收益率预测的依据，那么会得到后市会在这三种频率上继续上涨的结论。然而，上证指数在接下来的几个交易日大跌逾两百点（见图2），即预测完全失效。
图2 上证指数2016年2月24日之后走势
无法跨越的时间边界：认识预测误差
如何解释频域分析结果和大盘实际走势的巨大反差？我们对比一下2月24日和2月25日的小波分析（依然以2015年8月24日为起点，如图3所示），可以看出25号大跌使得前后两天的小波分析结果产生了巨大的差异。
图3 两个连续交易日的小波分析出现明显不同
比较这连续两日的小波分析结果（图4）可以进一步发现：对于频率最高的R1，二者近一周的数值明显不同；对于频率稍低的R2，近一个月的数值明显不同；而对于频率最低的R3，近50天左右的数值明显不同。
上述分析说明以下两点：
1. 如果进行小波分析所选择的截止时点是T，由于未来的收益率未知，得到的低频曲线在接近T的部分存在误差。这种误差又称作边界效应。
2. 边界效应作用的范围，随频率的降低而增大。长期趋势受突变的影响更大。
上帝奏出的旋律，难以降落凡间
为消除频域分析的边界效应的，必须提前知道收益率时间序列未来一段时间的涨跌。在任何一个时间点，只有知道了未来的低频走势，才能正确地得到该时点的低频趋势。因此，想正确预测低频趋势的努力往往是徒劳的。
前文中，我们用频域分析构建了一个策略。我们在此进一步深化这个实验来说明由于无法正确预测未来收益，频域分析不能独立的成为一个有效的投资策略。考虑如下两种情况：
1. 正常的频域分析（即未来收益率未知），略去超高频噪声后，用得到的低频分量对后两个交易日的股票涨幅进行预测，如果预测为涨则在后两个交易日满仓，否则为空仓（不考虑交易成本）。
2. 假设已知未来两个交易日收益率的频域分析（开天眼），其他条件同上。
图5显示了这两种策略在2015年8月24日到2016年2月24日之间的净值曲线（红色为正常的频域分析，蓝色为假想开天眼的频域分析）。作为比较，黑色曲线为同期上证指数的净值。结果显示正常的频域分析虽然战胜了上证指数，但其在实验周期内并没有录得正收益；而开天眼策略的净值曲线由于用到了未来的数据，大概率正确地预测了后两个交易日的涨跌，得到超过25%的收益。
结论：频域分析在应用中存在硬伤，难以独立使用
很多学者和金融量化团队将时域频域变换引入到投资品收益率的分析和预测中。我们的研究发现，金融投资品收益率的难预测性使得频域分析得到的低频收益率分量存在明显的边界效应 — 预测误差。这是由低频趋势分量的延迟本性决定的（因为投资品后市的走势是由未来新的因素决定，包括基本面变化，宏观经济政策，流动性风险，以及突发事件等，而这些无法由当前的量价信息有效反映）。在无法预知未来低频走势的前提下，频域分析的结果往往不能得到正确的预测结果。仅仅基于频域分析结果的投资策略通常也无法有效地获得正收益。虽然不能成为孤胆英雄，但如果结合其他量化算法，频域分析能否成为一个称职的团队选手呢？欢迎和我们交流。