收益率预测的贝叶斯收缩
预测收益率
投资品的收益率预测在资产配置中格外重要。马科维茨的现代资产配置理论之所以在实际中被专业投资机构诟病就是因为它虽然简单，但却是建立在非常“严苛”的假设下：即待配置的投资品的收益率的期望和方差是已知的（即可以预测的）。一旦预测的数值非常离谱，那么资产配置效用的最大化就变成误差的最大化。
在收益率期望和方差中，期望的预测比方差（以及不同投资品之间的协方差）的预测更加重要。Chopra and Ziemba（1993）的研究表明，收益率期望的误差对资产配置的影响比收益率方差（以及协方差）的影响高一个数量级。可见，收益率期望的预测是最关键的。然而，欧美大量学术界和业界的研究表明，收益率期望的预测是非常困难的。但是，前赴后继的学术研究也逐渐证明，使用贝叶斯框架来进行收益率期望的预测能取得不错的效果。
天平的两端
对投资品收益率的期望预测可以有不同的方法；这些方法在本质上可以被分为两类：多因子模型和基于历史数据的统计模型。
2.1
多因子模型
多因子模型的核心就是选择一些合适的因子、并把投资品的收益率看成这些因子的线性函数。然后利用线性回归确定因子的参数。这样当因子有了最新的数值后，就可以利用得到的线性方程得到投资品收益率的预测。
最简单的多因子模型就是夏普的资本资产定价模型CAPM（Sharpe 1964）。该模型以市场组合的（超额）收益率为因子，把单个投资品的（超额）收益率描绘为该因子的线性方程，单个投资品对该因子的暴露就是众人皆知的beta，即系统风险系数。这个模型由于只有一个因子，因此是个单因子模型（多因子模型的特例）。而在CAPM之后，最著名的多因子模型就是法玛-佛伦奇三因子模型（Fama and French 1992），该模型在CAPM的基础上引入市值和市净率两个因子对投资品的收益率进行建模。
多因子模型的优点是每个因子都有很强的业务解释。由于它们从业务出发，因此有一定的预测性。此外，由于所有的投资品都通过相同的业务因子进行预测，因此多因子模型具有很强的结构性。然而，多因子模型的缺点是，模型中的有限个因子无法解释投资品收益率面对的所有风险；它们只能解释自身业务对应的风险。因此，多因子模型的预测是有偏的（biased），是以忽略一部分无法解释的风险为代价的。因此，
多因子模型对收益率期望的预测有一定的预测性以及很强的结构性、但它是有偏的。
★2.2
基于历史数据的统计模型
顾名思义，基于历史的统计模型就是利用投资品的历史数据求出样本均值，并以该均值作为未来收益率均值的预测。例如，我们可以用过去26期周收益率数据的均值当做下周周收益率均值的预测。由于每个投资品的预测只用到自己过去的历史数据，因此这个模型是无结构性的（它相当于每个投资品自成一个因子）。此外，基于历史数据的预测是无偏的（unbiased），它可以反应每个投资品所暴露的所有风险。但是，大量的研究和投资实践证明，投资品的历史收益率和未来收益率之间没有太多必然的联系。换句话说，历史数据均值对未来收益率均值的预测性较差。所以，
基于历史数据的统计模型对于收益率期望的预测有如下特点：无偏性、无结构性、低预测性。
★这两个模型的优缺点总结如下。可见它们优劣势互补，相当于站在天平的两端。
贝叶斯收缩
既然这两种方法各有千秋，一个自然的想法就是能否把它们结合一下，得到更加有效的收益率期望预测。在这方面，贝叶斯压缩（Bayes shrinkage）是一个强有力的工具（Jorion 1986，Harvey et. al. 2008）。
贝叶斯收缩以多因子模型得出的收益率作为先验（prior），以实际收益率（历史数据）作为新的观测值（observation），计算出收益率均值的后验（posterior）作为最终预测。形象的说，该方法结合了两种方法，以最优的比例使基于历史数据的预测向基于多因子模型的预测“收缩”。这个最优的比例使得预测的期望误差最小。贝叶斯收缩相当于给历史收益率数据提供了多因子模型能提供的额外有效信息，从而得到更加有效的预测。
★这个“收缩”的思路也可以推广到投资品协方差矩阵的预测（Ledoit and Wolf 2003）。此外，无论是单一投资品自己收缩还是多个投资品一起收缩，学术界都有非常多的研究、取得了丰富的成果。
参考文献
Chopra, V. K. and W. T. Ziemba (1993). The effort of errors in means, variances, and covariances on optimal portfolio choice. Journal of Portfolio Management, 19(2), 6 – 11
Fama, E. F. and K. R. French (1992). The cross-section of expected stock returns. Journal of Finance, 47(2), 427 – 465
Harvey, C. R., J. C. Liechty, M. W. Liechty (2008). Bayes vs. resampling: a rematch. Journal of Investment Management, 6(1), 1 – 17
Jorion, P. (1986). Bayes-Stein estimation for portfolio analysis. The Journal of Financial and Quantitative Analysis, 21(3), 279 – 292
Ledoit, O. and M. Wolf (2003). Improved estimation of the covariance matrix of stock returns with an application to portfolio selection. Journal of Empirical Finance, 10, 603 – 621
Sharpe, W. F. (1964). A theory of market equilibrium under conditions of risk. Journal of Finance, 19(3), 425 – 442
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