鼓励攻势足球的进球积分制合理么？

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足球联赛制的积分规则

 
     狂热的球迷以高中、大学生居多，笔者高中三年就是不曾落下一场拜仁队的重要比赛直播。今天我们讨论一个以足球联赛赛制下的积分方式为背景的函数分类讨论问题。

 不同于篮球，排球等，一场足球比赛（联赛赛制下）的结局存在胜，平，负三种情况，故必须要通过积分的手段来决定最终的冠军（举个例子，篮球联赛中，3胜2负的队伍一定比2胜3负的队伍排名靠前，故不需要积分制度。而足球联赛中1胜1平1负的队伍和3平的队伍之间若没有积分制度就无法评判谁的排名靠前）。在七十年代以前，欧洲的一些足球联赛实行的是“2分制”，也就是说胜一场得2分，输一场得0分，平一场得1分。这个制度的潜台词是两场平局的价值等于1胜1负。在这个制度下，由于一些国家的足球传统风格，很多的球队都选择保守的战术，宁可少一些进球的概率，也首先保证不被对手进球。长此以往，比赛变的比较乏味，大量的0:0使的足球比赛的魅力锐减。于是，一些足球联赛组委会的成员就开始讨论如何设计一种制度在保证公平的同时能够鼓励各个球队使用更有进攻性的战术，从而让比赛更好看。

 相信有的同学心里已经有了自己对于这个问题的设想，这还不简单吗？一场比赛中获胜方得10分，负方0分；平局则双方各得5分。然后，为了鼓励进攻，任何一方（不论胜平负）每进一球多加一分。这样的制度如何呢？它看起来是很大程度上鼓励的球队投入进攻，因为一场高比分的比赛对双方都有好处，同时也依旧保证了胜方得分高于负方，若平局则两队得分相同。但其实经过仔细分析，这个制度却是不公平的。为什么呢？且看：设胜场数为W 负场数为L 平场数为D，总进球数为G，球队积分为S

两分制的积分方式分数用函数表示：S=2W+D。我们接着按照这个公式比较两个球队的分数（S₁-S₂）的大小（求差法）S₁-S₂=2（W₁-W₂）+（D₁-D₂）明显的，要让S₁＞S₂，也就是上面这个算式得数大于零，决定因素是两个球队胜场数(W)的差和平场数(D)的差，而且胜场数的贡献是平场数的两倍。这个规则合情合理，因为赢的多，平的多，输的少的球队一定排名高。

    而后一种积分方式用函数表示就是：S=10W+5D+G；我们接着按照这个公式比较两个球队的分数（S₁-S₂）的大小（求差法）S₁-S₂=10（W₁-W₂）+5（D₁-D₂）+（G₁-G₂）；明显的，要让S₁＞S₂，也就是上面这个算式的得数大于零，决定因素除了两队的胜场数（W）和平场数（D）以外，还多了一个总进球数（G）。换句话说，在这个制度下，赢的多的球队并不一定会排名靠前，只要G足够大，也就是进球足够多，就算每一场都输了，球队还是可以排名靠前。这是足球联赛绝对不能接受的赛制。举个极端的例子：假设一个联赛里有4个球队 A B C D，单循环赛。A对B  16:15， A对C  2:1，A对D 1:2，B对C  16:17， B对D 14:15，C对D 1:1。这样 A两胜一负，B队三战全负，C一胜一平一负，D队两胜一平。按照上文提到的积分方式，奇怪的结果就会出现——B队排名第一(15+16+14=45分)，尽管它三战全负；也就是上文所说的当进球数（G）足够大的时候，胜负都影响不了排名了。因此，这个积分方法，尽管鼓励了球队们争取进攻，使比赛更好看，但是是一个不靠谱的计分方法。

 其实通过对这个问题的讨论，我们可以看到一个把问题函数化的过程，也就是如何把这个实际问题用建立数学模型；然后我们也尝试着用函数分析这个问题，比如上文提到的用求差法比较两个数的大小。

 其实，了解足球的同学们都知道，现代足球的积分规则有过一次改变，它既保证了赢的多的能获得高积分，也鼓励球队进攻。现在的规则是赢的球队得3很，输的不得分，打平双方各得1分（这样一胜一负的积分比两场平局的积分高，各个球队就会宁可去冒着防守松动的风险去争取获得胜利）。同学们可以试着用函数表示一下这种规则，然后用求差法比较一下两队积分的大小。

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