[高三]容斥原理——2016北京文14压轴填空题

超人一等

学会这些方法，超人一等，高人一筹！也许会剑走偏锋，也许会鹤立鸡群。成魔成佛，在于一念之间！友情提示，这些方法，略有超纲嫌疑，或者会有一些不完备之处，选择填空使用，并无大碍。大题请谨慎使用，一切后果自负（每一节都会讲流氓方法的应对策略！）

今天讲的是容斥原理——具体内容见正文！先做题，再看新的知识！

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[高三]容斥原理——2016北京文14压轴填空题

这样的讲解方法，你是否不太喜欢；下方为本题的视频讲解！使用容斥原理，解决此类问题！若小伙伴对容斥原理一头雾水！可以简单看完下方的课程！

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【容斥原理】在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

【公式】

注释：这里的两道杆||代表集合中元素的个数！

【简单版本(高中生版)简化公式】

两个集合的容斥关系公式：

card(A∪B) =card(A)+card(B) - card(A∩B)

三个集合的容斥关系公式：

card(A∪B∪C) =card(A)+card(B)+card(C) - card(A∩B) - card(B∩C) - card(C∩A)+ card(A∩B∩C)

注释：这里的card(A)代表A集合中元素的个数！以下是三个集合容斥关系的图形说明！

(好吧我承认这个是公务员考试教辅里面抠出来的，总觉得是让人背下这公式，这是为数学老师所不齿的！其实你如果学过了集合，其实就明白它是彻头彻尾的VENN图！)

【例题1】（小学奥数题）某校六⑴班有学生45人，每人在暑假里都参加体育训练队，其中参加足球队的有25人，参加排球队的有22人，参加游泳队的有24人，足球、排球都参加的有12人，足球、游泳都参加的有9人，排球、游泳都参加的有8人，问：三项都参加的有多少人？

分析：参加足球队的人数25人为A类元素，参加排球队人数22人为B类元素，参加游泳队的人数24人为C类元素，既是A类又是B类的为足球排球都参加的12人，既是B类又C类的为足球游泳都参加的9人，既是C类又是A类的为排球游泳都参加的8人，三项都参加的是A类B类C类的总和设为X。注意：这个题说的每人都参加了体育训练队，所以这个班的总人数即为A类B类和C类的总和。

答案：25+22+24-12-9-8+X=45 ，解得X=3

【例题2】（高中题）在1到1000的自然数中，能被3或5整除的数共有多少个？不能被3或5整除的数共有多少个？

分析：显然，这是一个重复计数问题（当然，如果不怕麻烦你可以分别去数3的倍数，5的倍数）。我们可以把“能被3或5整除的数”分别看成A类元素和B类元素，能“同时被3或5整除的数（15的倍数）”就是被重复计算的数，即“既是A类又是B类的元素”。求的是“A类或B类元素个数”。我们还不能直接计算，必须先求出所需条件。1000÷3=333……1，能被3整除的数有333个（想一想，这是为什么？）同理，可以求出其他的条件。

【例题3】（2015陕西公务员考试）

（陕西2015）针对100名旅游爱好者进行调查发现，28人喜欢泰山，30人喜欢华山，42人喜欢黄山，8人既喜欢黄山又喜欢华山，10人既喜欢泰山又喜欢黄山，5人既喜欢华山又喜欢黄山，3人喜欢这三个景点，则不喜欢这三个景点中任何一个的有（    ）人。

　　A.20     B.18     C.17     D.15    E.14    F.13   G.12    H.10

你是否得到了你的答案了呢？