结构思考系列——刚度
公众号初期写了两篇结构思考类的文章，但后面一直没有动笔写，可能是因为关注的人慢慢地多了，担心写得不严密会引起争议。但思考类的文章，如果一定要严密地推导，就容易变成教科书，反而起不到启发的作用。所以，我们斟酌再三，还是决定继续“结构思考”这个系列。以下内容是针对一般情况的个人理解，不一定完全严密，欢迎大家留言或私信讨论。
英国科学家罗伯特·胡克（Robert Hooke）在1676年对金属器件，特别是弹簧的弹性进行研究后，发表了一条拉丁语字谜—“ceiiinosssttuv”。这是当时惯例，如果还不能确认自己的发现，则先把发现打乱字母顺序发表，确认后再恢复正常顺序（大家有没有觉得先哲们好文艺）。两年后胡克公布了谜底ut tensio sic vis("the extension is proportional to the force")，即伸长量与力成正比，这就是著名的胡克定理。力与伸长量的比值被称为刚度。
从力与变形的角度看刚度
刚度表示结构抵抗变形的能力，在相同荷载作用下，刚度越大，变形越小。这应该是刚度最直观的理解了。
从材料的尺度看，刚度表示应力与应变的关系,我们常称之为材料弹性模量，分为拉压刚度和剪切刚度。
从构件的尺度看，刚度表示力与变形的关系，是应力应变公式的积分。
轴力与伸长量的关系
悬臂梁端部集中力与挠度的关系
从结构的尺度看，结构的刚度是构件刚度的集合。如果将结构看成一个大构件，那么结构的刚度也是表示力和变形的关系。
将一张A4纸折叠数次，在自由端固定一个硬币，在中部用手固定，作为悬臂梁的固定端。从照片上可以看出当纸平放时，纸的变形非常大；将纸竖放时，纸的变形很小。我们可以直观地感受到，两根悬臂梁的刚度相差非常大。
从力的传递角度看刚度
在静力学领域，我们可以认为结构的作用是将力传递到目的地，而地面则是唯一可靠的目的地。结构工程师做设计某种程度上可以理解为通过组装材料引导力的传递。下面我们以一根悬臂梁为例直观地认识刚度在力传递中的作用。
上图是一根悬臂梁，自由端作用一个集中力，我们可以直观地认识到其力流是从A点传递到B点，并进入地面。
如果我们将空气看做一种结构材料（空气不是真空，是一种物质），那么在A点与地面之间充斥着“空气”这种结构材料。理论上力传递到地面的路径有无穷多种，AC、AD都是可能的路径。
那么为什么力会沿着AB传递，而不是沿着AC或AD传递？相信大家都能明白，这是因为空气的刚度非常小，悬臂梁相对于空气的刚度无穷大，所以，力流全部经由悬臂梁传递到地面。
如果在AC之间设置一根弹簧，就会有一部分力沿着弹簧传递到地面。至于是多大的一部分，则是由弹簧和悬臂梁的相对刚度决定的。弹簧相对于悬臂梁刚度越大，力沿着弹簧传递的就越多。假设弹簧的刚度与梁的悬臂刚度相等，那么就有一半的力由弹簧传递。
假设悬臂梁根部是铰接的，那么悬臂梁根部的抗弯刚度就是0。这时，无论弹簧的刚度多大，其相对于梁AB的悬挑刚度都是无穷大，那么力流就会全部沿着弹簧传递到地面。这就变成了一个静定结构。
假设悬臂梁根部还是刚接，AC之间放着一根与悬臂梁一样材料的杆件。这是最接近于实际建筑的情况。力流的传递是由AC杆件的抗压刚度(k1=EA/L)和AB杆件的悬臂刚度(k2=3EI/H3)决定的。那么，由AC杆件传递的力是k1/(k1+k2)，由AB杆件传递的力是k2/(k1+k2)。
可见，力在结构中的传递路径是遵守刚度分配原则的，哪条路径刚度大，力就沿着哪条路径走。力总是沿着刚度最大的路径传递（不是最短路径哦）。当然，以上这些可以根据变形协调原则通过数学公式推导出来。
弯矩分配法、连续梁两端弯矩的调幅、框架剪力墙结构层间地震剪力在框架和剪力墙中的分配…这些问题都可以用刚度分配原则理解。
刚度与强度
强度跟刚度是两个不同的概念，刚度是内力的分配指标，强度是承受内力能力的指标。两者如果发生错配，用非专业的话来说就是“志大才疏”，活揽了一大推，但干不了。比如以前采用承重砖墙与钢筋混凝土框架共同工作的结构，地震来了，砖墙截面大，弹性刚度大，吸引了很大部分地震力。但砖墙的强度，特别是抗拉抗剪强度小，结果钢筋混凝土还没发挥作用，砖墙先倒了。
将上文悬臂梁的例子倒过来，如果AB和AC是截面差不多的混凝土构件。吊柱AC的刚度很大，力流大量地从吊柱往上传递，而不是沿着AB悬臂梁传递。但是，对于混凝土构件来说，抗拉强度却很小。此时，AC这根构件的强度与刚度是不匹配的。因此，我们就需要在吊柱里面配置钢筋来增大其强度。
结构设计的一个重要主题就是将刚度和强度匹配起来，相当于在结构构件中实现“能者多劳”的分配标准。
设计中强度和刚度是两个变量，我们有时调整强度使其匹配刚度；但有时则调整刚度，比如做铰接（转动刚度为零）、做滑动（平动刚度为零）。截面对强度和刚度的影响有一定的耦合性，比如上图所示的框架边跨，在仅考虑竖向荷载的情况下，边节点必然有弯矩。若将柱截面加大，柱子越大，刚度越大，梁端（柱顶）的弯矩越大，恶性循环。反而如果把梁梁端做成铰接，柱子可以按照轴压柱设计，其截面可以做的较小。
刚度与抗震
回顾抗震理论的发展历史，从追求刚度尽量大到柔性设计理论，人们认识到设计中并非刚度越大越安全。1922年，日本的内藤多仲发表《框架结构抗震结构论》，提出用剪力墙加强结构抗震性能的理论，使“刚性抗震”理论在日本主导了多年。日本在1923年关东大地震后，长期不敢建造高层建筑，房屋高度限于11层。直到60年代，武藤清利用计算机分析地震观测数据，并提出“柔性抗震结构理论”，成功设计了日本第一座36m的超高层建筑“霞关大厦”。至此，结构设计界才认识到建筑物柔性的重要性。
刚度到底与地震是怎么样的一个关系呢？静力荷载下，结构的外力与结构本身属性无关。而在地震波这样的动力输入下，结构的地震荷载（惯性力）除了与地震本身的特性有关，还与结构的刚度和质量有关。由于结构质量几乎是由于结构使用功能和所使用的材料决定的，所以结构的刚度对结构所受的地震力影响很大。
我们都知道，每个区域的地震波是有一个特征周期的，如果结构的自振周期在这个特征周期附近，结构的地震力是最大的，可以理解为共振。要避开这个共振区域，可以将结构做刚、或做柔。从图中可以看出，如果结构的周期小于0.1s，地震力会迅速减小，但实际上高层建筑几乎不可能达到这样的刚度。另一种情况就是在满足规范变形要求的前提下，使结构尽可能地柔，地震力可以尽可能地少。所以，抗震设计时我们实际是在寻找一个合适的结构刚度。
与力流的斗争
记得小i在刚开始设计时，有一天晚上调模型，力流总是乱窜，费了九牛二虎之力才把力理顺。当时师傅说的一句话让小i印象深刻“结构中的力就像一头猛兽，它总是乱窜，我们要做的就是驯服它”。而驯服这头猛兽的工具小i觉得就是“刚度”了。
“刚度”是一个结构设计非常核心的概念，它解决了一个问题“力是怎么传递的？”那么“我们应该让力怎么传递？”或者说“什么样的结构效率才是最高的？”这个问题我们留待下次探讨。
小i设计资历尚浅，文中很多说法不太严谨，这次斗胆把对刚度的一些认识梳理了一下，算是一次自我总结，希望对你有所启发。欢迎留言讨论，欢迎拍砖。
延伸阅读：
参考资料：
1.工程结构透视—结构的发展和原理纵横谈 余安东
2.https://zh.wikipedia.org/wiki/罗伯特·胡克
3.创新思维结构设计—程懋堃设计大师文稿集 程懋堃
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