结构思考系列—结构效率（上）
本周还是延续结构思考系列，本篇是对结构效率的思考。结构效率不是结构的全部，更不是建筑的全部，仅希望本文能给你提供一个理解结构的角度。以下内容是针对一般情况的个人理解，不一定完全严密，欢迎大家留言或私信讨论。
在静力学领域，结构是要将力传递到目的地，即结构工程师通过材料的组装引导力流的传递。如何引导力流的传递？在上一篇《刚度》中已经有讨论。
力流从一个点传递到另一个点，可选的路径很多。那么，沿哪条路径传递才是最优的呢？或者怎样判断结构效率的高低？这是本文要讨论的问题。
首先看一个概念——“应变能”。
应变能
应变能是什么？我们从两个角度看。
从结构外部看，外力所做的功以应变能的形式存储于结构内，结构的应变能等于外力与结构变形的乘积。
式中：C为结构的应变能；P为结构所受外力；U为结构在外力P处的变形。
（1）式可以写为：
其中，1/U为结构刚度，假设荷载是一个常量，则应变能C越小，表示结构的刚度越大。因此，在相同荷载下，应变能最小表示该结构刚度最大。
从结构内部看，应变能是应变能密度对体积的积分。
c为应变能密度，应变能密度定义如下：
式中：σ为应力，ε为应变，λ为应力比。
式（3）可改写为下式：
应力比代表结构的应力水平，而结构所用材料的体积即为结构的材料用量。因此，由式（5）可见，应变能反映的是应力比水平与材料用量之间的一个关系。
在材料用量一定的情况下，结构应变能越小，表示应力比水平越低；在应力比水平一定的情况下，结构应变能越小，表示材料用量越低。
综上所述，如果我们以材料的用量来评价结构传力效率（即荷载和边界条件相同的情况下，材料用量少，结构效率高；材料用量多，结构效率低），那么“应变能”可以作为结构传力效率的指标。
应变能作为结构传力效率指标的前提条件
要得到上面的结论，须有以下两条假定：
a）以上论断都只有在应力不超过材料弹性极限，以及不考虑几何非线性、稳定的前提下才能成立，也就是说，只适用于线弹性范围之内。
b）因为推导中采用应力比λ表征了截面应力水平，所以以上结论仅在截面应力分布完全均匀（轴拉或轴压）的情况下成立。
因为对于受轴力的构件，应力在截面上、轴力在杆件长度上都分布均匀。但是对于受弯构件，应力在截面上分布是不均匀的；而且在受横向力弯曲时，弯矩沿杆件长度的分布也并不均匀。
对于实际工程，由于需要考虑的因素非常多（比如建筑的功能、美观要求），结构工程师必须在某些地方进行妥协。怎样达到综合效益的最佳，本文不作讨论。
应变能的概念分析
在式（5）的基础上，进一步简化公式。
假设结构的每一根杆件应力比均相同，即λ为定值。则式（5）可以简化为下式。
由式(6)可知，应变能C与应力比的平方成正比,是一个标量。因此，计算应变能时，力流不区分拉力还是压力，均为正。
由V=∑A×L（A为横截面面积，L为杆件长度）可得：
假设杆件均在同一应力水平下（即应力比相同），则杆件的轴力与横截面面积成正比：
将式(8)代入式(7)中，则：
假设R为一定值：
将式(10)代入式(9)中，则：
式（11）的物理意义为：一个结构的应变能与力流大小及力流走过的长度成正比。因此，传力越直接，应变能越小。
所以，力沿刚度最大的路径传递，而力沿最短路径传递是最有效率的。
讨论
示例1：有两根相互铰接的二力杆，两端是铰接支座，假设结构高度为H，H为常数，θ作为变量，中间受到一个竖直向下的集中力F作用，如图1所示。
图1 二力杆示例计算简图
结构应变能：
单根杆件轴力：
单根杆件变形：
整个结构应变能：
所以，θ=90°时，结构的应变能最小，即可认为此时结构效率最高。
示例2：有两根相互铰接的二力杆，两端是铰接支座，支座间距为2L，假设L为常数（示例1中H为常量），θ为变量，中间受到一个竖直向下的集中力F作用，如图2所示。
图2 二力杆示例计算简图
结构应变能：
单根杆件轴力：
单根杆件变形：
整个结构应变能：
通过Matlab可以求出上式的最小正值。
假设
可得，函数的极值点为x=0.9553，对应极值为f(x)=2.5981。函数图形如图3所示。
图3 f(x)的函数图形
综上所述，θ=0.9553rad（54.762°）时，结构应变能取得最小值。结构效率是在θ=54.762°时最高。
那么问题来了，这是两个形状相同的结构，为什么根据应变能判断的结构效率会不一样？这个留给大家讨论。下一篇小i会把自己的理解梳理出来，供大家讨论。
概念性的小结
▲力沿刚度最大的路径传递，但并不代表刚度最大的路径结构效率最高。最短的路径才是力流传递是最有效率的，材料是最省的。
▲应变能可以代表结构的材料用量，因此结构优化中可以将它作为优化指标。关于结构优化的内容在此不展开，会在以后的文章中论述。
小i设计资历尚浅，文中很多说法不严谨，希望您读了以后有所启发。欢迎留言讨论，欢迎拍砖。
延伸阅读
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