结构形态优化的工程应用
前面几期小i 介绍了参数化建模、优化算法，以及关于结构效率的讨论。这一篇我们聊聊构建形状的方法，并结合“丰岛美术馆”项目，介绍结构形态优化的实际应用。
数学描述：抛物线与悬链线
早在两千年前，人们发现“拱”是一种高效稳固的形状，并且大量用于石砌建筑中，形状多种多样。哪一种拱形的结构是最合理的呢？直到18世纪，人们才解出合理拱轴线的数学表达式---抛物线。
古代多种多样的拱形
达芬奇绘制《抱银貂的女人》时，曾提出一个问题。女人戴的项链的形状，即在均匀重力作用下，项链自然下垂的形态是什么？遗憾的是他没有得到答案。
抱银貂的女人，达芬奇，1490年
伽利略和吉拉尔曾错误地猜测悬链曲线也是抛物线。直到约翰·伯努利利用微积分，给出悬链线的数学表达式--双曲余弦函数。
合理的曲线形态与荷载有关。如下图所示，沿跨度投影方向均布的竖向荷载作用下，合理形状是二次抛物线。在沿着构件单元长度均布的荷载下，是悬链线。在沿着曲线法线的均布荷载下，合理形状则是圆弧 (想象一下皮球)。
抛物线与悬链线
有趣的是，它们时常以看似“相反”的形式出现。比如，美国圣路易斯的杰斐逊纪念拱门，主要竖向荷载是拱的自重，因此它的合理形状是悬链线。
杰斐逊纪念拱门，高 192 米：悬链线形状的拱门
为抵抗水平风荷载，截面上小下大
而我们常见的悬索桥，主要荷载是沿跨度方向均布的桥面，它的形状反而是抛物线。
旧金山金门大桥：抛物线形状的悬索
实际上，抛物线和悬链线的形状差别并不大。对于能承受一定弯矩的刚性结构来说，这种差别带来的影响不大。古代各式各样的拱顶、拱桥至今依旧坚固。
抛物线与悬链线
但对于大跨度结构，或者零弯矩的柔性结构，形态尤为重要。比如悬索桥的缆索，即使把它设计成圆弧线、悬链线，它仍然会向合理的抛物线靠近。初始的形态偏离越多，加载后的形变越大。
有个难题！
结构荷载多种多样，而形状只能有一种。比如，在构件自重作用下合理轴线是悬链线，在雪荷载下可能接近抛物线，在沿曲线法线作用的风荷载下可能是圆弧，工程师如何选择？
此外，实际的建筑结构形态不是简单的曲线，而是三维空间。三维自由曲面很难用数学方法直接描述，因此我们需要探索其它方法。
逆吊法
逆吊法，是通过实验手段探索空间形态的一种方法。19世纪70年代，安东尼奥·高迪(1852-1926)率先在建筑设计中尝试使用。20世经60年代起，海恩兹·伊斯勒(HeinzIsler,1926-2009)用逆吊法建造了上千个混凝土（RC）薄壳结构。逆吊法的原理比较容易理解，小i在此不做过多介绍了。
逆吊法的原理
海恩兹·伊斯勒设计的混凝土薄壳结构
数值模拟方法
随着数值分析方法的发展，目前许多计算软件能模拟逆吊实验的过程。例如通用有限元软件ANSYS、ABAQUS，以及Kangaroo、RhinoVault等新工具。数值方法适应更为复杂的约束条件、边界条件、荷载和材料特性，其背后的原理有力密度法、动力松弛法等多种。
数值模拟的逆吊法
用RhinoVault 创建的造型
有些问题！
利用以上方法，基于一种荷载模式创建的轴力结构，造型复杂炫丽。这类造型的内在逻辑比较简单，需要工程师注意的是它们的局限性。
1.比较难适应复杂的双曲形态、大悬挑、双层多层网格、高层结构等；
2.实际的建筑结构受到诸多限制，逻辑更加复杂；
3.结构需要承受的荷载有恒、活、风、雪、地震、温度等多种工况组合，不能同时符合轴力结构。
与RhinoVault等插件相比，基于Grasshopper的参数化插件，能编写更复杂的逻辑，应用局限性相对比较小。目前支持内力、应力、屈曲等各种常用的计算分析和优化功能。小i后续将结合具体项目详细介绍。
优化的工程应用：丰岛美术馆
丰岛美术馆位于日本濑户内海丰岛，建筑概念是“水滴”。屋面四周落地，是一个比较偏平的、自由曲面RC薄壳结构。
丰岛美术馆, 建筑师西泽立卫, 2010年
建筑投影是不规则的曲线，长向60.2m、短向42.7m。薄壳的最大跨度41.2m，最大矢高5.12m。屋面是比较简单的自由曲面，可以采用数值逆吊法优化。不过，数值逆吊法的结果，仅仅是诸多轴力形态中的一种，未必能够满足建筑师的苛刻要求。
工程师采用的方法是，用NURBS曲线构造曲面，将控制点的坐标设为变量，进而调整和优化曲面形状。
曲面控制点与网格
经过计算机60步的优化迭代，与初始曲面结构相比，优化结构的总应变能减少了25%，最大挠度减小了75%。应变能降低也说明，在保证结构性能一定的情况下，减少了材料用量，这正是优化的意义。
初始曲面与优化曲面的挠度
优化过程中应变能和挠度的减小
优化曲面与建筑师提出的初始曲面最大高差仅400mm，视觉上差别很小，建筑师容易接受这一变化。
屋面曲面的等高线
在实际工程设计过程中，创建一个优化的曲面仅仅是开始的一小步。后续的深入计算分析、配合建筑功能的修改、施工图设计，以及施工建造，还有两万五千里的长征路。
丰岛美术馆的RC薄壳矢跨比约1/8，比较偏平。支座处的推力较大，所以在短跨方向布置了预应力钢筋混凝土梁来平衡。
RC薄壳屋盖与预应力基础梁
由于屋盖薄壳的矢跨比小、自重大，结构的竖向地震响应比水平地震更显著。不均匀的竖向地震作用和雪荷载，与曲面优化时的荷载模式不同，结构设计时需特别重视。
对于RC薄壳结构，整体稳定往往是决定承载力的最主要问题。计算稳定系数时需考虑初始缺陷、施工偏差、几何非线性、材料非线性、混凝土的开裂和徐变、不均匀的荷载等不利因素。
从下图的荷载曲线可知，该薄壳的极限承载力为[5.77倍恒载]和[恒载+3.20倍地震]，满足当地规范的要求。
荷载位移曲线：[λ倍恒荷载]
丰岛美术馆的施工建造方法也很有趣。我们知道，RC薄壳结构的模板工程造价非常高。该项目没有架设普通的木模，而是利用场地周边的土堆成小山包，土堆表面用泥浆定型，以此作为模板浇筑混凝土。
堆土时，用测量仪器监测“土模”的形状，误差控制在5mm以内。待混凝土结硬后，用挖土机把薄壳内部的土挖出来。
形态优化只是结构优化的一个方面。基于相同的概念，在高层建筑领域同样能优化支撑的形式、斜柱的角度。结合拓扑优化，有更广泛的应用空间。限于篇幅，在此不展开了。
拓扑优化的Machell truss用于超高层支撑
新软件、新方法的应用，为我们带来了新的思路。小i 在项目设计过程中，尝试着使用这些新工具解决了一些问题，但仍有许多方面需要摸索学习。各位读者如果有好的方法、思路，希望能多多交流和讨论。
延伸阅读:
参考资料
1.RC自由曲面壳体结构设计,佐佐木睦朗.
2.自由曲面结构参数逆吊法的环境适应性调控研究，孙明宇,刘德明,朱莹.
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