小升初|数论综合之代数思想与枚举验证
数论综合之
代数思想与枚举验证
1．位值原理
数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。
2．短除模型
如果(A,B)=m，且A=ma,B=mb，a、b互质，则A、B的最小公倍数为mab。
可得，最大公因数与最小公倍数的基本关系：
⑴A×B=ma×mb=m×mab
即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积。
⑵最大公因数是A、B、A+B、A－B及最小公倍数的因数。
3．因数个数定理
指数加1连乘
【例1】(★★)
求这样的三位数，它除以11所得的余数等于它的三个数字的平方和。
【例2】(★★)
设a，b是两个正整数，它们的最小公倍数是9504，那么这样的有序正整数对(a，b)共有________组。
【例3】(★★★)
已知两个自然数的和为54，它们的最小公倍数与最大公因数的差为114，求这两个自然数。
【例4】 (★★★)
已知A数有7个因数，B数有12个因数，且A、B的最小公倍数[A，B]＝1728，则B＝______。
【例5】 (★★)
2025的百位数字为0，去掉0后是225，225×9＝2025。这样的四位数称为“零巧数”，那么所有的零巧数是哪些？
【例6】 (★★★)
a，b，c分别是0到9中不同的数码，用a，b，c共可组成六个三位数，如果其中五个三位数之和是2234，那么另一个三位数是几？
【例7】(★★★)
求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方。
【例8】 (★★★★)
如果一个非零自然数能表示成两个非零自然数的平方差的形式，则称这个自然数为“智慧数”，比如16＝52－32，16就是一个“智慧数”。在自然数列中从1开始数起，试问第1990个“智慧数”是哪个数？并请你说明理由。
【例9】 (★★★)
如果(a+2b)被5除余数为2，(3a-b)被5除所得的余数为3，求证：(a-b)能被5整除。(a、b都是自然数)