完全平方数（一）

知识要点：

1、完全平方数的定义：

我们把一个自然数与自身相乘的乘积叫做完全平方数或平方数.

如: 0²＝0，1²＝1，2²＝4，…，11²＝121，12²＝144 …

其中0，1，4，…，121，144，…叫做完全平方数.

提示: 12²＝144和21²＝441 33²＝1089和99²＝9801

3、完全平方数的性质: (熟记)

性质1: 完全平方数的末位数字只能是0，1，4，5，6，9.

性质2: 完全平方数除以5只能余0、1、4.

完全平方数除以3只能余0、1.

完全平方数除以4只能余0、1.

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版块一∶完全平方数的特点

【例1】 (★★)

某班同学做体操时正好可以排成一个行数与列数相等的方阵。做完操后，老师让班长按5人一组分组活动，班长算了一下说: “5人一组分组还多2人。”老师马上说: “你一定算错了。”你知道老师这样说的根据吗？

【例2】 (★★★)

我们知道：121=11²,12321=111²,1234321=1111²，…都是完全平方数。那么，121+12321+1234321+…+12345678987654321是不是完全平方数？

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【例3】 (★★★)

1²+2²+3²+…+2001²+2002²除以3的余数是     。

【例4】 (★★★)

证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数.

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版块二∶完全平方数的质因数

3、完全平方数的性质: (熟记)

性质3:

⑴偶指性—分解质因数后每个质因数的指数都是偶数；

⑵完全平方数的因数一定有奇数个，反之亦然。特别地，因数个数为3的自然数 是质数的平方；

【例5】 (★★★)

一个数与270的积是完全平方数，那么这个数最小是______.

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【超常大挑战】(★★★★)

已知自然数n满足: 12！除以n得到一个完全平方数，则n的最小值是______.