构造与论证之奇偶分析(上)
构造与论证之奇偶分析(上)
一、奇偶应用
【例1】(★★★)
一个俱乐部里的成员只有两种人：一种是老实人，永远说真话；一种是骗子，永远说假话。某天俱乐部的全体成员围坐成一圈，每个老实人两旁都是骗子，每个骗子两旁都是老实人。外来一位记者问俱乐部的成员张三：“俱乐部里共有多少成员？”张三答：“共有45人。”另一个成员李四说：“张三是老实人。”请判断李四是老实人还是骗子？
【例2】(★★★)
在a，b，c三个数中，有一个是2003，一个是2004，一个是2005。问(a－1)(b－2)(c－3)是奇数还是偶数？
【例3】(★★★)
任意取出1234个连续自然数，它们的总和是奇数还是偶数？
【例4】(★★★)
在2009张卡片上分别写着数字1、2、3、4、…、2009，现在将卡片的顺序打乱，让空白面朝上，并在空白面上又分别写上1、2、3、4、…、2009。然后将每一张卡片正反两个面上的数字相加，再将这2009个和相乘，所得的积能否确定是奇数还是偶数？
【例5】(★★★★)
有一本500页的书，从中任意撕下20张纸，这20张纸上的所有页码之和能否是 1999？
【例6】(★★★★)
有98个孩子，每人胸前有一个号码，号码从1到98各不相同。试问：能否将这些孩子排成若干排，使每排中都有一个孩子的号码数等于同排中其余孩子号码数的和？并说明理由。
【例7】(★★★★)
用代表整数的字母a，b，c，d写成等式组：
abcd－a＝1991，abcd－b＝1993
abcd－c＝1995，abcd－d＝1997
试说明：符合条件的整数a，b，c，d是否存在。
【例8】(★★★★★)
在一次聚会时，朋友们陆续到来，见面时，有些人互相握手问好。主人很高兴，笑着说：“不论你们怎样握手，你们之中，握过奇数次手的人必定有偶数个。”请你想一想，主人为什么这么说，他有什么理由呢？