程碧波：从中国版《几何原本》研究测度几何

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摘要：本文基于中国版《几何原本》重新审视测度问题，提出几何与几分理论下的测度等、测度邻域、测度势和测度连续等定义，并给出新理论下的确界定理、区间套定理、中值定理等。

关键词：测度、几何、几何原本、测度几何

 本文基于徐光启版《几何原本》（以下称中国版《几何原本》）重新审视测度问题。中国版《几何原本》卷五第一界，阐述了“几何”之含义：“分者，几何之几何也。小能度大，以小为大之分。以小几何度大几何谓之分。曰，几何之几，何者谓非？此小几何不能为此大几何之分也。如一点无分亦非几何，即不能为线之分也。一线无广狭之分，非广狭之几何，即不能为面之分也。一面无厚薄之分，非厚薄之几何，即不能为体之分也。曰，能度大者谓小几何，大几何能尽大之分者也。”这段话清晰地阐述了何为“几何”：某量可以被更小的某度来分尽，既无不足亦无余数的，此量即为大几何，此度即为小几何。如果不能分尽，就“不为大几何内小几何也”，换言之，就不叫几何。本段对不能分尽的，给出了另一个专门名词“几分”。“若不尽分者，当称几分”。

一 切边角、曲线角与无穷小量的图形与数学表示

通常认为可绘制出的量均为有限小量，但中国版《几何原本》给出了可绘制的无穷小量“切边角”。“切边角”即切线与曲线的夹角，其无限趋于0但实际上并不等于0。进一步地，“切边角”是导数数据的代表，绝大多数导数值的极限为有穷值，但导数值本身并不是有穷值。例如：

    （1）

（1）式即中国版《几何原本》所说的“曲线角”，其值包含无穷小量。通常说其实取的是时的极限值，即直线角斜率。任何时候的曲线角与斜率相差小量。因此可绘制出的量中通常均有无穷小量。由（1）亦可知，将舍弃为0的后果，是失去了“曲线”的特征。更一般地，现代数学把点作为线的构成部分，把单点作为无穷区间套的唯一公共点，都表明现代数学认为存在尺度为无限小乃至0的图形。

  下文将含有无穷大、无穷小项的数值称为无穷数值，否则称为有穷数值。并用表示所有正无穷小数，表示所有负无穷小数。因此表示既不无穷小亦不无穷大的数（但既可能有穷也可能无穷），称为有限数。

二 现有极限、连续及相关定理存在的问题

当前的数学体系对测度的理解存在较大的问题，这也说明此数学体系的确是在中国版《几何原本》的基础上发展，但却错误中国版《几何原本》关于测度的阐述，从而出现方向性的问题。

函数极限定义：若存在一个实数，对于任给的，总能找到，使时满足，则称为函数在点的极限，记为。本定义中，、为有穷数。

现在构造反例：

       （2）

（2）式中即为无穷小量。（1）式在区域内当时的趋近于10，时，时。因此这是一条在内连续的线。

但是，对任意有穷小值，使时，都远远小于邻域，因此在邻域时的值域均为。所以不可能存在任给的，找到，使时满足或。

倘若上述函数极限定义中，在中也只能取有穷值，则无法在中取值。此时若在中间断，根据此极限定义，在中仍被判为有极限。因为在（2）式中，在中取任意有穷小的数值，均有，所以，因此的极限为1。这与时的趋近于10的真实图像情况冲突了。无论取有穷值还是无穷值，上述函数极限的定义都存在问题。

再看连续的定义：若函数在点的左极限等于该点的函数值，则称函数在点左连续。若函数在点的右极限等于该点的函数值，则称函数在点右连续。但既然极限定义有问题，则连续的定义亦有问题。如（2）式在没有极限，自然就不连续。但从图形上看，（2）式在点既有逼近10的趋势，又是连续的。

由此导致下述定理存在问题：

上（下）确界定义：给定数集，如果存在实数，满足条件：（1）对于所有，成立；（2）对于任意的，至少存在一个，使得，那么就称此是数集的上确界，记为。

本定义中，倘若调整为，，则（1）对于所有，成立；（2）对于任意的有穷数，至少存在一个，使得。因此按定义，和都是数集的上确界，显然这矛盾了。

区间套定理：在区间套中，，对于单调数列来说，极限就是数列的上（下）确界。故是这些闭区间的公共点。且若有不同的公共点，则，但因为，所以矛盾了。因此是这些闭区间的唯一公共点。

显然地，区间套定理存在的问题是同样的。并不意味着有公共点。也并不一定是有穷值，所以未必是这些闭区间的唯一公共点。

有界性定理：若函数在闭区间上连续，则它在上有界。

有界性反例：

       （3）

（3）式是之间的连续函数，但在之间无界。

最大（小）值定理：若函数在闭区间上连续，则它在必能取到最大（小）值。最大（小）值原理由有界性定理推导而得。但由于有界性定理有问题，所以最大（小）值原理亦不成立。

零点存在定理：若函数在闭区间上连续，且，则一定存在的“零点”，即。

反例：取闭区间上，当时，，。则连续但不为0。

中间值定理：若函数在闭区间上连续，则其在上一定能取到最大值和最小值之间的任何一个中间值。

显然地，类似零点存在定理的反例，在的值上加上高阶无穷小，中间值定理就不成立。

一致连续概念：对于任意给定的，存在，使得任意两点和属于（或），只要就成立，则称在（或）上一致连续。

（2）式不是上述定义中的连续函数，自然也就不是上述定义中的一致连续函数。但是如果允许为无穷小的话，（1）式就可以为一致连续函数。

三 测度等、测度界、测度邻域、测度势、测度连续及相关定理

中国版《几何原本》是如何处理高阶无穷小的测度问题呢？其卷三第十六题说：“切边角分之无尽，何谓不可减邪。若十卷第一题所言元无可疑，但以圆角分圆角则与其说合矣。彼所言大小两几何者，谓夫能相较为大、能相较为小者也。如以直线分直线角，以圆线分圆线角。是已此切边角与直线角岂能相较为大小哉。增题有两种几何，一大一小。以小率半增之，递增至于无穷。以大率半减之，递减至于无穷。其元大者恒大，元小者恒小”。本段指出存在数量级高低阶不同的几何种类，但无穷小几何可以被同种无穷小几何细分（即测度）。因此中国版《几何原本》指出同数量级的几何之间可测，不同数量级的几何之间不可测。中国版《几何原本》中切边角、曲线角这种无穷小的图例代表了所有导数，其“以小率半增之，递增至于无穷。以大率半减之，递减至于无穷。其元大者恒大，元小者恒小”也是对不同种几何的普适性描述。对切边角、曲线角进行平方、立方等操作，显然再可以构造出现实存在的更多类型不同数量级的几何。中国版《几何原本》明确指出：“几何原本书中无有至大不可加之率，无有至小不可减之率。若切边角不可分，岂非至小不可减乎？”其含义是：“至小不可分的单点”不是几何，“至窄不可分的线”在其宽度上、“至薄不可分的面”在其厚度上也不是几何。

根据中国版《几何原本》的理论，邻域、极限和连续的研究，都必须要在一定测度的前提下进行。本文根据中国版《几何原本》中“几何”和“几分”定义如下。

对于，称为测度。为以为测度的度数；若是的整数倍，则称为以为测度的几何度，为的大几何，为的小几何。若不是的整数倍，则称为的几分。若为最小测度（也即最小刻度），则只能是整数，因为小于的值不可能被测出来。几何度满足可加性，即。几分则不一定满足可加性，即。但若不是最小刻度，则可以为小数。若是的有理数倍，则可以将有限多个加总起来构成以为测度的几何度。若是的无理数倍，则不能将有限多个加总起来构成以为测度的几何度。

若，则称与同几何级，否则为异几何级。若，则称是的微几分，亦可称是的低几何级，是的高几何级，。若的值为的微几分，则称度等于，记为，与互为度值，即为的度值，亦为的度值。若且，则称度大于，记为；度小于，记为。所有度等于的数均为、的度最大值，或度上界。所有度等于的数均为、的度最小值，或度下界。

以上基于测度的定义中，几何之下还有几分、微几分。换言之，线的构成成分不是单点而是短微线，面的构成不是单线而是窄微面，体的构成不是单面而是薄微体。这正与中国版几何原本“一点无分亦非几何，即不能为线之分也。一线无广狭之分，非广狭之几何，即不能为面之分也。一面无厚薄之分，非厚薄之几何，即不能为体之分也”完全一致。

本文定义“，，为有穷数”为在附近在测度下的度数小于有穷数值但大于无穷小的邻域，简称“度邻域”。可能无穷小、无穷大或有限数值。

度邻域的度势定义：若存在一个实数和无穷小数，对于任给的有穷数，总能找到有穷数，使时满足，则称为函数在点的度邻域的度势，记为。显然度势加减的微几分后仍为度势。通常与同几何级，此时“度邻域的度势”简称邻势。若亦为有限数，则简称势。若只能取有穷数值，则为有穷数，是无穷小数的高几何级，无穷小数为几分，无法研判无穷小区域。若只能取有穷数值，则且为有穷数。本文下面探讨可取无穷数值的情况。

度邻域的度连续定义：若函数在点左（右）度邻域的度势度等于该点的函数值，则称函数在点左（右）度邻域的度连续。若与同几何级，则简称为左（右）邻连续。若亦为有限数，则简称左（右）连续。

由此有本文以下定理：

上（下）确界定义：给定数集，如果存在实数，满足条件：（1）对于所有，成立；（2）对于任意，，且为任意有穷小数值，则至少存在一个，使得，那么就称此是数集的度上确界，记为。与同几何级。

区间套定理：若一系列闭区间满足条件：（1）一个套一个，即；（2）区间的长度在测度下单调趋于零，即，则，与同几何级。所有闭区间的公共区域为测度的微几分区域。

有界性定理：若函数在闭区间上度邻域度连续，则它在上度邻域有度界。

最大（小）值定理：若函数在闭区间上度邻域度连续，则它在必能取到某点的度邻域中的度最大（小）值。

零点存在定理：若函数在闭区间上度邻域度连续，且，则一定存在度邻域中值度等于“零点”，即。

中间值定理：若函数在闭区间上度邻域度连续，则其在上一定能在某个度邻域上取到与度最大值和最小值之间的任何一个度中间值。

一致连续概念：对于任意给定的有穷数，存在有穷数，使得任意两点和属于（或），只要就成立，则称在（或）上度邻域度一致连续。

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