李之藻《同文算指》是阿基米德“王冠问题”的最初底本
李之藻《同文算指》是阿基米德“王冠问题”的最初底本
本文经作者授权发布，转载者请注明原作者。
由李之藻与洋和尚利玛窦“合作编译”的《同文算指》（刊刻于 1613 年）“通编”卷四有一算题是这样的：
“问黄金百斤制罏（lú）一座 ，既成 。虑匠人盗金和银 ，销毁验之恐伤工本 。欲知和银若干。”
该题就是今天我们被告知的“阿基米德鉴定王冠”故事的最初的底本。但是，在这个底本中，却没有提到阿基米德！也就是说，当李之藻编撰《同文算指》之时，洋和尚还没有想到杜撰一个子虚乌有的，希腊化时代的数学家、物理学家、发明家、工程师、天文学家阿基米德。直到1629年之后，一未具名中国人所著《欧罗巴西镜录》中重复了这道鉴定王冠金子成色的题，并且第一次在该题中有声有色地编造了一个阿基米德如何想出鉴定金冠成色并成功揭穿金匠诡计的故事。但是，在该题中，阿基米德叫亚尓日白腊，而王冠问题除了把 “罏”换成“鼎” ，其它数据和所用算法与《同文算指》完全一样。可见在《欧罗巴西镜录》中，故事大致编好了（直接量的溢出水的重量而不是体积，这和《同文算指》完全一致但和今天维基百科版本不同。），但人还没对上。
《同文算指》给出的解法是这样的：
用一容器盛水至满，把 100 斤的金罏放入容器，假设所溢出的水为 65 斤 。
将金罏取出再加满水，把等重( 100 斤) 的纯金放入容器，假设所溢出的水为 60 斤 。
又将纯金取出再加满水，把等重( 100 斤) 的银放入容器，假设所溢出的水为 90 斤 。
然后用所谓的“叠借互徵”法，通过两次假设，构造出一个数学模型 ：
假设 100 斤的金罏中掺了 40 斤的银，则其中有 60 斤的纯金。由预设条件知，100 斤的纯金溢水 60 斤，100 斤的银溢水 90 斤 。据此用比例法可推出，60 斤的纯金或 40 斤的银分别溢水 36 斤 。于是，百斤金罏应溢水 72 斤，比预设多 7 斤 。
又假设 100 斤的金罏中掺了 30 斤的银，则其中有 70 斤的纯金 。
同理可推出，70 斤的纯金溢水 42 斤，30 斤的银溢水 27 斤。于是，百斤金罏应溢水 69 斤，比预设多 4 斤。
最后，求得问题的答案是，百斤金罏中掺银 16又2/3斤，实有纯金 83又1/3 斤。
结论是匠人掺假确凿无疑 。
这和阿基米德鉴别王冠方法实际上是一样的。唯一不同的是根据维基百科阿基米德测定金冠及与金冠等重的金块 、 银块所排出来的水的体积 ，然后由此计算出金冠中金和银的含量 。而《同文》鉴定金罏直接测量排出来的重量。咋看上去，好像两者确实有区别，但实际上编造这个故事的人耍了点小手段。因为两个密度不等的不同类金属，如果两者质量等，那么密度低的金属体积就一定比密度大的金属大（密度和体积成反比），也就是说放入水中的话，密度低体积大的金属排出的水体积和重量必然比密度大体积小的金属排出的水体积大。根据同类物质（水）质量和体积成正比，那么所排出水的质量和体积就挂上了勾。比较维基百科版和《同文算指》版，我们可以看出《同文算指》版所使用的都是重量，不需要相互之间换算，甚至不需要知道物体体积和质量之间的关系，就可以直接计算；而维基百科版需要在重量和体积之间换算，这是没有必要的。为什么呢？因为如果有完备的度量衡制度以及度量衡器具，那么只需要称重就可以了！进行体积和质量的换算，不是脱裤子放屁，多此一举吗？
通过上述计算过程，我们非常容易看出，这种算法是典型的中式思维产物，具有明显的中式数学算法化特征。那么，为什么李之藻没有翻译西方用字母和西式数学符号表达的代数式，而偏偏用中国传统的盈不足术？如果真如洋和尚所说的“用西方的知识和科学为传教开辟道路，……，利用西方知识吸引中国士人”，那么有什么比100%原汁原味地翻译西方数学更有说服力的呢？怎么李之藻之流翻来翻去都是中国几千年前就已经滚瓜烂熟的知识呢？没道理啊！
这道题的解法是中国古代传统数学中的“盈不足术”，李之藻却称呼它为“迭借互征”，是李之藻不懂中国古代算术吗？是李之藻不知道《九章算术》中的“盈不足术”吗？我看答案是否定的。《同文算指 · 叠借互征第七》：“其法有二：凡俱盈俱不足者，以差数相减，余为法，以乘数相减，余为实。若一盈一不足者，以差数相并为实，而以法除实，则二法相同。”实际上就是中国古代“盈不足术”，李之藻既然已经“翻译”出了“盈”和“不足”及其算法，会不知道这就是“盈不足术”？骗鬼呢吧！正如如钱宝踪在《中国数学史话》说：“我们不要数典忘祖。这个方法应该叫盈不足术。”
什么叫“盈不足”呢？李籍在《九章算术音义》称：“盈者，满也。不足者，虚也。满虚相推，以求其适，故曰盈不足。”盈不足术就是使用两次假设的数字来求解算术题，西方因此称之为“双设法（regula falsi，method of false position，或者 false position method）”。比较上述两个两个定义，我们可以看出盈不足讲出了这个算法的本质，而所谓的“双设法”只是提到了算法第一步，并没有涉及到这个算法的本质。method of false position 可谓离算法本质远矣！由此可见，双设法是西方对盈不足术的抄袭！《九章算术》中将“盈不足术”分为“一盈一不足”（第1-第4题）、“两盈”（第5题）、“两不足”（第6题）、“一盈一适足”（第7题）、“一不足一适足”（第8题）五种情形。
那么什么是“迭借互征”呢？李之藻在《同文算指 · 叠借互征第七》开篇介绍了“迭借互征”的算法：“借虚征实，其术精矣，又有子母杂互隠奥难知者，则两借虚数以征之，征之于实尚远也，或两浮而盈（两盈）、或两缩而不足（两不足）、或一盈一不足，俱以借数列上以较原数，以多寡之差列下，而左右互乘焉。……，此则于未有盈朒（nǜ）之先借数推出盈朒，以求隠数。故曰借征。其显有盈不足实数者，但依旧法求之。诸盈不足者，两盈者、两不足者、盈适足者、不足适足者、及叠互母子者，各具数条见例。”
我们再看，《算法统宗 · 盈朒第七章》：“盈多也，朒少也。此是假设有余不足者，以求隐杂之数也。隐杂者，不见之数，显者，可见之数。故以显者推隐杂者且如数人共买物，出钱多则有余，少则不足，无可考究者，故以有余不足数示之则人数物价可知矣。”由此可见，李之藻对“盈不足术”实际上非常了解，并非陌生或者不熟，而《同文算指》中的“迭借互征”实际上就是《算法统宗》中的“盈朒”，也就是《九章算术》中的“盈不足术”。李之藻所为其实质就是新瓶装旧酒，换汤不换药。这和他对中国分数分子分母上下位置的颠倒手段如出一辙。至于他指出“旧法未知借推之妙”更是故意歪曲事实的无端指责。
本文来源： 的新浪微博