初中数学每日一题（71）中考专题——“旋转“背景下的探究型推理问题
由于探究型试题的知识覆盖面较大，综合性较强，灵活选择方法的要求较高，再加上题意新颖，构思精巧，具有相当的深度和难度，所以要求同学们在复习时，首先对于基础知识一定要复习全面，并力求扎实牢靠；其次是要加强对解答这类试题的练习，注意各知识点之间的因果联系，选择合适的解题途径完成最后的解答．由于题型新颖、综合性强、结构独特等，此类问题的一般解题思路并无固定模式或套路，但是可以从以下几个角度考虑：
1．利用特殊值（特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等）进行归纳、概括，从特殊到一般，从而得出规律．
2．反演推理法（反证法），即假设结论成立,根据假设进行推理，看是推导出矛盾还是能与已知条件一致．
3．分类讨论法．当命题的题设和结论不惟一确定，难以统一解答时，则需要按可能出现的情况做到既不重复也不遗漏，分门别类加以讨论求解，将不同结论综合归纳得出正确结果．
4．类比猜想法．即由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并加以严密的论证．以上所述并不能全面概括此类命题的解题策略，因而具体操作时，应更注重数学思想方法的综合运用．
今天学习探究型推理证明问题。
例题1.（2016·青海西宁·2分）如图，已知正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．若AE=1，则FM的长为 ．
【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】这是典型的“旋转拼接证全等”的方法。由旋转拼接后，利用SAS可得出△DEF与△DMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；设 EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在Rt△BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程:
例题2.（2016广西南宁）已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．
（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；
（3）如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．
【分析】由“60°的菱形”，需要想到是两个“等边三角形”拼接而成的，故需要连接AC，则原来菱形就变成了两个等边三角形的问题。
（1）结论AE=EF=AF．易证△ABE与△ACF全等，得到AE=AF，则△AEF是等边三角形.
（2）由（1）的全等即可得到．
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郑翠彩，国家级师德教育专家；河北省优秀教师、河北省优秀班主任。
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