初中数学每日一题（115）幂的性质小综合，一次函数图象，抛物线背景下的相似

【初一专题】幂的性质小综合

知识链接：

同底数幂的乘法：a^m·aⁿ=a^m+n（m、n是整数）

积的乘方：（ab）ⁿ=aⁿbⁿ（n是整数）

幂的乘方：（a^m）ⁿ=a^mn（m、n是整数）

例题1：已知2^m=3,2ⁿ=5，求下列代数式的值：

（1）2^2m；（2）2^m+n；（3）2^3m+2n；

思路分析：类比转化，整体代入。

解：（1）2^2m=（2^m）²=3²=9；

（2）2^m+n=2^m·2ⁿ=3×5=15；

（3）2^3m+2n=2^3m·2²ⁿ=（2^m）³·（2ⁿ）²=3³×5²=675.

例题2：计算

（1）（-0.5）²⁰¹⁷×2²⁰¹⁸；（2）（-0.25）²⁰¹⁶×4²⁰¹⁷；

（3）（-0.5）²⁰¹⁵×4¹⁰⁰⁸；（4）0.125⁶⁷³×2²⁰¹⁶.

思路分析：典型的逆向思维能力培养机会，你用“同底数幂的乘法”与“积的乘方”，即可轻松搞定问题.——希望同学们能懂一个，然后练三个。

解：（1）（-0.5）²⁰¹⁷×2²⁰¹⁸

=（-0.5）²⁰¹⁷×2²⁰¹⁷×2

=（-0.5×2）²⁰¹⁷×2

=-1×2=-2；

（2）（-0.25）²⁰¹⁶×4²⁰¹⁷

=（-0.25）²⁰¹⁶×4²⁰¹⁶×4

=（-0.25×4）²⁰¹⁶×4=4；

（3）（-0.5）²⁰¹⁵×4¹⁰⁰⁸

=（-0.5）²⁰¹⁵×（2²）¹⁰⁰⁸

=（-0.5）²⁰¹⁵×2²⁰¹⁶=-2；

（4）0.125⁶⁷³×2²⁰¹⁶

=0.125⁶⁷³×2^3×672

=0.125⁶⁷³×（2³）⁶⁷²

=0.125⁶⁷³×8⁶⁷²=

=0.125

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【初二专题】一次函数图象

知识链接：

1. 一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一条直线.

2. 系数对图象的影响：

例题：下面通过在同一坐标系中绘制下面函数图象，观察猜测——测量验证——得出结论。

（1）y=-3x+1，y=-3x，y=-3x-2

（2）y=1/2x,y=1/2x-2,y=1/2x+3

（3）y=-2x+1,y=1/2x-3

思路分析：同学们一定要动手画图（列表、描点、连线），然后再“观察猜测——测量验证——得出结论”，最后可以到“荔枝微课”——“出彩数学”直播间看老师讲解的视频。直播间会有通知。

归纳总结：

（1）k的符号：影响直线的趋势（k>0时，直线趋势上升，必过一三象限；k<0时，直线趋势下降，必过二四象限）

（2）K的绝对值：影响直线的倾斜程度（k的绝对值越大，直线的倾斜程度越大）

（3）B：影响直线与y轴交点的位置（b>0时与y轴交于正半轴；b=0时与y轴交于原点；b<0时与y轴交于点负半轴）

（4）两条直线的位置关系：

当k₁=k₂且b₁≠b₂时两条直线平行；

当k₁k₂=-1时两条直线垂直.

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【初三专题】抛物线背景下的相似

例题：（2016·湖北荆门·14分）如图，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，两动点D，E分别从点A，点B同时出发向点O运动（运动到点O停止），运动速度分别是1个单位长度/秒和个单位长度/秒，设运动时间为t秒，以点A为顶点的抛物线经过点E，过点E作x轴的平行线，与抛物线的另一个交点为点G，与AB相交于点F．

（1）求点A，点B的坐标；

（2）用含t的代数式分别表示EF和AF的长；

（3）当四边形ADEF为菱形时，试判断△AFG与△AGB是否相似，并说明理由．

（4）是否存在t的值，使△AGF为直角三角形？若存在，求出这时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由．
 

【分析】（1）在直线y=﹣x+2中，分别令y=0和x=0，容易求得A、B两点坐标；

（2）由OA、OB的长可求得∠ABO=30°，用t可表示出BE，EF，和BF的长，由勾股定理可求得AB的长，从而可用t表示出AF的长；

（3）利用菱形的性质可求得t的值，则可求得AF=AG的长，可得到=，可判定△AFG与△AGB相似；

（4）若△AGF为直角三角形时，由条件可知只能是∠FAG=90°，又∠AFG=∠OAF=60°，由（2）可知AF=4﹣2t，EF=t，又由二次函数的对称性可得到EG=2OA=4，从而可求出FG，在Rt△AGF中，可得到关于t的方程，可求得t的值，进一步可求得E点坐标，利用待定系数法可求得抛物线的解析式．

答案：

相似

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网课9：《变量与函数》

网课8：动态综合型《抛物线背景下的相似》

网课7：动态综合型《抛物线背景下的平行四边形》

网课6：《动点轨迹法：动态综合型问题》

网课5：《旋转拼接法：探究多条线段间数量关系》

网课4：《方法迁移与图象转化：解决探究型推理证明问题》

网课3：《坐标系中的动点问题》

网课2：《二次函数》

网课1：《一次函数与反比例函数》

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• 郑翠彩，国家级师德教育专家；河北省优秀教师、河北省优秀班主任。邢台市名师讲师团成员，邢台市家庭教育讲师团成员。

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