初一数学每日一题（122）面积法验证乘法公式
知识链接：
1.单项式乘以多项式：m(a+b+c)=ma+mb+mc
2.多项式乘以多项式：(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn
3.平方差公式：(a+b)(a－b)=a2－b2
4.完全平方公式：(a+b)2=a2+2ab+b2
5.十字相乘法：(x+p)(x+q)=x2+(p+q)x+pq
考试策略：在本学期的月考、期中考试、期末考试中，“面积法”验证公式，是考试热点问题。平方差公式、完全平方公式、十字相乘法——更是热点中的重点。
面积法验证公式：就是从两个角度，分别表示出同一个图形的面积，从而得到“等式”，再通过化简整理，最后得到需要验证的公式。有时也会将“面积法”验证公式，推广变形考查其他新的结论验证。
例题1：如图，下面矩形ABCD中，AD=m，边AB被分成了长度分别是a，b，c的三条线段，把矩形ABCD分成了三个矩形，如图所示，请回答下面问题：
（1）请用两种不同的方式，写出矩形ABCD的面积；
（2）你是否得到了一个等式？如果得到了请写出这个等式，如果没有得到请说明理由；
（3）如果得到了一个等式，它经验证了哪个运算律？
思路分析：这是面积法验证：乘法对加法的分配律（或单项式乘以多项式）。
（1）从整体来看：S矩形ABCD=m(a+b+c);
从部分来看，矩形ABCD是有三个小的矩形拼接而成的，
S矩形ABCD=ma+mb+mc
（2）得到一个等式：m(a+b+c)=ma+mb+mc
（3）验证了：乘法对加法的分配律.
例题2：如图，一个矩形被分割成了四个小的矩形，边长如图所示，请观察图形回答下面问题：
（1）请用两种不同的方式，写出矩形ABCD的面积；
（2）你是否得到了一个等式？如果得到了请写出这个等式，如果没有得到请说明理由；
（3）如果得到了一个等式，它验证了整式乘法中的哪种乘法运算法则？
思路分析：验证公式，都要从“整体”和“部分”两个角度分别表示出图形的面积，从而得到等式。
（1）从整体角度得到S矩形ABCD=（m+n）（a+b）;
从部分角度得到S矩形ABCD=ma+mb+na+nb;
（2）得到一个等式：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb；
（3）验证了整式乘法中的：多项式乘以多项式的运算法则.
例题3：将下列边长为a的正方形中剪切掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分，按照如图所示的方法，重新剪切拼接得到一个新的矩形，请分别表示出剪切拼接前后两个图形的面积：
（1）拼接前图形的面积为： ；
拼接后图形的面积为： ；
（2）得到的等式是： ；
（3）这个等式验证了哪个乘法公式？
思路分析：（1）S=a2-b2;（a+b）（a－b）；
（2）a2-b2=（a+b）（a－b）；
（3）平方差公式.
变式练习：将下列边长为a的正方形中剪切掉一个边长为b的小正方形，将剩余部分，按照如图所示重新剪切拼接得到一个新的矩形，请分别表示出剪切拼接前后两个图形的面积：
（1）拼接前图形的面积为： ；
拼接后图形的面积为： ；
（2）得到的等式是： ；
（3）这个等式验证了哪个乘法公式？
思路分析：（1）S=a2-b2;
1/2（2a+2b）（a－b）=（a+b）（a－b）；
（2）a2-b2=（a+b）（a－b）；
（3）平方差公式.
例题4：如图，将一个大正方形分割成了四个矩形，请回答下面问题：
（1）请用两种不同的方式，写出大矩形的面积；
（2）你是否得到了一个等式？如果得到了请写出这个等式，如果没有得到请说明理由；
（3）如果得到了一个等式，它验证了整式乘法中的哪种乘法公式？
思路分析：（1）S=（a+b）2;S=a2+2ab+b2;
（2）得到了一个等式：（a+b）2=a2+2ab+b2;
（3）验证了完全平方公式.
例题5：如图，将一个矩形分割成了四个小矩形，观察图形回答下面问题：
（1）请用两种不同的方式，写出大矩形的面积；
（2）你是否得到了一个等式？如果得到了请写出这个等式，如果没有得到请说明理由；
思路分析：（1）S=（x+a）（x+b）；S=x2+(a+b)x+ab；
（2）得到了一个等式（x+a）（x+b）=x2+(a+b)x+ab；
郑翠彩，国家级师德教育专家；河北省优秀教师、河北省优秀班主任。邢台市名师讲师团成员，邢台市家庭教育讲师团成员。
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