知道这些证明思路,几何将会变得如此简单!(初中数学每日一题232)
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文/来自网络 推荐并修改/郑老师
几何证明题入门难,证明题难做,已经成为许多同学的共识,今天分享的是几何证明题思路及常用的原理,使几何证明不再难!一定要好好看并且收藏起来!
证明题的思路
很多几何证明题的思路往往需要添加辅助线,分析已知、求证与图形,探索证明思路。
对于证明题,有三种思考方式:
(1)正向思维。也就是从问题已知入手,根据每一个条件,联想相关的知识点,深挖条件得到新的结论,从而得到证明思路的方法。对于一般简单的题目,我们正向思考,轻而易举可以做出,这里就不详细讲述了。(正向即顺向,顺向即思路简单,故能正向思维的不要逆向思维。)
(2)逆向思维。顾名思义,就是从相反的方向思考问题。也就是从问题条件入手,联想相关的知识点,思考需要什么样的条件,这样逐渐找到需要的条件是已知条件,从而得到证明思路的方法。在初中数学中,逆向思维是非常重要的思维方式,在证明题中体现的更加明显。
同学们认真读完一道题的题干后,不知道从何入手时,建议你试试从结论出发。(也就是说,对于正向思维比较棘手时)
例如:
可以有这样的思考过程:要证明某两条边相等,那么结合图形可以看出,只要证出某两个三角形相等即可;要证三角形全等,结合所给的条件,看还缺少什么条件需要证明,证明这个条件又需要怎样做辅助线,这样思考下去……这样我们就找到了解题的思路,然后把过程正着写出来就可以了。
(3)正逆结合。也就是先从条件入手,正向挖掘与分析,当思路难以延续时,再试着从结论入手,逆向分析,最后正逆衔接握手言和,从而找到了证明思路的方法。对于从结论很难分析出思路的题目,可以结合结论和已知条件认真的分析。深挖已知条件。
初中数学中,一般所给的已知条件都是解题过程中要用到的,所以可以从已知条件中寻找思路,比如给我们三角形某边中点,我们就要想到是否要连出中位线,或者是否要用到倍长中线法。给我们梯形,我们就要想到是否要做高,或平移腰,或平移对角线,或补形为三角形等等。正逆结合,战无不胜。
证明题要用到
哪些原理?
要掌握初中数学几何证明题技巧,熟练运用和记忆如下原理是关键。
下面归类一下,多做练习,熟能生巧,遇到几何证明题,尽量多的采用一些原理或方法来解决问题。
一、证明两线段相等
1.两全等三角形中对应边相等。
2.同一三角形中等角对等边。
3.等腰三角形三线合一。(顶角的平分线或底边的高平分底边)
4.平行四边形的对边相等,对角线互相平方。矩形、菱形、正方形等。
5.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。(斜边上的中点到三顶点距离相等)
6.线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。
7.角平分线上的点到角的两边距离相等。
8.三角形的中位线平行于第三边,且等于第三边的一半。
9.同圆(或等圆)中:同弧或等弧所对的弦,相等的圆心角所对的弦相等,相等的圆周角所对的弦相等。——圆的旋转不变性。
10.圆外一点引圆的两条切线的切线长相等;
圆的直径,若垂直于弦,则平分这条弦(垂径定理)。——圆的轴对称性。
11.借助比例线段证明线段相等。
通过证明相似,借助相似比是1,证明线段相等。
12.两圆的内(外)公切线的长相等。
13.等于同一线段的两条线段相等。
14.平行线间的距离处处都相等。
15.等腰梯形的两条腰相等,对角线也相等。
16. 面积相等两个三角形,若底相等则高相等;若高相等则底相等。
二、证明两个角相等
1.两全等三角形的对应角相等。
2.同一三角形中等边对等角。
3.等腰三线合一(等腰三角形中,底边上的中线(或高)平分顶角。
4.两条平行线的同位角、内错角。
平行四边形的对角相等。矩形和正方形中四个角都相等。
等腰梯形中,同一底上的两个角相等。
5.同角(或等角)的余角相等。同角(或等角)补角相等。
6.同圆(或圆)中:等弦(或弧)所对的圆心角相等,圆周角相等,弦切角等于它所夹的弧对的圆周角。
7.圆外一点引圆的两条切线,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。
8.相似三角形的对应角相等。
9.圆的内接四边形的外角等于内对角。
10.等于同一角的两个角相等。
三、证明两条直线互相垂直
1.等腰三角形三线合一。(顶角平分线或底边的中线垂直于底边)
2.三角形中一边的中线若等于这边一半,则这一边所对的角是直角。
3.在一个三角形中,若有两个角互余,则第三个角形是直角三角形。
4.邻补角的平分线互相垂直。
5.一条直线垂直于平行线中的一条,则必垂直于另一条。
6.两条直线相交成直角则两直线垂直。
7.利用到一线段两端的距离相等的点在线段的垂直平分线上。
8.利用勾股定理的逆定理。
9.利用菱形的对角线互相垂直。
10.在圆中平分弦(或弧)的直径垂直于弦。
11.利用半圆上的圆周角是直角。
四、证明两直线平行
1.垂直于同一直线的各直线平行。
2.同位角相等,内错角相等或同旁内角互补的两直线平行。
3.平行四边形的对边平行。
4.三角形的中位线平行于第三边。
5.梯形的中位线平行于两底。
6.平行于同一直线的两直线平行。
7.一条直线截三角形的两边(或延长线)所得的线段对应成比例,则这条直线平行于第三边。
五、证明线段的和差倍分
1.作两条线段的和,证明与第三条线段相等。
2.在第三条线段上截取一段等于第一条线段,证明余下部分等于第二条线段。
3.延长短线段为其二倍,再证明它与较长的线段相等。
4.取长线段的中点,再证其一半等于短线段。
5.利用一些定理(三角形的中位线、含30度的直角三角形、直角三角形斜边上的中线、三角形的重心、相似三角形的性质等)。
六、证明角的和差倍分
1.与证明线段的和、差、倍、分思路相同。
2.利用角平分线的定义。
3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
七、证明线段不等
1.同一三角形中,大角对大边。
2.垂线段最短。
3.三角形两边之和大于第三边,两边之差小于第三边。
4.在两个三角形中有两边分别相等而夹角不等,则夹角大的第三边大。
5.同圆或等圆中,弧大弦大,弦心距小。
6.全量大于它的任何一部分。
八、证明两角的不等
1.同一三角形中,大边对大角。
2.三角形的外角大于和它不相邻的任一内角。
3.在两个三角形中有两边分别相等,第三边不等,第三边大的,两边的夹角也大。
4.同圆或等圆中,弧大则圆周角、圆心角大。
5.全量大于它的任何一部分。
九、证明比例式或等积式
1.利用相似三角形对应线段成比例。
2.利用内外角平分线定理。
3.平行线截线段成比例。
4.直角三角形中的比例中项定理即射影定理。
5.与圆有关的比例定理---相交弦定理、切割线定理及其推论。
6.利用比利式或等积式化得。
十、证明四点共圆
1.对角互补的四边形的顶点共圆。
2.外角等于内对角的四边形内接于圆。
3.同底边等顶角的三角形的顶点共圆(顶角在底边的同侧)。
4.同斜边的直角三角形的顶点共圆。
5.到定点距离相等的各点共圆
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“出彩数学”作者 郑翠彩,国家教育部,师德教育专家库首批专家;河北省优秀教师、河北省优秀班主任、邢台市名师;国家级“国培计划”教师培训活动,培训专家。 “出彩数学”公众号 ①“初中数学每日一题”专栏:初一、初二、初三各年级,数学题型归类、方法提炼、技巧训练,题型与方法与时俱进,是《出彩数学》丛书的有效补充。 ②“教育心语”专栏:有自己从教多年教育方法的原创文章,也有教育类文章转载。希望家长朋友,能边读文章边反思自己的教育过程,能有所感、有所悟,及时调整自己的教育方法,找到适合自己的方法才是最好的方法,切不可邯郸学步。 《出彩数学》丛书 ①《出彩数学》已经印刷完成的有《出彩数学(初一上册)》《出彩数学(初二上册)》《出彩数学(初三复习版)》共3册,其他正在编辑中,《出彩数学(初一下册)》《出彩数学(初二下册)》将在春节印刷。 ②《出彩数学》丛书特色:知识梳理、题型归类、方法提炼、技巧训练。它是“查阅题型和方法”的工具书、考试漏洞补救的工具书、自学提高的工具书、是替你做好的错题本。 ③《出彩数学》丛书,章节顺序是冀教版顺序编辑的。人教版和北师大版,如果已经购买了《出彩数学》,请在十月中下旬索要补充章节。 ④《出彩数学》丛书,除了自己孩子需要,还是送亲戚朋友的很好礼物!需要者请加微信17732920429. “出彩数学”网课 ①“出彩数学”网课,是在“荔枝微课”平台的“出彩数学”直播间。它具有PPT、图片、文字、视频等多种展现,形象生动。是丛书、公众号的再次整合。 ②有多个专栏:初三中考压轴题、同步单元复习、每晚九点半读书时间、出彩教育(家庭教育)等专栏。 “出彩数学”家长群 “出彩数学”家长群,目前共四个2014级、2015级、2016级、2017级。是我搭建的家长间交流互动的平台,在这里可以交流教育心得、咨询教育难题、请教孩子数学中的难题等。
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